Fiche d`exercices - Tivomaths

Première S
Janvier 2017
CH06 - Fiche d’exercices
Thème : Suites numériques (Partie 1).
I
Modes de génération
II Programmer un tableau de valeurs
Exercice 6.
Les suites u et v sont définies sur N par les formules cidessous entrées dans un tableur.
A
B
C
1 n
un
vn
2
0 =A2-4*(-1)^A2
4
3
1
=racine(C2)+A2
Exercice 1.
Calculer dans chaque cas les 3 premiers termes de (un ).
a) un = 2n + 1
b) un = (−1)n
c) un = 2 +
(−1)n+1
n
√
n+1
n+1
e) (T) un =
n+3
f) (T) un = (−2)n
d) (T) un =
1. Quels nombres vont s’afficher dans les cellules B2 et C3 ?
g) (T) un = 2n + (−1)n
Exercice 2.
Dans chacun des cas suivants, exprimer un+1 , un−1 et u3n+1
en fonction de n.
a) un = 2n2 − 3
b) un = (−1)n
c) un =
n2 − 3n
n+2
d) (T) un = −n2 + 5n
5n
e) (T) un =
n+1
f) (T) un = 2n−1
où f (x) = (x − 1)2
d) (T) un+1 = (un )2 − 1
2
+1
un
√
= un + 14
e) (T) un+1 =
f) (T) un+1
Exercice 7.
Inès a ouvert le 1er janvier 1978 un compte rémunéré au
taux annuel de 1 % d’intérêts composés. Elle a déposé une
somme dont l’équivalent actuel s’élève à 1 200 e.
Depuis cette date, chaque année, elle verse 800 e sur son
compte le 1er janvier.
1. Justifier que le montant du compte d’Inès, le 2 janvier
1979, était l’équivalent de 2 012 e.
Exercice 3.
La suite (un )n∈N est définie par u0 = 2 et par une relation
de récurrence. Dans chacun des cas suivants, calculer u1 , u2
et u3 .
a) un+1 = 6un + 1
2 + un
b) un+1 =
un − 1
c) un+1 = f (un )
2. Donner les définitions des suites u et v en langage mathématique usuel.
2. Pour tout entier naturel n, on note Sn le montant en euros sur le compte d’Inès, le 2 janvier de l’année 1978 + n.
Exprimer Sn+1 en fonction de Sn .
3. À l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer
la somme qui figurera sur le compte d’Inès le 2 janvier
2028.
Exercice 8.
On considère l’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox, qui
renvoie un terme d’une suite u.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Exercice 4.
1. Soit u la suite définie sur N par un = 2n + 1.
Proposer une définition par récurrence de cette suite.
ß
v0 = 0
2. Soit v la suite définie sur N par
vn+1 = vn + 2
Proposer une définition explicite de cette suite.
3. Soit w la suite définie sur N par wn = (n + 2)2 .
Prouver que w0 = 4 puis que pour tout entier naturel n,
wn+1 = wn + 2n + 5.
Exercice 5.
Modéliser chaque situation à l’aide d’une suite définie sur
N par son terme initial et une relation de récurrence, puis
calculer les trois premiers termes de cette suite.
◮ Situation 1. La population d’une ville, initialement de
10 000 habitants, diminue chaque année de 3 %.
◮ Situation 2. Le nombre d’abonnés à une revue était la
première année de 5 000. Chaque année, 95 % des abonnés renouvellent leur abonnement et il y a 500 nouveaux
abonnés.
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VARIABLES
u EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
u PREND_LA_VALEUR -4
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
u PREND_LA_VALEUR u+5
FIN_POUR
AFFICHER "................................."
AFFICHER u
14: FIN_ALGORITHME
1. À quelle(s) ligne(s) définit-on la suite u ?
2. Donner la définition de la suite u.
3. Compléter le message adressé à l’utilisateur à la ligne 12.
Exercice 9.
Soit (vn ) la suite définie sur N par
1. Calculer v4 .
(
v0 = 2
vn+1 =
vn
1 + 2vn
2. Écrire un algorithme (par exemple avec AlgoBox) qui, à
partir de la donnée d’un entier naturel n saisi par l’utilisateur, renvoie le terme de rang n de cette suite.
3. Déterminer v100 à l’aide de cet algorithme.
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LATEX 2ε
Exercice 10.
On considère l’algorithme suivant :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Exercice 13.
On a tracé ci-dessous une parabole représentant un trinôme f .
Entrée
Saisir n (n entier, n > 1)
Initialisation
u prend la valeur 1
Traitement
Pour i allant de 1 à n
u prend la valeur 2u + i − 1
Afficher u
Fin Pour
~
1. On saisit n = 6 et on applique cet algorithme. Dresser
un tableau à deux lignes (une pour i, l’autre pour u)
en y indiquant toutes les valeurs que prennent ces deux
lettres.
2. Cet algorithme affiche les termes d’une suite (un ) générée
par une relation de récurrence. Donner la définition de
cette suite et préciser les termes affichés par l’algorithme.
3. Modifier l’algorithme de sorte que seul le terme de rang
n soit affiché.
A
B
4. On considère la feuille de
1 n
un
calcul suivante réalisée sur
2
0
tableur.
3
1
a) Quelle valeur doit-on entrer en B2.
b) Préciser la formule à saisir dans la cellule B3 afin
d’obtenir les termes de la suite (un ) en colonne B.
5. À l’aide du programme et du tableur, donner u17 et u26 .
III
Représentations graphiques
O
1. Exprimer f (x) en fonction de x.
2. On appelle u la suite définie sur N par
ß
u0 = 7
un+1 = f (un )
a) En laissant apparents les traits de construction, placer sur l’axe des abscisses les termes u0 à u5 .
b) La suite u est-elle monotone ?
c) Émettre une conjecture concernant la limite éventuelle de la suite u.
d) À l’aide d’un tableur, estimer l’arrondi au centième
de cette éventuelle limite.
IV
Exercice 11.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les premiers
termes d’une suite (un ).
~ı
Monotonie et notion de limite
Exercice 14.
Étudier les variations de chacune des suites suivantes.
a) un = 2n2 − 1
6+n
b) un =
(n > 1)
n √
c) un = 1 − 2 n + 1
d) un = 0,3n × n
n+1
e) un =
0,3n
f) (T) un = 2n − 3
√
g) (T) un = n − 1
5+n
(n > 1)
h) (T) un =
n2
i) (T) un = 3n + 1
3n
(n > 1)
j) (T) un =
n
~
O
~ı u0
Exercice 15.
1. (T) Étudier la monotonie de la suite (un )n∈N telle que,
pour tout n ∈ N, un = n2 + 3n + 1.
2. Étudier la monotonie de la suite (vn )n∈N telle que v0 = 1
et ∀ n ∈ N, vn+1 = vn2 + 3vn + 2.
1. Quel est le premier terme de la suite (un ) ?
(
2. Par quelle relation de récurrence la suite (un ) est-elle Exercice 16.
u0 = 18
définie ?
1
Soit (un ) la suite définie sur N par
un+1 = un + 3
3. Lire graphiquement u2 .
2
4. Vérifier par le calcul.
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
(
Exercice 12. (T)
2. À l’aide de la calculatrice, calculer u4 , u5 ,. . .,u10 .
v0 = 2 ;
1
Soit (vn )n∈N la suite définie par
vn+1 = 7 − vn , ∀ n ∈ N. 3. On admet que pour tout n ∈ N, un > 6. Étudier la mo2
notonie de (un )n∈N .
En utilisant la droite d’équation y = x (i.e la première bissectrice), représenter les 5 premiers termes de (vn )n∈N sur 4. Représenter graphiquement (un ) à l’aide d’un tableur
l’axe des abscisses d’un r.o.n.
puis conjecturer la limite de un lorsque n tend vers +∞.
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LATEX 2ε
Exercice 17.
Soit v la suite définie sur N par vn = (−2)n + 2.
On souhaite conjecturer la limite de cette suite. Pour cela, on a construit la feuille de tableur ci-dessous.
1
2
A
n
vn
B
1
0
C
2
6
D
...
...
E
10
1026
F
100
1,268E+030
G
1000
1,072E+301
1. Préciser la formule saisie en B2.
2. À l’aide du tableau donné, conjecturer la limite de la suite vn quand n tend vers +∞.
3. À l’aide de la calculatrice, calculer v1001 . Cette valeur semble-t-elle cohérente avec la conjecture précédente ?
4. À l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, représenter graphiquement la suite v. Conjecturer à nouveau le comportement
de vn quand n tend vers +∞.
Exercice 18 (Concentration d’un réactif en chimie).
Lors d’une réaction chimique, on étudie l’évolution de la concentration en mol.L−1 d’un dérivé chloré.
Pendant 1 heure, on a relevé la concentration du dérivé chloré et obtenu le tableau suivant.
t en min
Concentration
en mol.L−1
0
10
20
30
40
50
60
0,500
0,354
0,274
0,224
0,189
0,164
0,145
On souhaite modéliser cette situation de façon à estimer l’évolution de la concentration. On note cn la concentration du
dérivé chloré à l’instant n (en minutes).
L’observation des données relevées conduisent à conjecturer que cn+1 − cn est proportionnel à c2n .
On obtient ainsi c0 = 0,5 et cn+1 = cn − 0,08 c2n.
1. À l’aide d’un tableur, représenter l’évolution de la concentration du dérivé chloré au cours des 12 heures suivant la
réaction. Conjecturer la limite éventuelle de (cn ).
2. On utilise l’algorithme suivant :
a) Quelle valeur est affichée en sortie pour A = 0,2 ? Pour A = 0,1 ?
Interpréter.
b) Expliquer le rôle de cet algorithme.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Entrée
Saisir A
Initialisation
Affecter à n la valeur 0
Affecter à c la valeur 0,5
Traitement
Tant que c > A faire
Affecter à c la valeur c − 0,08c2
Affecter à n la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
Exercice 19.
Des biologistes étudient le développement de la bactérie Neisseria meningitidis (également connue sous le nom de méningocoque), responsable de certaines méningites. In vitro, on a constaté que le nombre de bactéries augmente de 25 % toutes
les heures. On place au début de l’expérience 10 bactéries dans une éprouvette.
1. Modéliser cette situation à l’aide d’une suite u.
2. Étudier la monotonie de u.
3. Créer une feuille de calcul sur tableur affichant le nombre de bactéries présentes dans l’éprouvette toutes les heures
pendant 50 heures.
4. Conjecturer la limite de un quand n tend vers +∞.
5. Au bout de combien de temps le nombre de bactéries est-il supérieur à 1 000 ? 10 000 ? 100 000 ?
6. Écrire un algorithme qui, à partir de la donnée d’un entier positif A, renvoie le temps d’attente pour que le nombre de
bactérie devienne supérieur à A.
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LATEX 2ε
V
Annales du bac
Exercice 20 (Bac S ∗ Asie ∗ Juin 2016).
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié,
la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace
le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un ) définie de la façon suivante:
u0 = 1 000 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,2un − 100.
1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé. On précisera en particulier ce que représente un .
2. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la
calculatrice, donner la réponse à ce problème.
Variables
3. On peut également utiliser l’algorithme ci-contre
pour répondre au problème posé dans la question
précédente.
Traitement
Recopier et compléter cet algorithme.
4. On admet que pour tout entier naturel n, un > 1 000.
Démontrer que la suite (un ) est croissante.
Sortie
u et n sont des nombres
u prend la valeur 1 000
n prend la valeur 0
Tant que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . faire
u prend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . .
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 21 (Bac S ∗ Amérique du Sud ∗ Novembre 2015).
Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les
mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :
◮ en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
◮ chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
◮ chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.
Pour tout entier naturel n, on note :
◮ un la population en zone rurale, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants ;
◮ vn la population en ville, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants.
On a donc u0 = 90 et v0 = 30.
1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant un et vn .
2. Utiliser un tableur pour visualiser l’évolution des suites (un ) et (vn ) de n = 0 à n = 63. Quelles formules peut-on
saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d’obtenir la feuille de calcul souhaitée ?
A
1
n
2
3
0
1
B
Population en
zone rurale
90
82,5
C
Population en
ville
30
37,5
3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ?
Entrée :
Initialisation :
4. On considère l’algorithme ci-contre :
a) Que fait cet algorithme ?
Traitement :
b) Quelle valeur affiche-t-il ?
Sortie :
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n et u sont des nombres
n prend la valeur 0
u prend la valeur 90
Tant que u > 120 − u faire
n prend la valeur n + 1
u prend la valeur 0,85 × u + 6
Fin Tant que
Afficher n
LATEX 2ε