Terminale S Devoir n°2 :

NOM :................................................................. PRENOM :................................CLASSE :...........
16/11/15
Terminale S
Devoir n°2 :
Spécialité Mathématiques
Divisibilité/Division euclidienne/Congruences
–
Calculatrice autorisée
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Exercice 1 : Question de cours
Soient a et b, deux entiers relatifs et n un entier naturel, montrer l'équivalence suivante :
a ≡ b [n] ⇔ n | a – b
Exercice 2 :
Les questions 1) , 2) et 3) de cet exercice sont indépendantes :
1) a) Montrer que 34 ≡ 1[10]
b) En déduire en justifiant, le chiffre des unités de 32015
2) x et y étant deux entiers naturels, on considère l'équation (E) : 6x2 – 3y2 = 1
a) Compléter le tableau de congruences modulo 6 suivant :
y≡
y2 ≡
-3y2 ≡
b) En déduire soigneusement que (E) n'admet pas de solutions en nombres entiers naturels
3) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n, le nombre n2 – 5n + 6 est-il divisible par 7 ?
(Indication : Utiliser des congruences)
Exercice 3 :
Soit n ∈ ℕ et En = 32n – 2n
On va montrer par trois méthodes différentes que En est divisible par 7 pour tout n∈ ℕ
1) Par récurrence :
a) Montrer que En+1 = 9(En + 2n) – 2 × 2n, pour tout n∈ ℕ
b) En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que En est divisible par 7 pour tout n
∈ ℕ
2) Par congruences :
a) Montrer que pour tout n ∈ℕ, En ≡ 0 [7] (justifier chaque étape soigneusement)
b) Conclure.
3) Par factorisation : (BONUS)
a) Montrer que pour tout n∈ℕ et tout couple (a;b) de nombres réels, on a :
an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … +abn-2 + bn-1)
b) En déduire que En est divisible par 7