Congruences, Z/nZ

Congruences, Z/nZ
1 Rappels d’arithm´etique
Division euclidienne et formule de Bezout.
Description des id´eaux de Z: tout id´eal
- c’est `a dire un sous-ensemble non vide Stel que si x, ∈Salors x+y∈Set si λ∈Zet
x∈Salors λx ∈S-
est, si il contient un entier non nul, de la forme (d) = {µd|µ∈Z}, soit l’ensemble des
multiples de d,dest le plus petit entier positif non nul contenu dans S.
Si ppremier divise ab,pdivise ao`u b,
Si aest premier `a bet adivise bc,adivise b.
Il existe une infinit´e de nombres premiers, nombres premiers de la forme 4k+ 1.
2 D´efinition de Z/nZ
Soit nun entier. La classe de congruence ¯ kd’un entier kmodulo nest l’ensemble des
entiers `tels que k−`soit divisible par n.
Addition.
•associativit´e, commutativit´e
•´el´ement neutre ¯ 0, oppos´e d’un ´el´ement.
Multiplication.
•associativit´e, commutativit´e
•´el´ement neutre ¯ 1, inverse d’un ´el´ement.
3 El´em´ents inversibles
Un ´el´ement ¯ kde Z/nZest inversible si et seulement si ket sont premiers entre eux.
(Z/nZ)∗
Indicatrice d’Euler ϕ,ϕ(n) est le cardinal de (Z/nZ)∗.
ϕ(pn) = pn−pn−1si pest premier.
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) si met nsont premiers entre eux.
Formule
n=X
d|n
ϕ(d)
1

4 Ordre d’un ´el´ement de Z/nZ
D´efinition : ord(¯ k) est le plus petit entier ustrictement positif tel que u¯ k= 0.
ord(¯ k) = n
pgcd(n, k)
5 Lemme chinois
Si met nsont premiers entre eux, alors les groupes additifs Z/mnZet `a Z/nZ×Z/nZ
sont isomorphes, via l’homomorphisme qui envoie la classe de congruence modulo mn sur
les classes modulo met modulo n.
De plus alors les groupes multiplicatifss (Z/mnZ)∗et `a (Z/nZ)∗×(Z/nZ)∗sont aussi
isomorphes, via la mˆeme application.
6 Th´eor`emes de Fermat et d’Euler
Si pest premier et x∈(Z/pZ)∗alors xp−1= 1. Soit n > 1, et x∈(Z/nZ)∗alors xϕ(n)= 1.
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