cours-TD maths svs

Année 2014-2015
Faculté des Sciences & Techniques
Portail SVS–L1-Semestre 2
Mathématiques
Feuille de TD 1— Nombres réels, équations du second degré, suites
Exercice – valeur absolue
Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes et représenter les ensembles des solutions sur la droite
réelle.
| x − 3 |= 1, | x + 3 |< 2, | x − 5 | = | x + 3 |.
Exercice – équations du second degré
Résoudre dans l’ensemble des nombres réels les équations suivantes :
(x + 1)2 = 4,
(3x + 1)2 = (x + 1)2 ,
5x2 = 1,
x2 + 2 = 0.
Exercice – équations du second degré–bis
Résoudre dans R les équations suivantes. Préciser le signe du trinôme associé à chaque équation.
x2 + x + 1 = 0,
5x2 − 2x +
1
= 0,
5
6x2 − 5x + 1 = 0.
Exercice – rectangle
Peut-on trouver un rectangle de périmètre 90 cm et d’aire 0.45 m2 ?
Exercice – lancer de ballon
On lance verticalement vers la haut un ballon avec une vitesse initiale de 25 m/s. On admet que la relation entre
la hauteur atteinte (h), la vitesse initiale (v0 ) et l’accélération de la pesanteur (g) est donnée par 1 :
1
h = v0 t − gt2 .
2
On suppose que g = 10 m/s2 (g ' 9, 8m/s2 ). Dans combien de secondes le ballon atteint-il une hauteur de 20 m à
partir de son point initial ?
Exercice – baguette de bois
On dispose d’une baguette de bois de longueur 10 cm. À quel endroit faut-il la plier en deux morceaux pour que
ces derniers soient les côtés consécutifs d’un rectangle d’aire égale à 20 cm2 ? Même question avec une aire égale à
40 cm2 .
Exercice – poignées de mains
Lors d’une conférences les participants ont (tous) échangé 66 poignées de mains. Combien la conférence comprendelle de participants ?
1. Si on néglige la résistance de l’air.
1
Exercice – écran
Déterminer les dimensions d’un écran d’ordinateur 17 pouces au format 16/9. Rappel : 1 pouce = 2,54 cm.
Exercice – bactéries
La taille d’une population de bactéries augmente de 10 000 bactéries toutes les heures. On observe un échantillon
contenant initialement 100 000 bactéries.
a. Combien a-t-on de bactéries au bout d’une heure ? De deux heures ?
b. Soit n dans N. Exprimer le nombre de bactéries au bout de n heures.
c. Dans combien d’heures le nombre de bactéries sera-t-il doublé ?
Exercice – bactéries-bis
La taille d’une population de bactéries double toutes les heures. On observe un échantillon contenant initialement
100 000 bactéries.
a. Combien a-t-on de bactéries au bout d’une heure ? De deux heures ?
b. Soit n dans N. Exprimer le nombre de bactéries au bout de n heures.
Exercices d’entraı̂nement
Exercice – équations du second degré–ter
Résoudre dans R les équations suivantes. Préciser le signe du trinôme associé à chaque équation.
1
3
x2 − x + = 0,
4
8
x2 − 2x + 2 = 0,
−9x2 + 6x − 1 = 0.
Exercice – triangles
Soit un terrain ABC de forme triangulaire (triangle rectangle en A). On veut le partager en deux parties ayant la même aire. Pour cela on place sur le côté AB un point
E et sur la côté AC un point D tels que BE = AD (voir figure ci-contre). On sait
que AB = 18 m et AC = 8 m. Déterminer la positon de chacun des points D et
E de telle manière que l’aire de la partie désignée par ADE soit la moitié du terrain ABC.
Exercice – épargne
Une étudiante a ouvert un compte le 1er janvier 2010, sur lequel elle a déposé 1000 euros
tous les ans à partir de cette date. Ce compte est rémunéré à 1 % par an.
On note u0 le montant de son compte le 1er janvier 2010 et un le montant de son compte
au bout de n années.
1. Vérifier que , pour tout n ∈ N, on a :
un+1 = 1, 01un + 1000.
2. Quel est le montant de son compte au 1er janvier 2015 (à l’euro près) ?
Exercice – parties du plan
Représenter dans le plan muni d’un repère orthonormé (unité = 1 cm) l’ensemble des points M (x, y) dans les cas
suivants :
3x − y + 3 = 0,
x − 9 < 2,
x2 − y = 0,
x2 − y ≤ 0,
| y |≤ 7 et | x |< 5.
Idem pour l’ensemble des points M (x, y) dans les cas suivants :
x2 − y + 3 ≥ 0,
1 + x2 − y = 0 et y = x + 3,
2
y + x + 1 = 0 et y − x + 1 = 0.