Corrigé

U.F.R. de Mathématiques
Outils mathématiques pour
les sciences, M48, 2014–15
Corrigé de l’examen du 13 mai 2015
Ex 1.
1)
Séries entières (5 points)
On considère la série entière
`8
ÿ
p´3qk k
z . Déterminer son rayon de conver5k`1
k“0
gence R.
On pose ak “ p´3qk {5k`1 . Soit r ě 0, alors
lim |ak |rk “ lim
kÑ`8
kÑ`8
1
5
ˆ
3r
5
˙k
$
& 0 si r ă 5{3,
1{5 si r “ 5{3,
“
%
`8 si r ą 5{3.
On en déduit que le rayon de convergence de la série entière
`8
ÿ
p´3qk k
z est R “ 5{3.
k`1
5
k“0
2) Montrer qu’elle ne converge en aucun point de son cercle frontière (autrement
dit que si |z| “ R, la série diverge).
Soit z un complexe tel que |z| “ 5{3. Alors
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ ˙k
k
ˇ p´3qk k ˇ
ˇ p´3qk ˇ
1
3
5
k
“ .
lim ˇˇ k`1 z ˇˇ “ lim ˇˇ k`1 ˇˇ ˆ |z| “ lim k`1 ˆ
kÑ`8 5
kÑ`8 5
kÑ`8 5
3
5
Le terme général de la série entière ne converge donc vers 0 en aucun point du cercle
frontière : la série entière ne converge donc en aucun point du cercle frontière.
3) Calculer sa somme pour z P Dp0, Rq, où Dp0, Rq désigne le disque ouvert de
centre 0 et de rayon R du plan complexe.
Soit z appartenant au disque ouvert Dp0, 5{3q. On calcule alors la somme de la série
en utilisant la formule qui donne la somme d’une série géométrique convergente :
ÿ p´3zqk
ÿ ˆ ´3z ˙k 1
p´3qk k 1 `8
1 `8
1
1
z “
“
“ ˆ
“
.
k`1
k
5
5 k“0 5
5 k“0
5
5 1 ` 3z{5
5 ` 3z
k“0
`8
ÿ
4)
On note
gpzq “
1
.
p3z ` 5qp1 ´ zq
Quel est l’ensemble de définition Dg de g ? Vérifiez qu’il existe deux constantes a et b
telles que pour tout z P Dg ,
a
b
gpzq “
`
.
3z ` 5 1 ´ z
La fonction g est une fraction rationnelle, elle est donc définie sur le plan complexe privé des points où son dénominateur s’annule, autrement dit sur Czt´5{3, 1u. On
cherche maintenant s’il existe deux constantes a et b telles que pour tout z P Dg ,
1
a
b
“
`
.
p3z ` 5qp1 ´ zq
3z ` 5 1 ´ z
Comme
(1)
a
b
ap1 ´ zq ` bp3z ` 5q
zp3b ´ aq ` pa ` 5bq
`
“
“
,
3z ` 5 1 ´ z
p3z ` 5qp1 ´ zq
p3z ` 5qp1 ´ zq
l’équation (1) équivaut donc au système 3b ´ a “ 0 et a ` 5b “ 1, qui admet pour unique
solution a “ 3{8 et b “ 1{8.
5) Utilisez cette décomposition pour donner un développement de g en série entière.
Quel est le rayon de convergence de ce développement ?
On vient d’établir que pour tout z P Dg ,
ˆ
˙
3
1
1
`
.
gpzq “
8 3z ` 5 1 ´ z
On sait que, pour |z| ă 1, 1{p1 ´ zq est la somme de la série géométrique complexe
standard ; on a un résultat analogue pour 1{p3z ` 5q lorsque |z| ă 5{3, d’après les
questions précédentes de l’exercice. On en déduit que pour |z| ă 1,
˜
¸
`8
`8
´ ´3 ¯k`1 ˙
ÿ p´3qk
ÿ
ÿˆ
1 `8
1
k
k
3
z `
z
“
1´
gpzq “
zk ,
k`1
8
5
8
5
k“0
k“0
k“0
et cette égalité étant valable au moins pour les complexes z tels que |z| ă 1, ce développement a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1. Comme par ailleurs
lim 1 ´
kÑ`8
´ ´3 ¯k`1
5
“ 1,
le terme général de la série entière ne tend pas vers 0 pour z “ 1, il n’y a donc pas
convergence de la série entière en 1 : le rayon de convergence du développement obtenu
est donc exactement 1.
Ex 2.
Q.C.M. (5 points)
On voudrait savoir si le système des Q.C.M. (Questionnaires à Choix Multiples)
favorise ou non les étudiants. Pour cela, on va modéliser « un élève moyen répondant à
un Q.C.M. », et essayer de se poser quelques questions pertinentes.
Pour chaque question du Q.C.M., quatre réponses sont proposées. On considère que la
probabilité qu’un étudiant moyen connaisse la réponse à une question donnée ne dépend
pas de celle-ci, et vaut p Ps0, 1r. Si il ne connaît pas la réponse, il répond au hasard.
2
1)
Quelle est la probabilité que l’étudiant réponde correctement à une question
donnée ?
Pour répondre à cette question, on introduit les évènements suivants :
J = « l’étudiant répond correctement à une question donnée »
C = « l’étudiant connaît la réponse à cette même question »
D’après l’énoncé, P pCq “ p et P pJ|C c q “ 1{4, puisque dans le cas où l’étudiant ne
connaît pas la réponse, il répond « au hasard », ce que l’on modélise par une loi uniforme
sur les quatre réponses proposées. En appliquant la formule de conditionnement par tous
les cas possibles, on peut alors écrire :
1 ` 3p
1
,
P pJq “ P pJ|CqP pCq ` P pJ|C c qP pC c q “ p ` p1 ´ pq “
4
4
où l’on s’est servi du fait que P pJ|Cq “ 1, autrement dit du fait que lorsque l’étudiant
connaît la bonne réponse, il répond correctement !
2) Sachant que l’étudiant a bien répondu à la question, quelle est la probabilité
qu’il ne connaissait pas la réponse ?
L’énoncé nous demande de calculer P pC c |Jq :
P pC c |Jq “
P pC c X Jq
P pJ|C c qP pC c q
1´p
4
1´p
“
“
ˆ
“
.
P pJq
P pJq
4
1 ` 3p
1 ` 3p
Le Q.C.M. est composé de vingt questions, et l’on suppose qu’elles sont assez variées
pour considérer que les réponses de l’étudiant sont indépendantes entre elles. Chaque
question est notée sur 1. On définit l’évènement Ak , pour k P t0, . . . , 20u, par Ak “
« l’étudiant obtient la note k ».
3) Calculer P pA20 q.
On introduit les évènements Ji = « l’étudiant répond correctement à la i-ième question », pour j “ 1, . . . , 20. Alors A20 “ J1 X ¨ ¨ ¨ X J20 , ce qui entraîne, en utilisant
l’indépendance des évènements Ji indiquée par l’énoncé, que :
˙20
ˆ
˙ ź
ˆ
20
20
Ş
1 ` 3p
P pA20 q “ P
Ji “
P pJi q “
,
4
i“1
i“1
où la dernière égalité provient du fait que la probabilité qu’un étudiant connaisse la
réponse à une question donnée ne dépend pas de celle-ci, et donc la probabilité de
répondre correctement à la i-ième question ne dépend pas de i, autrement dit P pJi q “
P pJq.
4) Calculer P pAk q, pour k P t0, . . . , 20u.
L’évènement Ak est l’évènement « l’étudiant obtient la note k ». Comme chaque question vaut 1 point, Ak est aussi l’évènement « l’étudiant répond correctement à exactement k questions sur les 20 ». On peut donc considérer que l’étudiant répète 20 fois
la même épreuve aléatoire, ces répétitions étant indépendantes les unes des autres, et
chaque épreuve a deux issues possibles : réussite ou échec, la probabilité de réussite étant
3
constante égale à p1 ` 3pq{4. Le nombre de succès obtenus suit donc une loi binomiale
de paramètres 20 et p1 ` 3pq{4, autrement dit, pour tout k P t0, . . . , 20u,
ˆ
˙k ˆ
˙20´k
1 ` 3p
3p1 ´ pq
k
P pAk q “ C20
.
4
4
Ex 3.
Interprétation du graphique d’une fonction de répartition (5 points)
La variable aléatoire X a pour fonction de répartition F dont le graphe est représenté
par la figure 1.
y
1
0,7
0,6
0,4
0,2
−6
−4
−2
0
x
Figure 1 – Fonction de répartition F
1)
Donner les valeurs des probabilités suivantes :
P pX “ ´6q,
P pX ě ´6q,
P p´2 ď X ď 0q,
P p´6 ă X ă ´2q,
‚ P pX “ ´6q “ F p´6q ´ F pp´6q´q “ 0, 4 ´ 0, 2 “ 0, 2
‚ P pX ě ´6q “ 1 ´ P pX ă ´6q “ 1 ´ F pp´6q´q “ 1 ´ 0, 2 “ 0, 8
‚ P p´2 ď X ď 0q “ F p0q ´ F pp´2q´q “ 1 ´ 0, 6 “ 0, 4
‚ P p´6 ă X ă ´2q “ F pp´2q´q ´ F p´6q “ 0, 6 ´ 0, 4 “ 0, 2
‚ P pX ą ´2q “ 1 ´ P pX ď ´2q “ 1 ´ F p´2q “ 1 ´ 0, 7 “ 0, 3.
2) Que vaut P pX ě 0q ? Que peut-on en déduire sur X ?
P pX ě 0q “ 1 ´ P pX ă 0q “ 1 ´ F p0´q “ 1 ´ 1 “ 0,
la variable aléatoire X est donc négative (presque sûrement).
4
P pX ą ´2q.
3) La variable aléatoire X est-elle à densité ?
La fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité est une fonction continue sur R. La fonction de répartition F dont le graphique est représenté Figure 1 est
clairement discontinue en ´6 et ´2, elle n’est donc pas continue sur R : la variable
aléatoire X n’est donc pas à densité.
Ex 4.
Loi triangulaire (7 points)
On note f la fonction définie sur R par :
$
0
’
’
’
&t
f ptq “
’
2´t
’
’
%
0
1)
si
si
si
si
t ď 0,
0 ă t ď 1,
1 ă t ď 2,
t ą 2.
Dessiner la représentation graphique de f .
f (t)
1
0
1
2
t
Figure 2 – Représentation graphique de f
2) Vérifier que f est une densité de probabilité.
À partir du graphique de f , on constate que f est une fonction continue sur R, à
valeurs positives. De plus, l’aire entre l’axe des abscisses et le graphe de f se calcule ici
simplement, puisqu’il s’agit de l’aire d’un triangle de base 2 et de hauteur 1 : l’aire est
donc de 1, ce qui finit de prouver que f est une densité de probabilité sur R.
Dans toute la suite de l’exercice, X désigne une variable aléatoire de densité f .
3) Calculer P pX ą 3{2q et P pX ď 1q, et représenter ces probabilités sur le graphique de f .
La loi de la variable aléatoire X admettant f pour densité, on a :
„ 2 1{2
ż `8
ż2
ż 1{2
1
t
“ ,
P pX ą 3{2q “
f ptq dt “
p2 ´ tq dt “
t dt “
2 0
8
3{2
3{2
0
5
ż1
ż1
f ptq dt “
P pX ď 1q “
0
´8
„ 2 1
t
1
t dt “
“ .
2 0 2
Représentons les deux régions du plan dont a calculé l’aire pour calculer ces deux probabilités :
f (t)
1
1
2
0
3
2
1
2
t
La quantité P pX ą 3{2q correspond à la zone hachurée par des droites de pente 1.
Cette région est un triangle, de surface pp2 ´ 3{2q ˆ 1{2q{2 “ 1{8, on retrouve bien la
valeur obtenue ci-dessus au moyen d’un calcul d’intégrale.
La quantité P pX ď 1q correspond quant à elle à la zone hachurée par des droites de
pente ´1. Il est immédiat que l’aire de cette zone (qui est un triangle) est la moitié de
l’aire totale sous la courbe de f , que l’on sait valoir 1 : on retrouve bien une probabilité
de 1{2.
4) Déterminer la fonction de répartition F de X et donner sa représentation graphique.
La fonction de répartition F de X, variable aléatoire à densité, est donnée pour u
réel quelconque par
ż
u
f ptq dt.
F puq “ P pX ď uq “
´8
Si u ă 0,
żu
żu
f ptq dt “
F puq “
0 dt “ 0.
´8
´8
Si 0 ď u ă 1,
żu
żu
ż0
f ptq dt “
F puq “
0 dt `
´8
´8
t dt “
0
u2
.
2
Si 1 ď u ă 2,
żu
ż0
f ptq dt “
F puq “
´8
0 dt `
´8
żu
ż1
t dt `
0
1
„
u
1
t2
u2
p2 ´ tq dt “ ` 2t ´
“ ´ ` 2u ´ 1.
2
2 1
2
6
Si u ě 2,
żu
ż0
f ptq dt “
F puq “
´8
0 dt `
´8
En résumé,
ż1
t dt `
0
żu
ż2
p2 ´ tq dt `
1
$
’
0
’
’
’
2
’
’
&u
F puq “ 2 2
u
’
’
´ ` 2u ´ 1
’
’
’
2
’
%1
2
„
2
1
t2
0 dt “ ` 2t ´
“ 1.
2
2 1
si u ă 0,
si 0 ď u ă 1,
si 1 ď u ă 2,
si u ě 2.
F (u)
1
0, 5
0
1
2
u
Figure 3 – Représentation graphique de F , fonction de répartition de X
5) Calculer l’espérance de X.
Comme P pX ě 0q “ 1 (immédiat graphiquement), X est une variable aléatoire
(presque sûrement) positive, on sait donc que EpXq existe (dans R̄` ). De plus, X admettant f pour densité, on a :
„
2
ż1
ż2
ż `8
1
t3
1
7
2
2
tp2 ´ tq dt “ ` t ´
“ ` 3 ´ “ 1.
t dt `
EpXq “
tf ptq dt “
3
3 1 3
3
´8
0
1
Ce résultat est conforme à l’intuition que l’on pouvait en avoir au vu de la densité f de
X.
7