PC Réduction
1. (a) Soit A∈Rn[X] tel que R1
0A(t)d t 6= 0 et udéfini sur RnX] par
u(P)=AZ1
0
P(t)d t −PZ1
0
A(t)d t
. Montrer que udétermine un endomorphisme de Rn[X] et déterminer les
éléments propres de u.uest-il diagonalisable ?
(b) Soit uune forme linéaire non nulle d’un espace vectoriel Eet f:
½E→E
x7→ u(~
a)~
x−u(~
x)~
aoù ~
a∈E,u(~
a)6= 0
Montrer que fest un endomorphisme de E, déterminer ses éléments propres.
fest-il diagonalisable ? Quel est le lien avec l’exercice précédent ? Déterminer
uppour p∈N
2. (a) Montrer que toute matrice carrée d’ordre n∈N∗Ade rang 1 s’écrit sous la
forme tUV où Uet Vsont des matrices colonnes non nulles de nlignes.
(b) Montrer que tr(A)=VtU(on identifie les scalaires et les matrices carrées
d’ordre 1),puis que A2=tr(A)A.
(c) Déterminer avec les mêmes notations les éléments propres de A.Donner le
polynôme caractéristique de A
(d) Montrer que pour n>1, Aest diagonalisable si et seulement si tr (A)6= 0.
3. Montrer que fdéfini par
f(P)(X)=X(X−1)P0(X)−nX P (X)
détermine un endomorphisme de R[X] dont on déterminera les éléments propres.
4. Soit fun endomorphisme de Cn
(a) Si r g (f)=2 déterminer son polynôme caractéristique en fonction de tr( f) et
tr(f2).
(b) Si rg(f)=3, déterminer son polynôme caractéristique en fonction de
tr (f), tr (f2), tr (f3).
5. Montrer que M∈M3(R) vérifiant M2+tM=I3est diagonalisable et déterminer ses
éléments propres.
6. Polynôme caractéristique de A∈GL5(R) vérifiant A3−3A2−A=0 et tr (A)=8
7. Soit la matrice carrée d’ordre 3 : A=
1j2j
j1j2
j2j1
. Déterminer les éléments
propres de A. Déterminer les sous-espaces de C3stables par l’endomorphisme ca-
noniquement associé à A.
8. Soit A=
1 0 0
2 4 0
3 5 9
et D=
1 0 0
0 4 0
0 0 9
(a) Montrer que les matrices carrées d’ordre 3 Ntelles que N D =DN sont les
matrices diagonales d’ordre 3
(b) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 Ytelles que Y2=D
(c) Déterminer les éléments propres de Aet montrer que Aest semblable à D.
(d) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 Xtelles que X2=A. Montrer que
chacune de ces matrices s’écrit Q(A), où qest un polynôme de degré inférieur
ou égal à 2. Donner explicitement Qpour la matrice Xayant toutes ses valeurs
propres positives.
(e) Déterminer un polynôme Pde degré É2 tel que P(D)=D−1. (Penser aux po-
lynômes d’interpolation
(f) Vérifier alors que P(A)=A−1
9. Soit A=
3−3 2
−1 5 −2
−1 3 0
.
(a) Déterminer les éléments propres de A
(b) Calculer Anpour n∈N. Cette formule est-elle encore valable pour n<0 ?
(c) Montrer que tout sous-espace de R3stable par l’endomorphisme canonique-
ment associé à A est engendré par des des vecteurs propres de f.
(d) En déduire les sous-espaces propres de fstables par f
(e) Vérifier que les plans stables par font une équation de la forme ux+v y +cz =
0, où t(u,v,w) est vecteur propre de tA. Le justifier.
Soit M=
3 1 −1
1 1 1
2 0 2
10. (a) Déterminer les éléments propres de M.Mest-elle diagonalisable ?
(b) Montrer que le plan vectoriel de R3d’équation ax +by +cz =0 est stable par
Msi et seulement si (a,b,c)est vecteur propre de tM.
(c) Déterminer les sous-espaces de R3stables par M.
(d) Déterminer les matrices qui commutent avec M.
11. Soit A∈Mn(R).On considère la matrice diagonale par blocs B=µA A
0A¶. Soit Pun
polynôme. Calculer P(B) en fonction de P(A) et P0(A). En déduire que Best diago-
nalisable si et seulement si A=0.
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