Exo7 - Cours de mathématiques

Nombres complexes
Exo7
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Préambule
L’équation x+ 5 = 2 a ses coefficients dans N mais pourtant sa solution x=− 3 n’est pas un entier
naturel. Il faut ici considérer l’ensemble plus grand Zdes entiers relatifs.
Nx+5=2 ,−−−−−→Z2x=−3 ,−−−−−→Q
x2=1
2
,−−−−−→Rx2=−p2 ,−−−−−→C
De même l’équation 2 x=− 3 a ses coefficients dans Z mais sa solution x=−3
2
est dans l’ensemble
plus grand des rationnels Q . Continuons ainsi, l’équation x2=1
2
à coefficients dans Q , a ses so-
lutions x1= + 1/
p2
et x2= − 1/
p2
dans l’ensemble des réels R . Ensuite l’équation x2= −p2 à ses
coefficients dans R et ses solutions x1= +pp2 i et x2= −pp2 i dans l’ensemble des nombres
complexes C . Ce processus est-il sans fin ? Non ! Les nombres complexes sont en quelque sorte
le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d’Alembert-Gauss suivant : « Pour n’importe
quelle équation polynomiale anxn+an−1xn−1+···+a2x2+a1x+a0= 0où les coefficients ai sont
des complexes (ou bien des réels), alors les solutions x1,..., xn sont dans l’ensemble des nombres
complexes ».
Outre la résolution d’équations, les nombres complexes s’appliquent à la trigonométrie, à la géo-
métrie (comme nous le verrons dans ce chapitre) mais aussi à l’électronique, à la mécanique
quantique, etc.
1. Les nombres complexes
1.1. Définition
1

2
Définition 1
Un nombre complexe est un couple (a,b)∈R2que l’on notera a+ib
0 1
i
a
ba+ib
R
iR
Cela revient à identifier 1 avec le vecteur (1 , 0) de R2 , et i avec le vecteur (0 , 1). On note C l’ensemble
des nombres complexes. Si b= 0, alors z=a est situé sur l’axe des abscisses, que l’on identifie à R .
Dans ce cas on dira que z est réel , et R apparaît comme un sous-ensemble de C , appelé axe réel .
Si b6=0, zest dit imaginaire et si b6=0 et a=0, zest dit imaginaire pur.
1.2. Opérations
Si z=a+ i b et z0=a0+ i b0 sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes :
–addition : (a+ib)+(a0+ib0)=(a+a0)+i(b+b0)
0 1
iz
z0
z+z0
R
iR
–multiplication : ( a+ i b ) × ( a0+ i b0 ) = ( aa0−bb0 ) + i( ab0+ba0 ). C’est la multiplication usuelle
avec la convention suivante :
i2=−1
1.3. Partie réelle et imaginaire
Soit z=a+ i b un nombre complexe, sa partie réelle est le réel a et on la note Re ( z ) ; sa partie
imaginaire est le réel bet on la note Im(z).
0 1
i
Re(z)
Im(z)z
R
iR

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Par identification de CàR2, l’écriture z=Re(z)+iIm(z) est unique :
z=z0⇐⇒ 
Re(z)=Re(z0)
et
Im(z)=Im(z0)
En particulier un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un
nombre complexe est nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls.
1.4. Calculs
Quelques définitions et calculs sur les nombres complexes.
0
1
iz
−z
λz
–L’ opposé de z=a+ibest −z=(−a)+i(−b)=−a−ib.
–La multiplication par un scalaire λ∈R:λ·z=(λa)+i(λb).
–L’ inverse : si z6=0, il existe un unique z0∈Ctel que zz0=1 (où 1 =1+i×0).
Pour la preuve et le calcul on écrit z=a+ i b puis on cherche z0=a0+ i b0 tel que zz0=
1. Autrement dit ( a+ i b )( a0+ i b0 ) = 1. En développant et identifiant les parties réelles et
imaginaires on obtient les équations
(aa0−bb0=1 (L1)
ab0+ba0=0 (L2)
En écrivant aL1+bL2 (on multiplie la ligne ( L1 ) par a , la ligne ( L2 ) par b et on additionne)
et −bL1+aL2on en déduit
(a0¡a2+b2¢=a
b0¡a2+b2¢=−bdonc (a0=a
a2+b2
b0=− b
a2+b2
L’inverse de zest donc
z0=1
z=a
a2+b2+i−b a2+b2=a−ib a2+b2.
–La division :z
z0est le nombre complexe z×1 z0.
–Propriété d’intégrité : si zz0=0 alors z=0 ou z0=0.
– Puissances : z2=z×z , zn=z×···×z ( n fois, n∈N ). Par convention z0= 1 et z−n=¡1
z¢n=1 zn
.

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Proposition 1
Pour tout z∈Cdifférent de 1
1+z+z2+···+zn=1−zn+1
1−z.
La preuve est simple : notons S= 1 +z+z2+···+zn , alors en développant S· (1 −z ) presque tous
les termes se télescopent et l’on trouve S·(1 −z)=1−zn+1.
Remarque
Il n’y pas d’ordre naturel sur C, il ne faut donc jamais écrire zÊ0 ou zÉz0.
1.5. Conjugué, module
Le conjugué de z=a+ i b est
¯
z=a− i b , autrement dit Re (
¯
z ) =Re ( z ) et Im (
¯
z ) =−Im ( z ). Le point
¯
z
est le symétrique du point zpar rapport à l’axe réel.
Le module de z=a+ i b est le réel positif |z| = pa2+b2 . Comme zׯ z= ( a+ i b )( a− i b ) =a2+b2
alors le module vaut aussi |z|=pz¯ z.
0
1
i
z
¯
z
|z|
0
z=a+ib
a
b
Quelques formules :
–z+z0=¯ z+z0,¯ z=z,zz0=¯ zz0
–z=¯ z⇐⇒ z∈R
–|z|2=zׯ z,|¯ z|=|z|,¯¯zz0¯¯=|z||z0|
–|z|=0⇐⇒ z=0
–L’inégalité triangulaire : ¯¯z+z0¯¯É|z|+¯¯z0¯¯

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Exemple 1
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des
côtés.
Si les longueurs des côtés sont notées L et ` et les longueurs des diagonales sont D et d alors il
s’agit de montrer l’égalité
D2+d2=2`2+2L2.
d
D
L
L
`
`
0
z
z0
z+z0
|z|
|z|
|z0|
|z0|
|z−z0|
|z+z0|
Démonstration
Cela devient simple si l’on considère que notre parallélogramme a pour sommets 0, z , z0 et le dernier
sommet est donc z+z0 . La longueur du grand côté est ici |z| , celle du petit côté est |z0| . La longueur
de la grande diagonale est |z+z0| . Enfin il faut se convaincre que la longueur de la petite diagonale
est |z−z0|.
D2+d2=¯¯z+z0¯¯
2+¯¯z−z0¯¯ 2=¡z+z0¢(z+z0)+¡z−z0¢(z−z0)
=z¯ z+zz0+z0¯ z+z0z0+z¯ z−zz0−z0¯ z+z0z0
=2z¯ z+2z0z0=2|z|2+2¯¯z0¯¯
2
=2`2+2L2
Mini-exercices
1. Calculer 1−2i+i
1−2i .
2. Écrire sous la forme a+ibles nombres complexes (1 +i)2, (1+i)3, (1+i)4, (1+i)8.
3. En déduire 1+(1+i)+(1+i)2+···+(1+i)7.
4. Soit z∈Ctel que |1+iz|=|1−iz|, montrer que z∈R.
5. Montrer que si |Re z|É|Re z0| et |Im z| É |Im z0| alors |z|É|z0| , mais que la réciproque
est fausse.
6. Montrer que 1/ ¯ z=z/|z|2(pour z6=0).
2. Racines carrées, équation du second degré
2.1. Racines carrées d’un nombre complexe
Pour z∈C, une racine carrée est un nombre complexe ωtel que ω2=z.
Par exemple si x∈R+ , on connaît deux racines carrées :
px,−px
. Autre exemple : les racines
carrées de −1 sont i et −i.