DOSSIER Divers 9 Th`eme : Mise en œuvre d`algorithme

Master 1 2015-2016
Oral 2 -UE 8
DOSSIER
Divers 9
Université Claude Bernard Lyon 1
Épreuve sur dossier
Thème : Mise en œuvre d’algorithme
L’exercice proposé au candidat
(STL-Biotechnologies Polynésie 2016)
Partie A
Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des
conditions particulières.
1: Saisir N
On suppose que cette capacité de dou2: H prend la valeur 0
blement ne dépend pas du nombre ini3: V prend la valeur N
tial de bactéries.
4: tant que V< 105 faire
Lors d’une expérience, Camille décide
5:
H prend la valeur H+1
d’ajouter, chaque heure, un millier de
6:
V prend la valeur 2V+1000
bactéries du même type.
7: fin tant que
Elle écrit l’algorithme ci-contre :
8: Afficher H
1. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour N = 10000 ?
2. On note vn le nombre de bactéries à la n-ième heure, n étant un entier
naturel. On admet que v0 = 10000.
(a) Exprimer vn+1 en fonction de vn .
(b) La suite (vn )n∈N est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
(c) On introduit une seconde suite (un )n∈N , définie par un = vn + L, où
L est une constante. Comment peut-on choisir L pour faire en sorte
que la suite (un )n∈N soit géométrique ?
(d) En déduire une expression de vn en fonction de n.
Partie B
Camille recommence l’expérience dans des conditions différentes en la débutant
avec 10 000 bactéries et sans ajouter de bactéries à chaque heure. Elle constate
que :
• tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à 40 000, le
nombre double toutes les heures ;
• à partir de 40 000 bactéries, le nombre augmente seulement de 50 % toutes
les heures.
1. Modifier l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles
conditions.
2. Transcrire cet algorithme, soit avec un logiciel de programmation (ou une
calculatrice), soit avec un tableur.
Partie C
Camille reprend l’expérience avec un milieu appauvri en substances nutritives,
et constate que l’augmentation du nombre de bactéries est de moins en moins
forte au fil des heures. Elle modifie donc la modélisation, introduisant une suite
(wn )n∈N définie par :
wn .
w0 = 10 000 et wn+1 = wn 2 −
100 000
1. Créer une feuille de calcul appropriée à cette suite au moyen d’un tableur.
Qu’observe-t-on ?
wn . Exprimer E
2. On forme la suite En = 1 − 100
n+1 en fonction de wn .
000
3. Que peut-on dire du signe de En+1 ? Interpréter ce signe dans le cadre de
cette modélisation.
4. La suite (wn )n∈N est-elle croissante ? Peut-on conjecturer sa convergence
et une valeur de sa limite ? Conclure.
Le travail à exposer devant le jury
1. Corrigez la partie B comme vous le feriez devant une classe en illustrant
cette situation à l’aide de logiciels et/ou d’une calculatrice permettant de
mettre en œuvre ces algorithmes.
2. Proposez plusieurs exercices travaillant la mise en œuvre d’algorithmes
pour différents niveaux.
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