cours-TD maths svs

Facult´ e des Sciences & Techniques Ann´ee 2014-2015
Portail SVS–L1-Semestre 2
Math´ematiques
Feuille de TD 1— Nombres r´eels, ´equations du second degr´e, suites
Exercice – valeur absolue
R´esoudre dans Rles ´equations ou in´equations suivantes et repr´esenter les ensembles des solutions sur la droite
r´eelle.
|x−3|= 1,|x+ 3 |<2,|x−5|=|x+ 3 |.
Exercice – ´equations du second degr´e
R´esoudre dans l’ensemble des nombres r´eels les ´equations suivantes :
(x+ 1)2= 4,(3x+ 1)2= (x+ 1)2,5x2= 1, x2+ 2 = 0.
Exercice – ´equations du second degr´e–bis
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes. Pr´eciser le signe du trinˆome associ´e `a chaque ´equation.
x2+x+ 1 = 0,5x2−2x+1
5= 0,6x2−5x+ 1 = 0.
Exercice – rectangle
Peut-on trouver un rectangle de p´erim`etre 90 cm et d’aire 0.45 m2?
Exercice – lancer de ballon
On lance verticalement vers la haut un ballon avec une vitesse initiale de 25 m/s. On admet que la relation entre
la hauteur atteinte (h), la vitesse initiale (v0) et l’acc´el´eration de la pesanteur (g) est donn´ee par 1:
h=v0t−1
2gt2.
On suppose que g= 10 m/s2(g'9,8m/s2). Dans combien de secondes le ballon atteint-il une hauteur de 20 m `a
partir de son point initial ?
Exercice – baguette de bois
On dispose d’une baguette de bois de longueur 10 cm. ` A quel endroit faut-il la plier en deux morceaux pour que
ces derniers soient les cˆot´es cons´ecutifs d’un rectangle d’aire ´egale `a 20 cm2? Mˆeme question avec une aire ´egale `a
40 cm2.
Exercice – poign´ees de mains
Lors d’une conf´erences les participants ont (tous) ´echang´e 66 poign´ees de mains. Combien la conf´erence comprend-
elle de participants ?
1. Si on n´eglige la r´esistance de l’air.
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Exercice – ´ecran
D´eterminer les dimensions d’un ´ecran d’ordinateur 17 pouces au format 16/9. Rappel : 1 pouce = 2,54 cm.
Exercice – bact´eries
La taille d’une population de bact´eries augmente de 10 000 bact´eries toutes les heures. On observe un ´echantillon
contenant initialement 100 000 bact´eries.
a. Combien a-t-on de bact´eries au bout d’une heure ? De deux heures ?
b. Soit ndans N. Exprimer le nombre de bact´eries au bout de nheures.
c. Dans combien d’heures le nombre de bact´eries sera-t-il doubl´e ?
Exercice – bact´eries-bis
La taille d’une population de bact´eries double toutes les heures. On observe un ´echantillon contenant initialement
100 000 bact´eries.
a. Combien a-t-on de bact´eries au bout d’une heure ? De deux heures ?
b. Soit ndans N. Exprimer le nombre de bact´eries au bout de nheures.
Exercices d’entraˆınement
Exercice – ´equations du second degr´e–ter
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes. Pr´eciser le signe du trinˆome associ´e `a chaque ´equation.
x2−3
4x+1 8= 0, x2−2x+ 2 = 0,−9x2+ 6x−1 = 0.
Exercice – triangles
Soit un terrain ABC de forme triangulaire (triangle rectangle en A). On veut le par-
tager en deux parties ayant la mˆeme aire. Pour cela on place sur le cˆot´e AB un point
Eet sur la cˆot´e AC un point Dtels que BE =AD (voir figure ci-contre). On sait
que AB = 18 m et AC = 8 m. D´eterminer la positon de chacun des points Det
Ede telle mani`ere que l’aire de la partie d´esign´ee par ADE soit la moiti´e du ter-
rain ABC.
Exercice – ´epargne
Une ´etudiante a ouvert un compte le 1er janvier 2010, sur lequel elle a d´epos´e 1000 euros
tous les ans `a partir de cette date. Ce compte est r´emun´er´e `a 1 % par an.
On note u0le montant de son compte le 1er janvier 2010 et unle montant de son compte
au bout de nann´ees.
1. V´erifier que , pour tout n∈N, on a :
un+1 = 1,01un+ 1000.
2. Quel est le montant de son compte au 1er janvier 2015 (`a l’euro pr`es) ?
Exercice – parties du plan
Repr´esenter dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e (unit´e = 1 cm) l’ensemble des points M(x, y) dans les cas
suivants :
3x−y+ 3 = 0, x −9<2, x2−y= 0, x2−y≤0,|y|≤ 7 et |x|<5.
Idem pour l’ensemble des points M(x, y) dans les cas suivants :
x2−y+ 3 ≥0,1 + x2−y= 0 et y=x+ 3, y +x+ 1 = 0 et y−x+ 1 = 0.
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