Série 2

Introduction ` a la th´ eorie des nombres
Prof. E. Bayer Fluckiger 29 f´evrier 2016
S´erie 2
Exercice 1.
(1) Calculer les symboles de Legendre suivants :
−14
19 ,147 149,202 397
(2) Est-ce que 106 est un carr´e modulo 323 ?
Exercice 2. Trouver un entier positif net un sous-ensemble Sde Z/nZtel
que, si p /∈ {2,5}est un nombre premier, alors −5 est un carr´e modulo psi et
seulement si [p]nappartient `a S.
Exercice 3. Soit pun nombre premier impair et qun entier premier `a p. Pour
tout entier n, on note r(n) le reste dans la division euclidienne de npar p.
(1) Montrer que l’application de {1,2,...,(p−1)
2}dans lui-mˆeme d´efinie par :
f(n) = (r(qn) si 1 6r(qn)6p−1
2
p−r(qn) sinon
est une bijection.
(2) En d´eduire l’´egalit´e :
q
p= (−1)u
o`u uest le nombre d’entiers ncompris entre 1 et p−1
2tels que r(qn)>p+1 2. Ce
r´esultat est connu sous le nom de lemme de Gauss.
(3) Utiliser le lemme de Gauss pour calculer le symbole de Legendre 2
p.