y x 0 π 2π 3π −π −2π −3π 1 −1

U.F.R. de Mathématiques
Parcours PEIP, 2015–16
Mathématiques pour les
Sciences de l’Ingénieur
Corrigé de l’examen du 20 mai 2016
Durée 2 heures
Ex 1. Séries numériques et séries de Fourier
On considère la série de terme général
un“p´1qn
2n`1,@ně0.
1) Montrer la convergence de la série
`8
ÿ
n“0
un.
La suite punqně0est une suite alternée. La valeur absolue de unest donnée
par |un| “ 1
2n`1, qui décroît vers 0: la série de terme général unest donc
convergente d’après le théorème sur les séries alternées.
On cherche à calculer la valeur de la somme
`8
ÿ
n“0
un. Pour cela, on introduit la fonction
f:RÑR,2π-périodique, définie par
fpxq “ $
&
%
1 si xP s0, πr,
´1 si xP s ´ π, 0r,
0 si x“nπ, avec nPZ.
2) Tracer le graphe de fsur r´3π; 3πs.
y
x
0π2π3π
−π
−2π−3π
1
−1

3) Déterminer la série de Fourier de f. Pour quelles valeurs de xcette série converge-
t-elle vers fpxq?
La fonction fétant 2π-périodique, on a ω“1. Par ailleurs elle est impaire,
donc les coefficients de Fourier ansont nuls, pour ně0. On calcule donc les
bn, pour ně1:
bnpfq “ 1
πżπ
´π
fpxqsinpnxqdx“2
πżπ
0
fpxqsinpnxqdx“2
πżπ
0
sinpnxqdx
“2
π„´cospnxq nπ
0
“2p1´cospnπqq
nπ “2p1´ p´1qnq nπ
“$
&
%
0si nest pair,
4
p2p`1qπsi nest impair et n“2p`1.
La série de Fourier de fest donc
Spf, xq “ 4
π
`8
ÿ
p“0
1
2p`1sinpp2p`1qxq.
La fonction fest continue sur Rztnπ, n PZu, elle est dérivable sur cet en-
semble, de dérivée nulle : le théorème de Dirichet s’applique, et permet de
conclure que Spf, xqconverge vers fpxqpour tout x‰nπ, avec nPZ. En
particulier
4
π
`8
ÿ
p“0
1
2p`1sinpp2p`1qxq “ 1@xPs0, πr.
4) Calculer la valeur de
`8
ÿ
n“0
p´1qn
2n`1.
On applique l’égalité ci-dessus en x“π
2. On obtient
1“4
π
`8
ÿ
p“0
1
2p`1sin ´p2p`1qπ 2¯“4 π
`8
ÿ
p“0
1
2p`1sin ´π 2`pπ¯“4 π
`8
ÿ
p“0
p´1qp
2p`1.
Il est alors immédiat que
`8
ÿ
p“0
p´1qp
2p`1“π 4.
Ex 2.
Une boîte contient des dés à 6 faces, dont un certain nombre sont truqués : en
piochant, on a une probabilité pP s0; 1rde prendre un dé truqué. Pour un dé truqué, la
probabilité d’obtenir 6 est de 1
2; les faces de 1 à 5 apparaissent quant à elles toutes avec
la même probabilité.
Antoine pioche un dé dans la boîte, le lance une fois, puis le remet dans la boîte.
2

1) Quelle est la probabilité qu’il obtienne un 6 ?
On introduit l’évènement T: « le dé choisi par Antoine est truqué », et S
l’évènement « Antoine obtient un 6 ». La formule de conditionnement par
tous les cas possibles, appliquée au calcul de la probabilité de S, avec les cas
Tet Tc, donne :
PpSq “ PpS|TqPpTq ` PpS|TcqPpTcq “ 1
2ˆp`1 6ˆ p1´pq “ 1`2p 6.
2) Il obtient un 6 : quelle est la probabilité que le dé soit truqué ?
On souhaite calculer ici PpT|Sq.
PpT|Sq “ PpTXSq
PpSq“PpS|TqPpTq PpSq“1 2ˆpˆ6 1`2p“3p 1`2p.
3) Il obtient un 2 : quelle est la probabilité que le dé ne soit pas truqué ?
On appelle Dl’évènement « Antoine obtient un 2 ». On cherche ici à calculer
PpTc|Dq, on applique la formule de Bayes :
PpTc|Dq “ PpD|TcqPpTcq
PpD|TqPpTq ` PpD|TcqPpTcq“p1´pq{6 p{10 ` p1´pq{6“5p1´pq 3p`5p1´pq,
PpTc|Dq “ 5´5p
5´2p.
À nouveau, Antoine choisit un dé dans la boîte, et le lance autant de fois que né-
cessaire pour obtenir un 6. On note Nla variable aléatoire égale au numéro du lancer
auquel le 6 apparaît pour la première fois.
4) Calculer PpN“kqpour kPN˚.
La variable aléatoire Nreprésente l’instant du premier succès, si l’on ap-
pelle succès le fait d’obtenir un 6. Ici encore, tout va dépendre de la nature
(truqué ou pas) du dé que l’on lance. On va donc appliquer la formule de
conditionnement par tous les cas possibles : pour kě1,
PpN“kq “ PpN“k|TqPpTq ` PpN“k|TcqPpTcq
“ˆ1
2˙k
ˆp`ˆ5
6˙k´11 6ˆ p1´pq.
5) Montrer que la probabilité que le 6 sorte au moins une fois lors des kpremiers
lancers, PpNďkq, vaut pp1´ p1
2qkq`p1´pqp1´ p5 6qkq.
3

On calcule cette probabilité en passant par l’évènement contraire, et en condi-
tionnant à nouveau par Tet Tc:
PpNďkq “ 1´PpNąkq
“1´ pPpNąk|TqPpTq ` PpNąk|TcqPpTcqq
“1´˜ˆ1
2˙k
ˆp`ˆ5
6˙k
ˆ p1´pq¸
“ pp`1´pq ´ pˆ1
2˙k
´ p1´pqˆ5
6˙k
“p˜1´ˆ1
2˙k¸` p1´pq˜1´ˆ5 6˙k¸.
6) Quelle est la probabilité que le 6 finisse par sortir ?
L’évènement « le 6 finit par sortir » est l’évènement tNă `8u, qui s’écrit
également
tNă `8u “ Ť
kě1
tNďku.
Cette union est une union d’évènements croissants pour l’inclusion, puisque
si Npωq ď k, alors Npωq ď k`1. Par continuité séquentielle monotone d’une
probabilité, on en déduit que
PpNă `8q “ lim
kÑ`8 PpNďkq
“lim
kÑ`8 p˜1´ˆ1
2˙k¸` p1´pq˜1´ˆ5 6˙k¸
“p`1´p
“1,
puisque
lim
kÑ`8 ˆ1
2˙k
“lim
kÑ`8 ˆ5
6˙k
“0,
ces deux suites géométriques ayant une raison dont la valeur absolue est
strictement inférieure à 1. On vient donc de montrer que le 6 finit par sortir
avec probabilité 1, autrement dit, le 6 finit par sortir presque sûrement.
Ex 3.
La quantité de pain (en centaines de kg) vendue dans une boulangerie en une journée
est modélisée par une variable aléatoire réelle admettant pour densité la fonction fdéfinie
par :
fptq “ $
’
’
&
’
’
%
t
9si tP r0,3s,
1
9p6´tqsi tPs3,6s,
0si tR r0,6s.
4

1) Tracer le graphe de f.
y
x
01 3 6
1
1
3
2) Vérifier que fest une densité de probabilité sur R.
Il est facile de voir que fest une fonction positive sur R. D’après son graphe,
son intégrale sur Rest égale à l’aire du triangle de sommets p0,0q,p3,1{3q
et p6,0q. La base horizontale de ce triangle a une longueur de 6, la hauteur
relative à cette base vaut 1{3, l’aire totale vaut donc 6ˆ1
3ˆ1 2“1, et fest
bien une densité de probabilité sur R.
3) Calculer les probabilités suivantes :
PpXě3q, P p3{2ďXď9{2q, P pXď5q.
PpXě3q “ ż`8
3
fptqdt,
autrement dit, PpXě3qest égale à l’aire du triangle de sommets p3,0q,
p3,1{3qet p6,0q, donc à 1{2:PpXě3q “ 1{2.
Pour des raisons de symétrie, Pp3{2ďXď9{2q “ 2Pp3{2ďXď3q, d’où
Pp3{2ďXď9{2q “ 2ż3
3{2
t{9 dt“1
9“t2‰3
3{2“1´1
4“3 4.
Enfin, PpXď5q “ 1´PpXą5q, et cette dernière probabilité est donnée
par l’aire du triangle de sommets p6,0q,p5,0qet p5,1{9q; elle vaut donc 1{18
et au total PpXď5q “ 17{18.
4) Les évènements tXě3uet t3{2ďXď9{2usont-ils indépendants ?
Pour déterminer si ces deux évènements sont indépendants, ou pas, on calcule
PptXě3u X t3{2ďXď9{2uq “ Pp3ďXď9{2q “ 3{8, pour les raisons
de symétrie mentionnées plus haut. Mais
PpXě3qˆPp3{2ďXď9{2q “ 1
2ˆ3 4“3 8“PptXě3uXt3{2ďXď9{2uq,
5