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EL´ EMENTS DE CORRECTION DM n 7
CCP - SESSION 2008 - MP
AUTOUR DE LA FONCTION Zˆ ETA ALTERN´ EE DE RIEMANN
I. G´en´eralit´es
1. Si x0, alors la suite 1
nxn1
d´ecroit vers 0 donc la s´erie altern´ee
n1
1n1
nxconverge .
Si x0, la suite 1n1
nxn1
ne converge pas vers 0, donc
n1
1n1
nxdiverge (grossi`erement).
La fonction Fest donc d´efinie sur R
2. Comme t1, la s´erie g´eom´etrique tnconverge et sa somme vaut :
k0
tk1
1t
1
1t
donc la suite gnconverge simplement vers la fonction g:t1
1tsur 0,1 .
La suite gnconverge simplement vers la fonction gsur 0,1 ;
la fonction get les fonctions gn, n Nsont continues (par morceaux) ;
condition de domination :t0,1, gnt1tn1
1t
1tn1
1t
2
1tφ t ;
la fonction φest ind´ependante de n, continue (mˆeme sur 0,1 ) et int´egrable sur 0,1 .
D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, la suite
1
0
gnconverge vers
1
0
g.
Or,
1
0
gn
n
k0
1k
k1
n1
k1
1k1
k; donc F1
1
0
gln 1 t
1
0ln 2.
3. n1, x 2,1n1
nx
1
n2. Comme la s´erie
n1
1
n2est ind´ependante de net convergente,
la s´erie
n1
1n1
nxconverge normalement sur 2,.
On en d´eduit qu’elle converge uniform´ement sur 2,. Comme, pour tout n2, 1n1
nxx0
et que, pour n1, 1n1
nx1, le th´eor`eme de passage `a la limite terme `a terme permet d’affirmer
que F x
n1
1n1
nxxn1
lim
x
1n1
nx1.
4. D´erivabilit´e de F
(a) Soit x0. La fonction hx:tln t
txest de classe Csur 0,et hxttx11xln t t2x.
Donc hxest n´egative sur l’intervalle e1x,et positive sur 0,e1x.
Donc hxest d´ecroissante sur e1x,et croissante sur 0,e1x.
On en d´eduit que la suite ln n
nxn1
est d´ecroissante `a partir du rang e1x1.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PSI - 2016-2017

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EL´ EMENTS DE CORRECTION DM n 7
(b) fn:x1n1exln nest de classe C1et fnx1nln n
nx.
Soit a0. On pose Nae1x1. Pour tout x a, la suite ln n
nxn Na
tend vers 0 en
d´ecroissant ; donc la s´erie altern´ee
n Na
fnxconverge et, pour n Na, son reste d’ordre n,
ρnx, v´erifie :
ρnx1n1ln n1
n1x
ln n1
n1a.
Donc sup
x a
ρnxln n1
n1an0. Donc la s´erie
n1
fnconverge uniform´ement sur a, .
Pour tout n1, la fonction fnest de classe C1sur 0,;
la s´erie
n1
fnconverge simplement sur 0,et sa somme est F;
la s´erie
n1
fnconverge uniform´ement sur tout segment inclus dans 0,.
D’apr`es le th´eor`eme de d´erivation terme `a terme, Fest de classe C1sur 0,et
x0, F x
n1
1nln n
nx.
5. Lien avec ζPour x1,
F x ζ x
n1
1n11
nx
k1
2
2kx21x
k1
1
kx21xζ x .
On en d´eduit l’´egalit´e : F x 1 21xζ x .
Comme 21x
x0, F x ζ x au voisinage de et donc ζ x x1.
II. Produit de Cauchy de la s´erie altern´ee par elle-mˆeme
6. ´ Etude de la convergence
(a) Lorsque x1, la s´erie
n1
1n1
nxconverge absolument ; donc la s´erie produit de
n1
1n1
nx
par elle-mˆeme converge absolument et sa somme vaut :
n1
1n1
nx
2
F x 2.
(b) Pour x0, cnx1n2
n1
k1
1
k n k x.
Comme k k n k est maximum quand kn
2et que la somme comporte n1 termes,
cnx
n1
k1
1
k n k xn11 n22x
n1 4x
n2x
Pour 0 x1
2,n1 4x n2xa une limite strictement positive (finie ou non), donc la suite cnx
ne converge pas vers 0. Donc la s´erie
n2
cnxdiverge grossi`erement.
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7. Cas o`u x1
(a) 1
XnX
1
n
1
X
1
nX. Donc
cn1 1 n2
n1
k1
1
k n k 1n21 n
n1
k1
1
k
1
n k 1n21 n
n1
k1
1
k
n1
k1
1
n k
2 1 n21
n
n1
k1
1
k2 1 n2Hn1 n.
(b) Monotonie
Hn1
n
Hn
n1
1
nHn
1
n
Hn
n1Hn
1
n
1
n1
1
n2
11
2
1
n n 1
1
n2
n2
2n2n10.
Donc la suite Hn1
nn2
est d´ecroissante.
(c) ”Classiquement”, Hnln nau voisinage de .
Donc la suite Hn1
nn2
converge vers 0 en d´ecroissant et la s´erie altern´ee
n2
cn1 converge.
III. Calcul de la somme d’une s´erie `a l’aide d’une ´etude de ζau voisinage de 1
8. D´eveloppement asymptotique en 1
(a) On pose h x 1. Comme Fest d´erivable en 1, au voisinage de 1, on a :
Fx F1hF 1o h ln 2 hF 1o h .
On a aussi : 1 21x1 e hln 2 hln 2 ln22
2h2o h2au voisinage de x1.
(b) D´eveloppement de ζ
ζ x F x
1 21x
ln 2 hF 1o h
hln 2 ln22
2h2o h2
1
hln 2
ln 2 hF 1o h
1ln 2
2h o h
1
hln 2 ln 2 hF 1o h 1ln 2 2h o h 1 hln 2 ln 2 h F 1ln22 2o h
1
h
F1
ln 2
ln 2
2o1
9. D´eveloppement asymptotique en 1 (bis)
(a) Pour n1 et x1,2 , t1
txest d´ecroissante sur n, n 1 (intervalle de longueur 1), donc
1.1
n1x
n1
n
dt
tx1.1 nx.
On en d´eduit que :
0vnx1
nx
1
n1x.
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(b) Pour x1,2 , la suite 1
nxn1
converge (vers 0) ; comme
n
k1
1
kx
1
k1x11 n1x,
la s´erie
n1
1
nx
1
n1xconverge.
De l’encadrement du (a), on d´eduit la convergence de la s´erie
n1
vnx.
(c) Pour x1,2 ,
n
k1
vkx
n
k1
1
kx
n1
1
dt
txnζ x
1
dt
txζ x 1 x1.
(d) La s´erie
n1
vnconverge simplement sur 1,2 . On note Rnx
k n 1
vkxle reste d’ordre nde
la s´erie. D’apr`es (a), 0 Rnx
k n 1
1
kx
1
k1x
1
n1xlim
k
1
kx
1
n1x.
Donc sup
x1,2
Rnx1
n11n0. Donc la s´erie
n1
vnconverge uniform´ement sur 1,2 .
(e) Pour x1,2 , vnx1
nx
1
1x
1
nx1
1
n1x1;vn11 nln n1 ln n.
vnest continue, sauf peut-ˆetre en 1.
En 1 : en posant h x 1, 1
nx
1
no1 par continuit´e de l’exponentielle x n xen 1 et
1
1x
1
nx1
1
n1x1
1
hehln nehln n1
1
h1hln n o h 1hln n1o h
ln n1 ln n o 1
donc vnx1
nln n1 ln n o 1 . Donc vnest continue en 1.
On en d´eduit que la s´erie
n1
vnest une s´erie de fonctions continues sur 1,2 . La convergence
uniforme sur 1,2 entraˆıne donc la continuit´e de sa somme sur 1,2 . On en d´eduit que :
ζ x 1
x1n1
vnx
n1
vn1o1γ o 1
au voisinage de 1 . D’o`u ζ x 1
x1γ o 1 au voisinage de 1 .
10. Application
Par unicit´e du d´eveloppement limit´e en 1 (´eventuellement en multipliant par x1 ), on d´eduit de
8.(b) et 9.(e) les ´egalit´es a1 et F1
ln 2
ln 2
2b γ.
D’o`u F1 ln 2 γln 2
2.
D’apr`es I.4.(b),
n1
1n1ln n
nF1 ln 2 ln 2 2γ.
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IV. Calcul des F2k`a l’aide des nombres de Bernoulli
11. B11.B01, donc il existe kRtel que B1Xk. Alors 0
1
0
t k dt1
2k.
Donc k1
2et B1X1 2.
B22B12X 1, donc il existe `Rtel que B2X2X`. Alors 0
1
0
t2t ` dt1
3
1
2`.
Donc `1
6et B2X2X1 6.
12. Pour n2, Bn1Bn0
1
0
Bntdt n
1
0
Bn1tdt0 (car n1 1).
13. Sym´etrie
On note An1nBn1 X . On va montrer que Anest une suite de polynˆomes de Bernoulli.
L’unicit´e admise d’une telle suite donnera le r´esultat attendu.
Les Ansont des polynˆomes r´eels ;
A0B01 ;
nN, An1n1Bn1 X 1 n1nBn11 X nAn1;
nN,
1
0
Antdt1n
1
0
Bn1tdtu1t1n
1
0
Bnudu0.
On admet donc b2k1k12k!
22k1π2kζ2k.
14. Calcul effectif des bn
(a) Par r´ecurrence, on v´erifie que Bnest de degr´e n.
D’apr`es la formule de Taylor pour les polynˆomes, BnX
n
k0
Bk
n0
k!Xk.
Par r´ecurrence, pour tout k0, n ,Bk
nn n 1. . . n k 1Bn k
n!
n k !Bn k.
Donc BnX
n
k0
n!Bn k 0
n k !k!Xk
n
k0
n
kbn kXk.
(b) Pour n2, bnBn0Bn1
n
k0
n
kbn k, donc
n
k1
n
kbn k 0.
On en d´eduit : bn1
1
n
n
k2
n
kbn k
1
n
n2
k0
n
kbk.
Finalement, pour tout n1 : bn
1
n1
n1
k0
n1
kbk.
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