DOSSIER Divers 9 Th`eme : Mise en œuvre d`algorithme

Master 1 2015-2016 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
Oral 2 -UE 8 ´ Epreuve sur dossier
DOSSIER
Divers 9 Th`eme : Mise en œuvre d’algorithme
L’exercice propos´e au candidat
(STL-Biotechnologies Polyn´esie 2016)
Partie A
Une population de bact´eries a la propri´et´e de doubler toutes les heures dans des
conditions particuli`eres.
On suppose que cette capacit´e de dou-
blement ne d´epend pas du nombre ini-
tial de bact´eries.
Lors d’une exp´erience, Camille d´ecide
d’ajouter, chaque heure, un millier de
bact´eries du mˆeme type.
Elle ´ecrit l’algorithme ci-contre :
1: Saisir N
2: H prend la valeur 0
3: V prend la valeur N
4: tant que V<105faire
5: H prend la valeur H+1
6: V prend la valeur 2V+1000
7: fin tant que
8: Afficher H
1. Quelle est la valeur affich´ee par l’algorithme pour N= 10000 ?
2. On note vnle nombre de bact´eries `a la n-i`eme heure, n´etant un entier
naturel. On admet que v0= 10000.
(a) Exprimer vn+1 en fonction de vn.
(b) La suite (vn)n∈Nest-elle g´eom´etrique ? Justifier la r´eponse.
(c) On introduit une seconde suite (un)n∈N, d´efinie par un=vn+L, o`u
Lest une constante. Comment peut-on choisir Lpour faire en sorte
que la suite (un)n∈Nsoit g´eom´etrique ?
(d) En d´eduire une expression de vnen fonction de n.
Partie B
Camille recommence l’exp´erience dans des conditions diff´erentes en la d´ebutant
avec 10 000 bact´eries et sans ajouter de bact´eries `a chaque heure. Elle constate
que :
•tant que le nombre de bact´eries est strictement inf´erieur `a 40 000, le
nombre double toutes les heures ;
•`a partir de 40 000 bact´eries, le nombre augmente seulement de 50 % toutes
les heures.
1. Modifier l’algorithme pr´ec´edent pour prendre en compte ces nouvelles
conditions.
2. Transcrire cet algorithme, soit avec un logiciel de programmation (ou une
calculatrice), soit avec un tableur.

Partie C
Camille reprend l’exp´erience avec un milieu appauvri en substances nutritives,
et constate que l’augmentation du nombre de bact´eries est de moins en moins
forte au fil des heures. Elle modifie donc la mod´elisation, introduisant une suite
(wn)n∈Nd´efinie par :
w0= 10 000 et wn+1 =wn2−
wn
100 000.
1. Cr´eer une feuille de calcul appropri´ee `a cette suite au moyen d’un tableur.
Qu’observe-t-on ?
2. On forme la suite En= 1 −wn
100 000 . Exprimer En+1 en fonction de wn.
3. Que peut-on dire du signe de En+1 ? Interpr´eter ce signe dans le cadre de
cette mod´elisation.
4. La suite (wn)n∈Nest-elle croissante ? Peut-on conjecturer sa convergence
et une valeur de sa limite ? Conclure.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Corrigez la partie B comme vous le feriez devant une classe en illustrant
cette situation `a l’aide de logiciels et/ou d’une calculatrice permettant de
mettre en œuvre ces algorithmes.
2. Proposez plusieurs exercices travaillant la mise en œuvre d’algorithmes
pour diff´erents niveaux.
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