NOM :................................................................. PRENOM :................................CLASSE :........... 16/11/15 Terminale S Devoir n°2 : Spécialité Mathématiques Divisibilité/Division euclidienne/Congruences – Calculatrice autorisée – Rendre le sujet Exercice 1 : Question de cours Soient a et b, deux entiers relatifs et n un entier naturel, montrer l'équivalence suivante : a ≡ b [n] ⇔ n | a – b Exercice 2 : Les questions 1) , 2) et 3) de cet exercice sont indépendantes : 1) a) Montrer que 34 ≡ 1[10] b) En déduire en justifiant, le chiffre des unités de 32015 2) x et y étant deux entiers naturels, on considère l'équation (E) : 6x2 – 3y2 = 1 a) Compléter le tableau de congruences modulo 6 suivant : y≡ y2 ≡ -3y2 ≡ b) En déduire soigneusement que (E) n'admet pas de solutions en nombres entiers naturels 3) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n, le nombre n2 – 5n + 6 est-il divisible par 7 ? (Indication : Utiliser des congruences) Exercice 3 : Soit n ∈ ℕ et En = 32n – 2n On va montrer par trois méthodes différentes que En est divisible par 7 pour tout n∈ ℕ 1) Par récurrence : a) Montrer que En+1 = 9(En + 2n) – 2 × 2n, pour tout n∈ ℕ b) En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que En est divisible par 7 pour tout n ∈ ℕ 2) Par congruences : a) Montrer que pour tout n ∈ℕ, En ≡ 0 [7] (justifier chaque étape soigneusement) b) Conclure. 3) Par factorisation : (BONUS) a) Montrer que pour tout n∈ℕ et tout couple (a;b) de nombres réels, on a : an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … +abn-2 + bn-1) b) En déduire que En est divisible par 7