2 D´enombrement des partitions de
{1, ..., n}
Pour n∈N∗, on note Dnle nombre de partitions de {1, ..., n}, avec par convention
D0= 1.
Une relation de r´ecurrence
Pour obtenir une partition de {1, ..., n + 1}, on peut commencer par choisir une partie
contenant 1, qui a un certain nombre k+ 1 d’´el´ements (o`u 0 6k6n), ce qui revient
`a choisir k´el´ements parmi {2, ..., n + 1}; puis choisir une partition des n−k´el´ements
restants.
On en d´eduit que Dn+1 =
n
X
k=0
n
k
Dn−k, apr`es une r´eindexation :
Dn+1 =
n
X
k=0
n
k
Dk.
Une expression analytique de Dn
On consid`ere la s´erie enti`ere X
n>0
Dn
n!zn. Son rayon de convergence est >1, car on
montre par r´ecurrence que Dn6n! :
– on a bien D0= 1 60! = 1,
– si Dk6k! pour tout 0 6k6n, on a par la relation de r´ecurrence plus haut
Dn+1 6
n
X
k=0
n
k
k! =
n
X
k=0
n!
(n−k)!, d’o`u Dn+1 6
n
X
k=0
n! = (n+ 1)!.
Il existe donc une fonction z7→ f(z) = X
n>0
Dn
n!znholomorphe sur le disque unit´e
ouvert de C, que l’on note D.
Pour z∈D, on a f0(z) =
+∞
X
n=0
Dn+1
n!zn, et en utilisant la relation de r´e-
currence du paragraphe pr´ec´edent f0(z) =
+∞
X
n=0
zn
n!
n
X
k=0
n
k
Dk, soit encore
12