Fiche d`exercices - Tivomaths

Premi` ere S Janvier 2017
CH06 - Fiche d’exercices
Th` eme : Suites num´ eriques (Partie 1).
I Modes de g´en´eration
Exercice 1.
Calculer dans chaque cas les 3 premiers termes de (un).
a) un= 2n+ 1
b) un= (−1)n
c) un= 2 + (−1)n+1
n
d) (T) un=√n+ 1
e) (T) un=n+ 1
n+ 3
f) (T) un= (−2)n
g) (T) un= 2n+ (−1)n
Exercice 2.
Dans chacun des cas suivants, exprimer un+1,un−1et u3n+1
en fonction de n.
a) un= 2n2−3
b) un= (−1)n
c) un=n2−3n
n+ 2
d) (T) un=−n2+ 5n
e) (T) un=5n
n+ 1
f) (T) un= 2n−1
Exercice 3.
La suite (un)n∈Nest d´efinie par u0= 2 et par une relation
de r´ecurrence. Dans chacun des cas suivants, calculer u1,u2
et u3.
a) un+1 = 6un+ 1
b) un+1 =2 + un
un−1
c) un+1 =f(un)
o`u f(x) = (x−1)2
d) (T) un+1 = (un)2−1
e) (T) un+1 =2
un
+ 1
f) (T) un+1 =√un+ 14
Exercice 4.
1. Soit ula suite d´efinie sur Npar un= 2n+ 1.
Proposer une d´efinition par r´ecurrence de cette suite.
2. Soit vla suite d´efinie sur Npar ßv0= 0
vn+1 =vn+ 2
Proposer une d´efinition explicite de cette suite.
3. Soit wla suite d´efinie sur Npar wn= (n+ 2)2.
Prouver que w0= 4 puis que pour tout entier naturel n,
wn+1 =wn+ 2n+ 5.
Exercice 5.
Mod´eliser chaque situation `a l’aide d’une suite d´efinie sur
Npar son terme initial et une relation de r´ecurrence, puis
calculer les trois premiers termes de cette suite.
◮Situation 1. La population d’une ville, initialement de
10 000 habitants, diminue chaque ann´ee de 3 %.
◮Situation 2. Le nombre d’abonn´es `a une revue ´etait la
premi`ere ann´ee de 5 000. Chaque ann´ee, 95 % des abon-
n´es renouvellent leur abonnement et il y a 500 nouveaux
abonn´es.
II Programmer un tableau de valeurs
Exercice 6.
Les suites uet vsont d´efinies sur Npar les formules ci-
dessous entr´ees dans un tableur.
A B C
1 n un vn
2 0 =A2-4*(-1)^A2 4
3 1 =racine(C2)+A2
1. Quels nombres vont s’afficher dans les cellules B2 et C3 ?
2. Donner les d´efinitions des suites uet ven langage ma-
th´ematique usuel.
Exercice 7.
In`es a ouvert le 1er janvier 1978 un compte r´emun´er´e au
taux annuel de 1 % d’int´erˆets compos´es. Elle a d´epos´e une
somme dont l’´equivalent actuel s’´el`eve `a 1 200 e.
Depuis cette date, chaque ann´ee, elle verse 800 esur son
compte le 1er janvier.
1. Justifier que le montant du compte d’In`es, le 2 janvier
1979, ´etait l’´equivalent de 2 012 e.
2. Pour tout entier naturel n, on note Snle montant en eu-
ros sur le compte d’In`es, le 2 janvier de l’ann´ee 1978 + n.
Exprimer Sn+1 en fonction de Sn.
3. ` A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, d´eterminer
la somme qui figurera sur le compte d’In`es le 2 janvier
2028.
Exercice 8.
On consid`ere l’algorithme suivant, ´ecrit avec AlgoBox, qui
renvoie un terme d’une suite u.
1: VARIABLES
2: u EST_DU_TYPE NOMBRE
3: i EST_DU_TYPE NOMBRE
4: n EST_DU_TYPE NOMBRE
5: DEBUT_ALGORITHME
6: LIRE n
7: u PREND_LA_VALEUR -4
8: POUR iALLANT_DE 1An
9: DEBUT_POUR
10: u PREND_LA_VALEUR u+5
11: FIN_POUR
12: AFFICHER "................................."
13: AFFICHER u
14: FIN_ALGORITHME
1. `
A quelle(s) ligne(s) d´efinit-on la suite u?
2. Donner la d´efinition de la suite u.
3. Compl´eter le message adress´e `a l’utilisateur `a la ligne 12.
Exercice 9.
Soit (vn)la suite d´efinie sur Npar (v0= 2
vn+1 =vn
1 + 2vn
1. Calculer v4.
2. ´ Ecrire un algorithme (par exemple avec AlgoBox) qui, `a
partir de la donn´ee d’un entier naturel nsaisi par l’utili-
sateur, renvoie le terme de rang nde cette suite.
3. D´eterminer v100 `a l’aide de cet algorithme.
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T
E
X 2ε

Exercice 10.
On consid`ere l’algorithme suivant :
1. Entr´ee
2. Saisir n(nentier, n>1)
3. Initialisation
4. uprend la valeur 1
5. Traitement
6. Pour iallant de 1 `a n
7. uprend la valeur 2u+i−1
Afficher u
8.
9. Fin Pour
1. On saisit n= 6 et on applique cet algorithme. Dresser
un tableau `a deux lignes (une pour i, l’autre pour u)
en y indiquant toutes les valeurs que prennent ces deux
lettres.
2. Cet algorithme affiche les termes d’une suite (un)g´en´er´ee
par une relation de r´ecurrence. Donner la d´efinition de
cette suite et pr´eciser les termes affich´es par l’algorithme.
3. Modifier l’algorithme de sorte que seul le terme de rang
nsoit affich´e.
4. On consid`ere la feuille de
calcul suivante r´ealis´ee sur
tableur.
A B
1 n un
2 0
3 1
a) Quelle valeur doit-on entrer en B2.
b) Pr´eciser la formule `a saisir dans la cellule B3 afin
d’obtenir les termes de la suite (un)en colonne B.
5. ` A l’aide du programme et du tableur, donner u17 et u26 .
III Repr´esentations graphiques
Exercice 11.
Sur le graphique ci-dessous, on a repr´esent´e les premiers
termes d’une suite (un).
O~ı
~
u0
1. Quel est le premier terme de la suite (un)?
2. Par quelle relation de r´ecurrence la suite (un)est-elle
d´efinie ?
3. Lire graphiquement u2.
4. V´erifier par le calcul.
Exercice 12. (T)
Soit (vn)n∈Nla suite d´efinie par (v0= 2 ;
vn+1 = 7 −1
2vn,∀n∈N.
En utilisant la droite d’´equation y=x(i.e la premi`ere bis-
sectrice), repr´esenter les 5 premiers termes de (vn)n∈Nsur
l’axe des abscisses d’un r.o.n.
Exercice 13.
On a trac´e ci-dessous une parabole repr´esentant un tri-
nˆome f.
O~ı
~
1. Exprimer f(x)en fonction de x.
2. On appelle ula suite d´efinie sur Npar ßu0= 7
un+1 =f(un)
a) En laissant apparents les traits de construction, pla-
cer sur l’axe des abscisses les termes u0`a u5.
b) La suite uest-elle monotone ?
c) ´ Emettre une conjecture concernant la limite ´even-
tuelle de la suite u.
d) ` A l’aide d’un tableur, estimer l’arrondi au centi`eme
de cette ´eventuelle limite.
IV Monotonie et notion de limite
Exercice 14.
´
Etudier les variations de chacune des suites suivantes.
a) un= 2n2−1
b) un=6 + n
n(n>1)
c) un= 1 −2√n+ 1
d) un= 0,3n×n
e) un=n+ 1
0,3n
f) (T) un= 2n−3
g) (T) un=√n−1
h) (T) un=5 + n
n2(n>1)
i) (T) un= 3n+ 1
j) (T) un=3n
n(n>1)
Exercice 15.
1. (T) ´ Etudier la monotonie de la suite (un)n∈Ntelle que,
pour tout n∈N,un=n2+ 3n+ 1.
2. ´
Etudier la monotonie de la suite (vn)n∈Ntelle que v0= 1
et ∀n∈N, vn+1 =v2
n+ 3vn+ 2.
Exercice 16.
Soit (un)la suite d´efinie sur Npar (u0= 18
un+1 =1
2un+ 3
1. Calculer u1,u2et u3.
2. `
A l’aide de la calculatrice, calculer u4,u5,. . .,u10.
3. On admet que pour tout n∈N,un>6.´ Etudier la mo-
notonie de (un)n∈N.
4. Repr´esenter graphiquement (un)`a l’aide d’un tableur
puis conjecturer la limite de unlorsque ntend vers +∞.
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X 2ε

Exercice 17.
Soit vla suite d´efinie sur Npar vn= (−2)n+ 2.
On souhaite conjecturer la limite de cette suite. Pour cela, on a construit la feuille de tableur ci-dessous.
A B C D E F G
1n1 2 . . . 10 100 1000
2vn0 6 . . . 1026 1,268E+030 1,072E+301
1. Pr´eciser la formule saisie en B2.
2. ` A l’aide du tableau donn´e, conjecturer la limite de la suite vnquand ntend vers +∞.
3. ` A l’aide de la calculatrice, calculer v1001. Cette valeur semble-t-elle coh´erente avec la conjecture pr´ec´edente ?
4. ` A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, repr´esenter graphiquement la suite v. Conjecturer `a nouveau le comportement
de vnquand ntend vers +∞.
Exercice 18 (Concentration d’un r´eactif en chimie).
Lors d’une r´eaction chimique, on ´etudie l’´evolution de la concentration en mol.L−1d’un d´eriv´e chlor´e.
Pendant 1 heure, on a relev´e la concentration du d´eriv´e chlor´e et obtenu le tableau suivant.
ten min 0 10 20 30 40 50 60
Concentration
en mol.L−10,500 0,354 0,274 0,224 0,189 0,164 0,145
On souhaite mod´eliser cette situation de fa¸con `a estimer l’´evolution de la concentration. On note cnla concentration du
d´eriv´e chlor´e `a l’instant n(en minutes).
L’observation des donn´ees relev´ees conduisent `a conjecturer que cn+1 −cnest proportionnel `a c2
n.
On obtient ainsi c0= 0,5et cn+1 =cn−0,08 c2
n.
1. ` A l’aide d’un tableur, repr´esenter l’´evolution de la concentration du d´eriv´e chlor´e au cours des 12 heures suivant la
r´eaction. Conjecturer la limite ´eventuelle de (cn).
2. On utilise l’algorithme suivant :
a) Quelle valeur est affich´ee en sortie pour A= 0,2? Pour A= 0,1?
Interpr´eter.
b) Expliquer le rˆole de cet algorithme.
1. Entr´ee
2. Saisir A
3. Initialisation
4. Affecter `a nla valeur 0
5. Affecter `a cla valeur 0,5
6. Traitement
7. Tant que c>Afaire
8. Affecter `a cla valeur c−0,08c2
Affecter `a nla valeur n+ 1
9.
10. Fin Tant que
11. Sortie
12. Afficher n
Exercice 19.
Des biologistes ´etudient le d´eveloppement de la bact´erie Neisseria meningitidis (´egalement connue sous le nom de m´enin-
gocoque), responsable de certaines m´eningites. In vitro, on a constat´e que le nombre de bact´eries augmente de 25 % toutes
les heures. On place au d´ebut de l’exp´erience 10 bact´eries dans une ´eprouvette.
1. Mod´eliser cette situation `a l’aide d’une suite u.
2. ´ Etudier la monotonie de u.
3. Cr´eer une feuille de calcul sur tableur affichant le nombre de bact´eries pr´esentes dans l’´eprouvette toutes les heures
pendant 50 heures.
4. Conjecturer la limite de unquand ntend vers +∞.
5. Au bout de combien de temps le nombre de bact´eries est-il sup´erieur `a 1 000 ? 10 000 ? 100 000 ?
6. ´ Ecrire un algorithme qui, `a partir de la donn´ee d’un entier positif A, renvoie le temps d’attente pour que le nombre de
bact´erie devienne sup´erieur `a A.
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V Annales du bac
Exercice 20 (Bac S ∗Asie ∗Juin 2016).
Une soci´et´e produit des bact´eries pour l’industrie. En laboratoire, il a ´et´e mesur´e que, dans un milieu nutritif appropri´e,
la masse de ces bact´eries, mesur´ee en grammes, augmente de 20 % en un jour.
La soci´et´e met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bact´eries. Ensuite, chaque jour, `a heure fixe, on remplace
le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette op´eration, 100 g de bact´eries sont perdus.
On mod´elise l’´evolution de la population de bact´eries dans la cuve par la suite (un)d´efinie de la fa¸con suivante:
u0= 1 000 et, pour tout entier naturel n,un+1 = 1,2un−100.
1. Expliquer en quoi ce mod`ele correspond `a la situation de l’´enonc´e. On pr´ecisera en particulier ce que repr´esente un.
2. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bact´eries d´epassera 30 kg. ` A l’aide de la
calculatrice, donner la r´eponse `a ce probl`eme.
3. On peut ´egalement utiliser l’algorithme ci-contre
pour r´epondre au probl`eme pos´e dans la question
pr´ec´edente.
Recopier et compl´eter cet algorithme.
4. On admet que pour tout entier naturel n,un>1 000.
D´emontrer que la suite (un)est croissante.
Variables uet nsont des nombres
uprend la valeur 1 000
nprend la valeur 0
Traitement Tant que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . faire
uprend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . .
nprend la valeur n+ 1
Fin Tant que
Sortie Afficher . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 21 (Bac S ∗Am´erique du Sud ∗Novembre 2015).
Dans un pays de population constante ´egale `a 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les
mouvements de population peuvent ˆetre mod´elis´es de la fa¸con suivante :
◮en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
◮chaque ann´ee, 10 % des ruraux ´emigrent `a la ville ;
◮chaque ann´ee, 5 % des citadins ´emigrent en zone rurale.
Pour tout entier naturel n, on note :
◮unla population en zone rurale, en l’ann´ee 2010 + n, exprim´ee en millions d’habitants ;
◮vnla population en ville, en l’ann´ee 2010 + n, exprim´ee en millions d’habitants.
On a donc u0= 90 et v0= 30.
1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant unet vn.
2. Utiliser un tableur pour visualiser l’´evolution des suites (un)et (vn)de n= 0 `a n= 63. Quelles formules peut-on
saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopi´ees vers le bas, permettent d’obtenir la feuille de calcul souhait´ee ?
A B C
1nPopulation en
zone rurale
Population en
ville
20 90 30
31 82,5 37,5
3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l’´evolution `a long terme de cette population ?
4. On consid`ere l’algorithme ci-contre :
a) Que fait cet algorithme ?
b) Quelle valeur affiche-t-il ?
Entr´ee : net usont des nombres
Initialisation : nprend la valeur 0
uprend la valeur 90
Traitement : Tant que u>120 −ufaire
nprend la valeur n+ 1
uprend la valeur 0,85 ×u+ 6
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
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