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ÉLÉMENTS DE CORRECTION DM n 7
CCP - SESSION 2008 - MP
AUTOUR DE LA FONCTION ZÊTA ALTERNÉE DE RIEMANN
I. Généralités
1. Si x ¡ 0, alors la suite
Si x ¤ 0, la suite
1
nx
¥
décroit vers 0 donc la série alternée
n 1
p1qn1 nx
¥
ne converge pas vers 0, donc
n 1
La fonction F est donc définie sur R
2. Comme
p1qn1
¥
nx
n 1
1n 1
¸
p q
¥
nx
n 1
¸
converge .
diverge (grossièrement).
¸
|t| 1, la série géométrique ptqn converge et sa somme vaut :
8
¸
ptqk 1 1ptq 1 1 t
k 0
donc la suite pgn q converge simplement vers la fonction g : t ÞÑ
1
1
t
sur r0, 1r.
La suite pgn q converge simplement vers la fonction g sur r0, 1r ;
la fonction g et les fonctions gn , n P N sont continues (par morceaux) ;
1
1 1ptqt ¤ 1 2 t φptq ;
1 t
la fonction φ est indépendante de n, continue (même sur r0, 1s) et intégrable sur r0, 1r.
condition de domination : @t P r0, 1r, |gn ptq| ptqn
» 1
D’après le théorème de convergence dominée, la suite
1
n 1
gn
»1
converge vers
0
»1
Or,
gn
0
3.
p1qk n¸1 p1qk1 ; donc F p1q » 1 g lnp1
k
k 0
@n ¥ 1, @x ¥
la série
ņ
2, 1
p1qn1 ¤
nx
¸
p1qn1
¥
nx
n 1
k 1
k
0
que F pxq 8
¸
n 1
tq
1
0
ln 2.
¸ 1
1
.
Comme
la
série
est indépendante de n et convergente,
n2
n2
n¥1
converge normalement sur r2,
On en déduit qu’elle converge uniformément sur r2,
et que, pour n 1,
g.
0
8r.
8r. Comme, pour tout n ¥ 2, p1nqx
n 1
ÝÝÝÝÑ
0
xÑ 8
p1qn1 1, le théorème de passage à la limite terme à terme permet d’affirmer
nx
p1qn1 ÝÝÝÝÑ ¸8
nx
x
lim
Ñ 8 n1 xÑ 8
p1qn1 1.
nx
4. Dérivabilité de F
x 1
ln t
8 sur s0, 8r et h1 ptq t p1 x ln tq .
est
de
classe
C
x
tx
t2x
1
1
{
x
1
{
x
Donc hx est négative sur l’intervalle re , 8r et positive sur s0, e s.
Donc hx est décroissante sur re1{x , 8r et croissante sur s0, e1{x s.
X 1{x \
ln n
On en déduit que la suite
est
décroissante
à
partir
du
rang
e
1.
nx n¥1
(a) Soit x ¡ 0. La fonction hx : t ÞÑ
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PSI - 2016-2017
ÉLÉMENTS DE CORRECTION DM n 7
(b) fn : x ÞÑ p1qn1 ex ln n est de classe C 1 et fn1 pxq p1qn
X
{
\
ln n
.
nx
ln n
Soit a ¡ 0. On pose Na 1. Pour tout x ¥ a, la suite
tend vers 0 en
nx n¥Na
¸
fn1 pxq converge et, pour n ¥ Na , son reste d’ordre n,
décroissant ; donc la série alternée
e1 x
¥
n Na
ρn pxq, vérifie :
|ρnpxq| ¤ p1q
Donc sup|ρn pxq| ¤
¥
x a
lnpn 1q
pn 1 qa
ÝÝÝÝÑ
0.
nÑ 8
pn
n 1 ln
pn
1q lnpn 1q
¤
1q
pn 1qa .
x
Donc la série
¸
¥
fn1 converge uniformément sur ra,
Pour tout n ¥ 1, la fonction fn est de classe C 1 sur s0,
la série
¸
¥
¸
n 1
la série
¥
8r.
n 1
fn converge simplement sur s0,
8r ;
8r et sa somme est F ;
fn1 converge uniformément sur tout segment inclus dans s0,
8r.
n 1
D’après le théorème de dérivation terme à terme, F est de classe C 1 sur s0,
@x ¡ 0, F 1pxq 8
¸
8r et
p1qn lnnxn .
n 1
5. Lien avec ζ Pour x ¡ 1,
F pxq ζ pxq 8
¸
p1qn1 1 ¸8 2 21x ¸8 1 21xζ pxq.
nx
p2kqx
kx
n1
k 1
k 1
On en déduit l’égalité : F pxq p1 21x qζ pxq.
Comme 21x
ÝÝÝÝÑ
0, F pxq ζ pxq au voisinage de 8 et donc ζ pxq ÝÝÝÝÑ 1.
xÑ 8
xÑ 8
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même
6. Étude de la convergence
(a) Lorsque x
¡ 1, la série
¸
p1qn1
¥
nx
n 1
converge absolument ; donc la série produit de
par elle-même converge absolument et sa somme vaut :
8
¸
p1qn1
nx
n 1
(b) Pour x ¡ 0, cn pxq p1qn2
Comme k
n¸1
2
¸
p1qn1
¥
nx
n 1
pF pxqq2.
1
.
x
r
k
p
n
k
qs
k 1
ÞÑ kpn kq est maximum quand k n2 et que la somme comporte n 1 termes,
|cnpxq| 1
pn 1 q4
¥
p
n 1q
x
2
x
rkpn kqs
rpn{2q s
n2x
k1
n¸1
1
x
1 pn 1q4x
Pour 0 x ¤ ,
a une limite strictement positive (finie ou non), donc la suite pcn pxqq
2
n2x
¸
ne converge pas vers 0. Donc la série
cn pxq diverge grossièrement.
¥
n 2
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2
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ÉLÉMENTS DE CORRECTION DM n 7
7. Cas où x 1
1
(a)
Xpn Xq
cn p1q
1
n
1
X
1
nX
p1q n 2
n¸1
. Donc
1
k pn k q
n1
1 ¸ 1
p1q n 21
n k 1
k 1
2p1qn2
n k 1
n¸1 1
k
1
nk
p1q n 21
n
1
n¸1
k
k 1
n¸1
k 1
1
nk
Hn1
2p1qn2
.
k
n
(b) Monotonie
Hn1
n
Hn
n 1
1
n
¥
Donc la suite
Hn1
n
Hn 1
n
1
2
n pn
1
1
1q
Hn n1 n 1 1 n12
1
2n2npn 2 1q ¥ 0.
n2
Hn
n 1
est décroissante.
¥
n 2
(c) ”Classiquement”, Hn ln n au voisinage de 8.
¸
Hn1
Donc la suite
converge vers 0 en décroissant et la série alternée
cn p1q converge.
n
n¥2
n¥2
III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude de ζ au voisinage de 1
8. Développement asymptotique en 1
(a) On pose h x 1. Comme F est dérivable en 1, au voisinage de 1, on a :
F px q F p1 q
On a aussi : 1 21x
hF 1 p1q
ophq ln 2
2
1 eh ln 2 h ln 2 ln2 2 h2
hF 1 p1q
ophq.
oph2 q au voisinage de x 1.
(b) Développement de ζ
ζ p xq
1 ln 2 hF 1 p1q ophq
hF 1 p1q ophq
ln 2
h ln 2
ln2 2 2
1
h ophq
h ln 2 h
oph2 q
2
2
1
1
ln 2
1
ln 2 hF p1q ophq 1
h ophq ln 2 h F 1 p1q
h ln 2
2
h ln 2
F p xq
1 21x
1
h
F 1 p1 q
ln 2
ln 2
ln 2
2
ln2 2
2
o p1 q
9. Développement asymptotique en 1 (bis)
(a) Pour n ¥ 1 et x P r1, 2s, t ÞÑ
1
est décroissante sur rn, n
tx
1.
pn
1
¤
1 qx
»n
n
1
dt
tx
1s (intervalle de longueur 1), donc
¤ 1. n1x .
On en déduit que :
0 ¤ vn pxq ¤
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3
1
nx
pn
1
1qx
.
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o phq
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(b) Pour x P r1, 2s, la suite
¸
la série
¥
n 1
1
nx
pn
1
1
nx
1 qx
ņ
converge (vers 0) ; comme
¥
n 1
k 1
1
kx
pk
1
1 qx
1 pn
1
1qx
,
converge.
¸
De l’encadrement du (a), on déduit la convergence de la série
v n p x q.
¥
8 dt
n 1
(c)
Pour x Ps1, 2s,
ņ
ņ
v k px q 1
x
k
k 1
k 1
(d) La série
¸
¥
»n
1
dt
tx
1
ÝÝÝÝÑ
ζ px q nÑ 8
»
1
vn converge simplement sur r1, 2s. On note Rn pxq n 1
8
¸
la série. D’après (a), 0 ¤ Rn pxq ¤
k n 1
Donc sup |Rn pxq| ¤
Pr s
x 1,2
pn
1
1
kx
pk
1
1q
x
ÝÝÝÝÑ 0. Donc la série
1q1 nÑ 8
tx
ζ pxq x 1 1 .
8
¸
vk pxq le reste d’ordre n de
k n 1
pn
¸
¥
1
1
lim x kÑ 8 k
1q
pn
1
x
1 qx
.
vn converge uniformément sur r1, 2s.
n 1
1
1
1
1
1
; vn p1q lnpn 1q ln n.
(e) Pour x Ps1, 2s, vn pxq x x
1
x
1
n
1x n
pn 1 q
n
vn est continue, sauf peut-être en 1.
1
1
En 1 : en posant h x 1, x op1q par continuité de l’exponentielle x ÞÑ nx en 1 et
n
n
1
1x
1
nx 1
pn
1
1 q x 1
1 h ln n
e
eh lnpn 1q
h
1
p1 h ln n ophqq p1 h lnpn
h
lnpn 1q ln n op1q
1q
ophq
donc vn pxq 1
lnpn 1q ln n op1q. Donc vn est continue en 1.
n
¸
On en déduit que la série
vn est une série de fonctions continues sur r1, 2s. La convergence
¥
n 1
uniforme sur r1, 2s entraı̂ne donc la continuité de sa somme sur r1, 2s. On en déduit que :
ζ p xq 1
x1
au voisinage de 1 . D’où ζ pxq 8
¸
v n px q n 1
1
x1
8
¸
vn p1q
o p1 q γ
op1q
n 1
γ
op1q au voisinage de 1 .
10. Application
Par unicité du développement limité en 1 (éventuellement en multipliant par px 1q), on déduit de
F 1 p1q ln 2
b γ.
8.(b) et 9.(e) les égalités a 1 et
ln 2
2
ln 2
D’où F 1 p1q ln 2 γ .
2
D’après I.4.(b),
8
¸
p1qn1 ln n F 1p1q ln 2 ln 2 γ .
n 1
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n
2
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IV. Calcul des F p2k q à l’aide des nombres de Bernoulli
11. B11 1.B0 1, donc il existe k P R tel que B1 X
Donc k
B21
12 et
1
et B2
6
0
pt
k q dt X 12 .
2B1 2X 1, donc il existe ` P R tel que B2 X2 X
Donc ` 12.
B1
k. Alors 0 »1
X2 X
Pour n ¥ 2, Bn p1q Bn p0q `. Alors 0 »1
0
1
2
k.
pt2 t `q dt 13 12
`.
1
.
6
»1
0
Bn1 ptq dt n
»1
0
Bn1 ptq dt 0 (car n 1 ¥ 1).
13. Symétrie
On note An p1qn Bn p1 Xq. On va montrer que pAn q est une suite de polynômes de Bernoulli.
L’unicité admise d’une telle suite donnera le résultat attendu.
Les An sont des polynômes réels ;
A0 B0 1 ;
@n P N, A1n p1qnp1qBn1 p1 Xq p1qn1nBn1p1 Xq nAn1 ;
»1
»1
»1
u1t
n
n
@n P N , Anptq dt p1q Bnp1 tq dt p1q Bnpuq du 0.
0
On admet donc b2k
0
0
p1qk1 22kp2k1pqπ!q2k ζ p2kq.
14. Calcul effectif des bn
(a) Par récurrence, on vérifie que Bn est de degré n.
pkq
Bn p0q k
D’après la formule de Taylor pour les polynômes, Bn pXq X .
k!
k 0
ņ
Par récurrence, pour tout k
P rr0, nss, Bnpkq npn 1q . . . pn k
n!Bnk p0q k
Donc Bn pXq pn kq!k! X
k0
ņ
(b) Pour n ¥ 2, bn
On en déduit : bn1
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pn n! kq! Bnk .
n
bnk Xk .
k
n
bnk , donc
k
k 0
n
bnk
n1
k
k 2
Finalement, pour tout n ¥ 1 : bn
k 0
ņ
Bnp0q Bnp1q ņ
ņ
1qBnk
n 2
ņ
k 1
n
bnk
k
0.
¸ n
n1
bk .
k
k 0
n
1
n¸1 1 k 0
5
n
1
k
bk .
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ÉLÉMENTS DE CORRECTION DM n 7
Programme Python de calcul du coefficient bp :
La variable bern représente une liste indexée de 0 à n contenant les nombres de Bernoulli
est une
et binome
p2
liste indexée de 0 à n 1 contenant, au début de l’étape p, les coefficients du binôme
.
k
def bernoulli(n):
bern=[0]*(n+1) (initialisation des nombres de Bernoulli)
if n==0:
bern[0]=1 (cas ou n=0)
else:
bern[0]=1
binome=[0]*n (initialisation des coefficients du binome)
binome.append(1)
binome.append(1)
binome.reverse()
for p in range(1,n+1):
for i in range(p+1,0,-1): (creation des coefficients du binome)
binome[i]=binome[i-1]+binome[i]
for i in range(0,p):
bern[p]=bern[p]+binome[i]*bern[i] (creation des nombres de Bernoulli)
bern[p]=-bern[p]*(p+1)**(-1)
return bern[n]
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