DM n°3 : Circuits Électriques dans l`ARQS

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°3 : Circuits
Électriques dans l’ARQS
Préparation ITPE Interne - Concours 2016-2017
Correction
Exercice I : Circuit LC Réel
Les deux premières questions sont cruciales dans la compréhension des phénomènes physiques que l’on rencontre
en électronique. Bien souvent, comprendre la non-idéalité des composants utilisés permet de résoudre les problèmes
simples et pratiques que l’on rencontre partout sur le terrain (puisque l’électronique est omniprésente).
1) La bobine est dite idéale lorsqu’elle n’est contitutée d’une inductance pure : RL “ 0. Cependant en réalité,
une bobine est composée d’un long enroulement de fils conducteurs. Ces derniers, même si de bonne qualité, ne
peuvent empêcher des pertes par effets Joules. On doit donc tenir compte de ces éléments dissipatifs, ce que l’on
fait grâce à la résistance RL .
On modélise donc les pertes par effets Joules avec RL ą 0.
Typiquement, il y a souvent plus de fils conducteurs utilisées dans une bobine de grande inductance que dans le
reste de vos circuits en Travaux Pratiques. Le bobinage se compte souvent en mètres pour les grosses bobines.
2) Dans le modèle idéal de condensateur, on associe au condensateur une capacité pure. Pour enlever la branche
en parallèlle, il faut avoir RC Ñ
Ý 8. En réalité, le diélectrique n’est pas parfaitement conducteur, il laisse passer
des électrons. Cela augmente le temps de charge du condensateur du fait de ces « fuites ». Lorsque ces fuites ne
peuvent plus négligées, on les modélise par une résistance RC ă 8 en parallèle.
On modélise donc les fuites de courant, causées par un isolant non-parfait, avec RC ă 8.
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2
Rappel de cours
Il faut être capables désormais de comprendre ce que sont deux dipôles en parallèle. Remarquez par
exemple que deux résistances identiques R en parallèle sont équivalentes à une résistance R{2 ă R.
Pouvez-vous l’expliquer qualitativement ?
Le branchement en parallèle offre le choix aux électrons de passer soit dans une branche soit dans l’autre.
Ils choisiront bien sûr le trajet le plus facile ! Ainsi, la branche possédant la plus grande impédance, se
verra le centre d’un courant moins intense. Si bien que si une résistance de très grande valeur est mise en
paralléle d’un autre dipôle, le courant qui la travers sera négligeable : tout se passe comme si elle n’est
pas présente.
Dans le cas de deux chemins identiques (deux résistances R), deux fois plus d’électrons peuvent passer
à la fois (deux passage) ce qui résulte d’une intensité totale plus forte : une résistance équivalente plus
faible.
3) (COURS) τ représente la constante de temps caractéristique d’un circuit RC C et d’un circuit RL L : c’est donc
un temps .
4) On commence par reprendre le schéma pour ajouter des notations afin d’appliquer les lois de Kirchhoff.
RL
L
i
i2
i1
uC ptq
E
C
RC
K
Loi de nœuds :
i “ i1 ` i2
Loi des Mailles :
E “ uC ` RL i ` L
Caractéristique 1 :
uC “ RC i2
duC
i1 “ C
dt
Caractéristique 2 :
On en déduit donc que iptq “ C
duC
uC
`
que l’on remplace dans la loi des nœuds. On obtient alors :
dt
RC
LC
On remarque alors que LC “
di
dt
¯ du
´R
¯
d2 uC ´ L
C
L
`
`
R
C
`
`
1
uC “ E.
L
dt2
RC
dt
RC
L
1
τ2
CRC ¨ 2 “ 2 ; en divisant par LC, on obtient donc :
RL
r
r
d2 uC
2 duC
r2 ` 1
r2
`
`
u
“
E.
C
dt2
τ dt
τ2
τ2
r2
E convient.
`1
Pour l’équation homogène associée, le discriminant vaut (et c’est ici que supposer la même constante de temps
simplifie énormément les calculs) :
´1
´ 2r ¯2
r2 ` 1 ¯
4r2
∆“4 2 ´
“
´
“
´
.
τ
τ2
τ2
τ
5) Pour la solution particulière, la fonction constante up ptq “
r2
3
1
r
L’équation caractéristique possède donc deux solutions, complexes conjuguées l’une de l’autre r1,2 “ ˘ i ,
τ
τ
d’où la solution dans le cas général :
´
´ t¯
´ t ¯¯
r2
uptq “ A cos r
` B sin r
e´t{τ ` 2
E,
τ
τ
r `1
avec A et B des constantes réelles.
Enfin comme d’habitude, les constantes sont déterminées par les conditions initiales.
Rappel de cours
Les deux seules relations de continuités de l’on possède à la fermeture d’un interrupteur sont :
— La tension aux bornes d’un condensateur est continue.
— Le courant traversant une bobine est continu.
Le condensateur étant initialement déchargé, on peut écrire uC pt “ 0` q “ uC pt “ 0´ q “ 0. De plus, ipt “ 0` q “ 0
uC p0` q
duC `
car le circuit est ouvert pour des temps négatifs, mais alors C
p0 q `
“ ip0` q “ 0 ce qui nous donne
dt
RC
au final les conditions initiales :
uC pt “ 0` q “ 0
et :
duC
pt “ 0` q “ 0.
dt
En remplaçant uC par son expression, on en déduit :
A“´
r2
E
r2 ` 1
et :
B “ A{r.
On peut résumer tout ce qui précède par :
uC ptq “
´
´ t¯
´ t¯
¯
r2
1
´t{τ
´t{τ
E
1
´
cos
r
e
´
sin
r
e
.
r2 ` 1
τ
r
τ
6) On sait qu’en régime établi, une inductance pure est comparable à un fil, et une capacité pure à un interrupteur
ouvert. Il ne reste en régime établi qu’une maille, ce qui nous donne aisément par un pont diviseur de tension :
U “ uC pt Ñ
Ý 8q “
RC
r2
E“ 2
E comme attendu !
RC ` RL
r `1
L
» 9.3 ms.
RL
Lorsque t ! τ , on s’approche du cas idéal : les fuites de courant dans le condensateur ne sont pas encore trop
r
1
grave et les pertes par effets Joules sont négligeables. En remarquant que “ ?
, la solution devient dans
τ
LC
ce cas :
7) Le constructeur donne RL “ 7.5 Ω et L “ 70 mH, on a donc τ “
uC ptq “
´
´ t ¯ 1
´ t ¯¯
r2
?
?
E
1
´
cos
´
sin
.
r2 ` 1
r
LC
LC
On retrouve le cas idéal lorsque r " 1 c’est à dire RC " RL ce qui est en accord avec la première question on
l’on a trouvé que RL était petit (correction de 0) et RC très grand (correction de 8).
Remarque
t ¯
On retrouve le cas idéal uid ptq “ E 1 ´ cos ?
, lorsque les éléments du circuit sont de bonne qualité
LC
(proche de l’idéalité) – r " 1 – et sur des temps où les pertes ne sont pas encore visibles – t ! τ .
´
4
Exercice II : Pont de Wheatstone et Application
Le pont de Wheatston est utilisé dans la mesure de très petites variations de résistance électriques.
A
RR
1 3
E
B
∆V
D
RR
2 4
C
1) Lorsque ∆V “ 0, c’est à dire que le pont est équilibré, le potentiel en B est le même qu’en D. La tension aux
bornes de R1 est donc la même que celle aux bornes de R3 . En utilisant deux pont diviseurs de tension, on en
déduit :
R1
R3
E “ uBÑA “ uDÑA “
.
R1 ` R2
R3 ` R4
Finalement, l’égalité entre les deux membres extrêmes de cette équation conduit aisément au résultat voulu :
R1 R4 “ R2 R3 .
Attention !
On rappelle que le pont diviseur de tension ne peut être appliqueé que pour deux résistance traversées
par la même intensité. Ici, R1 et R2 sont bien traversées par le même courant ; tout comme R3 et R4 .
On ne pourrait pas utiliser la même technique si un dipôle était branché entre B et D.
2) On cherche le générateur de tension équivalent à notre système :
ET h
RT h
B
D
(a) Le théorème de Thévenin, rappelé dans le sujet, nous indique que Eth “ ∆V . On peut se resservir des ponts
diviseurs utilisés à la question précédente pour calculer ∆V si l’on remarque que :
∆V “ uBÑA ´ uDÑA .
En réutilisant les expressions précédentes, on obtient alors :
´
ET h “ E
R1
R3 ¯
´
.
R1 ` R2
R3 ` R4
(b) Lorsque E “ 0, la branche située la plus à gauche sur le schéma peut être remplacée par un fil. On peut
déterminer la résistance équivalente au système en dessinant le schéma à nouveau dans ces conditions :
R1
R3
A
B
D
C
R2
R4
5
La résistance RT h est donc égale à R1 k R2 ` R3 k R4 , soit :
Rth “
R1 R2
R3 R4
`
.
R1 ` R2
R3 ` R4
A- Balance de Précision
On utilise une jauge de contrainte, un matériaux dont la résistance varie avec la déformation de la jauge, pour
mesurer le poids d’un objet. On accroche cet objet à la jauge, qui est elle-même insérée dans le pot de Wheatston, à
la place de la résistance R1 .
On choisit les paramètres du système tels que R2 “ R3 “ R4 “ R0 et que lorsque l’élongation de la jauge est nulle,
on ait R1 “ R0 . On branche un voltmètre de grande résistance interne entre B et D, de telle sorte que l’intensité dans
le circuit soit nulle.
3) Lorsque la masse accrochée à la jauge est nulle, toutes les résistances valent R0 , le pont est donc trivialement 1
équilibré.
4) On reprend le résultat précédent donnant ∆V en fonction des résistances et de E en utilisant les valeurs des
résistances :
´ R ` KM R
1¯
KM R0
0
0
“ ER0
´
.
∆V “ E
2R0 ` KM R0
2
4R0 ` 2KM R0
Finalement, on obtient une variation de tension
∆V “
E KM
.
2 2 ` KM
4∆V
5) On peut ré-écrire cette relation comme M “
. Pour une sensibilité de l’ordre de 1 mV on peut
KpE ´ 2∆V q
mesurer une masse :
Mmin “ 3 mg pour une jauge semi-conductrice.
Remarque
En réalité, on se soucie peu de la masse la plus petite que peut mesurer un appareil de mesure, mais on veut
connaître sa sensibilité, c’est à dire le nombre de chiffres significatifs que peut afficher l’appareil de mesure. De
manière générale, la sensibilité des appareils de mesure se calcule empiriquement après fabrication et figure dans
la notice de l’instrument. Cependant, on peut théoriquement arriver à des ordres de grandeur de notre sensibilité
en utilisant la transmission des erreurs. Ici, le voltmètre – de moindre qualité – n’est capable d’afficher que des
tension éloignées de δV “ 1 mV. La sensibilité de la balance en est diminuée d’autant. La formule générale se
trouve être, pour une formule M “ f px1 , x2 q :
c´
Bf ¯2 ´
Bf ¯2
δM “
δx1
` δx2
avec δxi l’erreur sur la mesure de xi .
Bx1
Bx2
Dans notre cas, la sensibilité est donc simplement
δM “
4δV
E
ce qui se trouve aussi être 3.3 mg.
K pE ´ 2∆V q2
1. C’est en effet la façon la plus simple d’équilibrer le pont.
6
B- Thermistance
6) Bien sûr l’idée du sujet est d’utiliser un pont de Wheastone pour faire la mesure ! Le protocole expérimental est
assez simple mais la complexité de sa mise en place dépend – comme souvent – de la précision de l’étalonnage
que l’on veut effectuer.
Le plus simple dans ce type d’expérience est de miniaturiser le système ( prendre par exemple des résistance
1206, c’est à dire 12 mm de longueur et 6 mm de largeur) puis de contrôler la température de ces résistances par
effet Seebeck. On peut ajuster finement cette température par effet Peltier 2 On peut donc maintenant fixer la
température de R2,3,4 afin d’avoir R2 “ R3 “ R4 et varier lentement la température de la résistance R1 tout en
mesurant latension à ses bornes. Si le voltmètre est branché à un ordinateur, on peut même calculer et tracer la
courbe étalon RpT q en temps réel.
Pour résumer cette technique, on peut simplement dire :
— On fixe la température de R2,3,4 dans un pont de Wheastone à une valeur connue R0 .
— On mesure simultanément la température T de la résistance que l’on veut étalonner – avec une sonde à effet
Seebeck – et la tension ∆V du pont de Wheastone déséquilibré.
— On obtient les courbes T ptq et R1 ptq grâce à la formule
R1 ptq “ R0
E ` 2∆V ptq
.
E ´ 2∆V ptq
— On peut donc tracer pour chaque temps le graphe pR, T q ce qui constitue notre courbe étalon.
2. Il serait trop long d’expliquer ces effets ici, et de nombreuses informations peuvent être trouvées sur Internet. Il faut simplement savoir
pour comprendre le protocole avancé que ces effets permettent de contrôler de manière très précise la température d’un petit échantillon.