II Lois usuelles finies

VARIABLES ALEATOIRES II Lois usuelles finies
II Lois usuelles finies
1 Loi uniforme sur ~1,n
Soit n∈N∗. On dit que Xsuit la loi uniforme sur ~1,net on note X → U (~1,n) si :
• •
En ce cas :
Définition
• On tire au hasard une boule dans une urne contenant nboules numérotées de 1 à n.
• On note Xle numéro de la boule tirée, alors X → U (~1,n).
Situation modèle : la loi de l’équiprobabilité
Exercice 1 — Démontrer la formule donnant E(X), et calculer V(X).
Exercice 2 — Un gardien possède n clés et doit ouvrir une porte dans le noir. On suppose qu’il n’utilise jamais
deux fois la même clé. Combien en moyenne doit-il essayer de clés ?
•Remarque. Soient a≤bdeux entiers, Xsuit la loi uniforme sur ~a,bsi :
2 Loi de Bernoulli
Soit p∈[0,1]. On dit que Xsuit la loi de Bernoulli de paramètre pet on note X → B(p) si :
• •
En ce cas :
Définition
On considère une expérience aléatoire à deux issues possibles : succès avec probabilité p et échec avec
probabilité 1 −p. Si Xest la variable aléatoire valant 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, alors X → B(p).
Situation modèle : l’indicateur de succès
• Exemple typique. On lance une pièce truquée donnant Pile avec probabilité p.
On note Xla variable aléatoire valant 1 si l’on obtient Pile et 0 si l’on obtient Face. Alors X → B(p).
Exercice 3 — Démontrer les formules sur l’espérance et la variance.
Exemple 1 Variable indicatrice d’ un événement —Soit A⊂Ωun événement.
On appelle indicatrice de l’événement Ala variable aléatoire 1Adéfinie par :
On pose p=P(A). Montrer que 1Asuit la loi de Bernoulli B(p).
3 Loi binomiale
Soient n∈N∗ et p∈[ 0 , 1 ] . On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p , et on note X → B ( n,p ) si :
• •
En ce cas :
Définition
• On effectue n répétitions indépendantes d’une expérience de Bernoulli (i.e. deux issues possibles : succès
avec probabilité pou échec avec probabilité 1 −p.)
• Si X est la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus lors de ces n répétitions, alors X → B ( n,p ).
Situation modèle : le compteur de succès
• Exemple typique. On lance n fois, de manière indépendante, une pièce donnant Pile avec probabilité p . On
note Xla variable aléatoire égale au nombre de piles obtenues. Alors X → B(n, p).
Exercice 4 — 1. Vérifier que les relations de la définition ci-dessus définissent bien une loi de probabilité.
2. Démontrer la formule donnant l’espérance de la loi B(n,p).
Exercice 5 — On note p le pourcentage de gauchers dans le monde. Donner en fonction de p la probabilité
qu’un groupe de 8 personnes choisies au hasard contienne : a) exactement 2 gauchers b) au moins 2 gauchers