y x 0 π 2π 3π −π −2π −3π 1 −1

U.F.R. de Mathématiques
Parcours PEIP, 2015–16
Mathématiques pour les
Sciences de l’Ingénieur
Corrigé de l’examen du 20 mai 2016
Durée 2 heures
Ex 1.
Séries numériques et séries de Fourier
On considère la série de terme général
un “
1)
p´1qn
,
2n ` 1
Montrer la convergence de la série
`8
ÿ
@n ě 0.
un .
n“0
La suite pun qně0 est une suite alternée. La valeur absolue de un est donnée
1
par |un | “ 2n`1
, qui décroît vers 0 : la série de terme général un est donc
convergente d’après le théorème sur les séries alternées.
On cherche à calculer la valeur de la somme
`8
ÿ
un . Pour cela, on introduit la fonction
n“0
f : R Ñ R, 2π-périodique, définie par
$
si x P s0, πr,
& 1
´1 si x P s ´ π, 0r,
f pxq “
%
0
si x “ nπ, avec n P Z.
2)
Tracer le graphe de f sur r´3π; 3πs.
y
1
−3π
−2π
−π
0
−1
π
2π
3π
x
3) Déterminer la série de Fourier de f . Pour quelles valeurs de x cette série converget-elle vers f pxq ?
La fonction f étant 2π-périodique, on a ω “ 1. Par ailleurs elle est impaire,
donc les coefficients de Fourier an sont nuls, pour n ě 0. On calcule donc les
bn , pour n ě 1 :
ż
ż
ż
2 π
2 π
1 π
f pxq sinpnxq dx “
f pxq sinpnxq dx “
sinpnxq dx
bn pf q “
π ´π
π 0
π 0
„
π
2
cospnxq
2p1 ´ p´1qn q
2p1 ´ cospnπqq
“
´
“
“
π
n
nπ
nπ
0
$
&
0
si n est pair,
4
“
si n est impair et n “ 2p ` 1.
%
p2p ` 1qπ
La série de Fourier de f est donc
ÿ 1
4 `8
Spf, xq “
sinpp2p ` 1qxq.
π p“0 2p ` 1
La fonction f est continue sur Rztnπ, n P Zu, elle est dérivable sur cet ensemble, de dérivée nulle : le théorème de Dirichet s’applique, et permet de
conclure que Spf, xq converge vers f pxq pour tout x ‰ nπ, avec n P Z. En
particulier
ÿ 1
4 `8
sinpp2p ` 1qxq “ 1 @x Ps0, πr.
π p“0 2p ` 1
4)
Calculer la valeur de
`8
ÿ
p´1qn
.
2n ` 1
n“0
On applique l’égalité ci-dessus en x “ π2 . On obtient
´
´π
¯ 4 `8
ÿ 1
ÿ 1
ÿ p´1qp
4 `8
π ¯ 4 `8
1“
sin p2p ` 1q
“
sin
` pπ “
.
π p“0 2p ` 1
2
π p“0 2p ` 1
2
π p“0 2p ` 1
Il est alors immédiat que
`8
ÿ
p´1qp
π
“ .
2p ` 1
4
p“0
Ex 2.
Une boîte contient des dés à 6 faces, dont un certain nombre sont truqués : en
piochant, on a une probabilité p P s0; 1r de prendre un dé truqué. Pour un dé truqué, la
1
probabilité d’obtenir 6 est de ; les faces de 1 à 5 apparaissent quant à elles toutes avec
2
la même probabilité.
Antoine pioche un dé dans la boîte, le lance une fois, puis le remet dans la boîte.
2
1)
Quelle est la probabilité qu’il obtienne un 6 ?
On introduit l’évènement T : « le dé choisi par Antoine est truqué », et S
l’évènement « Antoine obtient un 6 ». La formule de conditionnement par
tous les cas possibles, appliquée au calcul de la probabilité de S, avec les cas
T et T c , donne :
P pSq “ P pS|T qP pT q ` P pS|T c qP pT c q “
2)
1
1 ` 2p
1
ˆ p ` ˆ p1 ´ pq “
.
2
6
6
Il obtient un 6 : quelle est la probabilité que le dé soit truqué ?
On souhaite calculer ici P pT |Sq.
P pT |Sq “
3)
P pT X Sq
P pS|T qP pT q
1
6
3p
“
“ ˆpˆ
“
.
P pSq
P pSq
2
1 ` 2p
1 ` 2p
Il obtient un 2 : quelle est la probabilité que le dé ne soit pas truqué ?
On appelle D l’évènement « Antoine obtient un 2 ». On cherche ici à calculer
P pT c |Dq, on applique la formule de Bayes :
P pT c |Dq “
P pD|T c qP pT c q
p1 ´ pq{6
5p1 ´ pq
“
“
,
c
c
P pD|T qP pT q ` P pD|T qP pT q
p{10 ` p1 ´ pq{6
3p ` 5p1 ´ pq
P pT c |Dq “
5 ´ 5p
.
5 ´ 2p
À nouveau, Antoine choisit un dé dans la boîte, et le lance autant de fois que nécessaire pour obtenir un 6. On note N la variable aléatoire égale au numéro du lancer
auquel le 6 apparaît pour la première fois.
4)
Calculer P pN “ kq pour k P N˚ .
La variable aléatoire N représente l’instant du premier succès, si l’on appelle succès le fait d’obtenir un 6. Ici encore, tout va dépendre de la nature
(truqué ou pas) du dé que l’on lance. On va donc appliquer la formule de
conditionnement par tous les cas possibles : pour k ě 1,
P pN “ kq “ P pN “ k|T qP pT q ` P pN “ k|T c qP pT c q
ˆ ˙k´1
ˆ ˙k
5
1
1
ˆp`
ˆ p1 ´ pq.
“
2
6
6
5) Montrer que la probabilité que le 6 sorte au moins une fois lors des k premiers
lancers, P pN ď kq, vaut pp1 ´ p 12 qk q ` p1 ´ pqp1 ´ p 56 qk q.
3
On calcule cette probabilité en passant par l’évènement contraire, et en conditionnant à nouveau par T et T c :
P pN ď kq “ 1 ´ P pN ą kq
“ 1 ´ pP pN ą k|T qP pT q ` P pN ą k|T c qP pT c qq
˜ˆ ˙
¸
ˆ ˙k
k
1
5
“1´
ˆp`
ˆ p1 ´ pq
2
6
ˆ ˙k
ˆ ˙k
1
5
“ pp ` 1 ´ pq ´ p
´ p1 ´ pq
2
6
˜
˜
ˆ ˙k ¸
ˆ ˙k ¸
5
1
` p1 ´ pq 1 ´
.
“p 1´
2
6
6)
Quelle est la probabilité que le 6 finisse par sortir ?
L’évènement « le 6 finit par sortir » est l’évènement tN ă `8u, qui s’écrit
également
Ť
tN ă `8u “
tN ď ku.
kě1
Cette union est une union d’évènements croissants pour l’inclusion, puisque
si N pωq ď k, alors N pωq ď k ` 1. Par continuité séquentielle monotone d’une
probabilité, on en déduit que
P pN ă `8q “ lim P pN ď kq
kÑ`8
˜
˜
ˆ ˙k ¸
ˆ ˙k ¸
5
1
` p1 ´ pq 1 ´
“ lim p 1 ´
kÑ`8
2
6
“p`1´p
“ 1,
puisque
ˆ ˙k
ˆ ˙k
1
5
“ lim
“ 0,
lim
kÑ`8
kÑ`8
2
6
ces deux suites géométriques ayant une raison dont la valeur absolue est
strictement inférieure à 1. On vient donc de montrer que le 6 finit par sortir
avec probabilité 1, autrement dit, le 6 finit par sortir presque sûrement.
Ex 3.
La quantité de pain (en centaines de kg) vendue dans une boulangerie en une journée
est modélisée par une variable aléatoire réelle admettant pour densité la fonction f définie
par :
$
t
’
si t P r0, 3s,
’
&
9
1
f ptq “
p6 ´ tq si t Ps3, 6s,
’
’
% 9
0
si t R r0, 6s.
4
1)
Tracer le graphe de f .
y
1
1
3
0
2)
1
3
6
x
Vérifier que f est une densité de probabilité sur R.
Il est facile de voir que f est une fonction positive sur R. D’après son graphe,
son intégrale sur R est égale à l’aire du triangle de sommets p0, 0q, p3, 1{3q
et p6, 0q. La base horizontale de ce triangle a une longueur de 6, la hauteur
relative à cette base vaut 1{3, l’aire totale vaut donc 6 ˆ 31 ˆ 12 “ 1, et f est
bien une densité de probabilité sur R.
3)
Calculer les probabilités suivantes :
P pX ě 3q,
P p3{2 ď X ď 9{2q,
P pX ď 5q.
ż `8
P pX ě 3q “
f ptq dt,
3
autrement dit, P pX ě 3q est égale à l’aire du triangle de sommets p3, 0q,
p3, 1{3q et p6, 0q, donc à 1{2 : P pX ě 3q “ 1{2.
Pour des raisons de symétrie, P p3{2 ď X ď 9{2q “ 2P p3{2 ď X ď 3q, d’où
ż3
1
1 “ 2 ‰3
3
P p3{2 ď X ď 9{2q “ 2
t{9 dt “
t 3{2 “ 1 ´ “ .
9
4
4
3{2
Enfin, P pX ď 5q “ 1 ´ P pX ą 5q, et cette dernière probabilité est donnée
par l’aire du triangle de sommets p6, 0q, p5, 0q et p5, 1{9q ; elle vaut donc 1{18
et au total P pX ď 5q “ 17{18.
4)
Les évènements tX ě 3u et t3{2 ď X ď 9{2u sont-ils indépendants ?
Pour déterminer si ces deux évènements sont indépendants, ou pas, on calcule
P ptX ě 3u X t3{2 ď X ď 9{2uq “ P p3 ď X ď 9{2q “ 3{8, pour les raisons
de symétrie mentionnées plus haut. Mais
1 3
3
P pX ě 3qˆP p3{2 ď X ď 9{2q “ ˆ “ “ P ptX ě 3uXt3{2 ď X ď 9{2uq,
2 4
8
5
il y a donc indépendance entre ces deux évènements.
5)
Déterminer la quantité de pain vendue en moyenne par jour, autrement dit EX.
La loi de la variable aléatoire réelle X étant à densité, son espérance est
donnée par
ż `8
tf ptq dt,
EX “
´8
sous réserve que cette intégrale généralisée converge absolument, autrement
dit sous réserve que
ż `8
|tf ptq| dt ă `8.
´8
Mais
ż `8
ż `8
|t|f ptq dt
ż6
t
6´t
|t| dt `
“
|t|
dt
9
9
0
3
ż3
ż6
t
6´t
“
t ˆ dt `
tˆ
dt
9
9
0
3
ż
ż
1 3 2
1 6
“
t dt `
tp6 ´ tq dt
9 0
9 3
„ 3
„
6
t3
1 t3
1
2
3t ´
“
`
9 3 0 9
3 3
“ 1 ` p12 ´ 8 ´ 3 ` 1q
“ 3.
|tf ptq| dt “
´8
´8
ż3
Cette intégrale est donc finie, l’espérance mathématiqueş de X existe. En la
`8
calculant, on retombe sur les mêmes calculs que pour ´8 |tf ptq| dt, ce qui
nous permet de conclure :
EX “ 3.
6