1 8. Soit A = 2 3 PC Réduction 1. (a) Soit A ∈ Rn [X ] tel que R1 A(t )d t 6= 0 et u défini sur Rn X ] par Z 1 Z 1 u(P ) = A P (t )d t − P A(t )d t 0 0 0 1 0 et D = 0 9 0 0 4 0 0 0 9 (a) Montrer que les matrices carrées d’ordre 3 N telles que N D = D N sont les matrices diagonales d’ordre 3 0 (b) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 Y telles que Y 2 = D . Montrer que u détermine un endomorphisme de Rn [X ] et déterminer les éléments propres de u. u est-il diagonalisable ? (c) Déterminer les éléments propres de A et montrer que A est semblable à D. (d) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 X telles que X 2 = A. Montrer que chacune de ces matrices s’écrit Q(A), où q est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Donner explicitement Q pour la matrice X ayant toutes ses valeurs propres positives. (b) Soit u une forme linéaire non nulle d’un espace vectoriel E et f : ½ E → E où ~ a ∈ E , u(~ a ) 6= 0 x 7→ u(~ a )~ x − u(~ x )~ a Montrer que f est un endomorphisme de E , déterminer ses éléments propres. f est-il diagonalisable ? Quel est le lien avec l’exercice précédent ? Déterminer u p pour p ∈ N 2. 0 4 5 (e) Déterminer un polynôme P de degré É 2 tel que P (D) = D −1 . (Penser aux polynômes d’interpolation (a) Montrer que toute matrice carrée d’ordre n ∈ N∗ A de rang 1 s’écrit sous la forme t UV où U et V sont des matrices colonnes non nulles de n lignes. (f ) Vérifier alors que P (A) = A −1 3 −3 2 9. Soit A = −1 5 −2. −1 3 0 (b) Montrer que tr(A) = V t U (on identifie les scalaires et les matrices carrées d’ordre 1),puis que A 2 = tr(A)A. (c) Déterminer avec les mêmes notations les éléments propres de A.Donner le polynôme caractéristique de A (a) Déterminer les éléments propres de A (b) Calculer A n pour n ∈ N. Cette formule est-elle encore valable pour n < 0 ? (d) Montrer que pour n > 1, A est diagonalisable si et seulement si t r (A) 6= 0. (c) Montrer que tout sous-espace de R3 stable par l’endomorphisme canoniquement associé à A est engendré par des des vecteurs propres de f . 3. Montrer que f défini par f (P )(X ) = X (X − 1)P 0 (X ) − nX P (X ) (d) En déduire les sous-espaces propres de f stables par f détermine un endomorphisme de R[X ] dont on déterminera les éléments propres. (e) Vérifier que les plans stables par f ont une équation de la forme ux +v y +c z = 0, où t (u, v, w) est vecteur propre de t A. Le justifier. 3 1 −1 Soit M = 1 1 1 2 0 2 10. (a) Déterminer les éléments propres de M . M est-elle diagonalisable ? n 4. Soit f un endomorphisme de C (a) Si r g ( f ) = 2 déterminer son polynôme caractéristique en fonction de tr( f ) et tr( f 2 ). (b) Si rg( f ) = 3, déterminer son polynôme caractéristique en fonction de t r ( f ), t r ( f 2 ), t r ( f 3 ). 5. Montrer que M ∈ M3 (R) vérifiant M 2 +t M = I 3 est diagonalisable et déterminer ses éléments propres. (b) Montrer que le plan vectoriel de R3 d’équation ax + b y + c z = 0 est stable par M si et seulement si (a, b, c)est vecteur propre de t M . 6. Polynôme caractéristique de A ∈ GL5 (R) vérifiant A 3 − 3A 2 − A = 0 et t r (A) = 8 1 j2 j 1 j 2 . Déterminer les éléments 7. Soit la matrice carrée d’ordre 3 : A = j 2 j j 1 propres de A. Déterminer les sous-espaces de C3 stables par l’endomorphisme canoniquement associé à A. (c) Déterminer les sous-espaces de R3 stables par M . (d) Déterminer les matrices qui commutent avec M . µ ¶ A A 11. Soit A ∈ M n (R).On considère la matrice diagonale par blocs B = . Soit P un 0 A 0 polynôme. Calculer P (B ) en fonction de P (A) et P (A). En déduire que B est diagonalisable si et seulement si A = 0. 1 (f) En déduire que χv (v) = 0 12. On½considère b ∈ R et l’application : Rn [X ] → Rn [X ] u: P 7→ (X − b)(P 0 (X ) + P 0 (b)) − 2(P (X ) − P (b)) (g) Montrer finalement que χu (u)(x) = 0E (h) Conclure. 1 2 −3 15. Soit A = 2 4 −6 . 4 8 −12 (a) Montrer que u définit un endomorphisme de Rn [X ] (b) Montrer que Im(u) ⊂ (X − b)3 R[X ] ∩ Rn [X ] (c) Montrer que ker(u) ⊂ R2 [X ] (d) Déterminer les éléments propres de u, la trace de u. (On choisira astucieusement une base de Rn [X ]). u est-il diagonalisable ? (a) Déterminer le rang de A. En déduire sans calcul le polynôme caractéristique de A. 13. On dit qu’une matrice A réelle symétrique est positive (respectivement définie positive) lorsque pour tout X ∈ M n,1 (R), on a (AX |X ) ≥0. (resp pour tout X ∈ M n,1 (R), X 6= 0, (AX |X ) > 0. Les ensembles correspondants sont notés S n+ (R) (resp S n++ (R)) (b) A est-elle diagonalisable ? (c) Déterminer les éléments propres de A x(t ) (d) Résoudre le système différentiel X 0 = AX d’inconnue X : t 7→ y(t ) z(t ) 13 −5 −2 16. Soit A = −2 7 −8 et f l’endomorphisme canoniquement associé. −5 4 7 (a) A quelle condition une matrice diagonale est-elle positive ? (resp définie positive ?) (b) Montrer qu’une matrice symétrique est positive (resp définie positive) si et seulement si ses valeurs propres sont positives (resp strictement positives) µ ¶ a b (c) Montrer que ∈ M2 (R) est positive (resp définie positive) si et seuleb c ment si a ≥ 0 et ac − b 2 Ê 0 (resp a > 0 et ac − b 2 > 0) (a) Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A (b) Montrer qu’il existe une base (e 1 , e 2 , e 3 ) de R3 dans laquelle la matrice de f est 9 1 0 0 9 1 (On écrira les équations que doivent vérifier e 1 , e 2 , e 3 .) 0 0 9 (d) Soit A une matrice positive. Montrer qu’il existe une unique matrice carrée B positive telle que B 2 = A. µ ¶ 1 2 (e) Soit A = . Déterminer B symétrique positive telle que B 2 = A 2 8 (c) Résoudre le système différentiel X 0 = AX (d) Vérifier que (A − 9I 3 )3 = 0. En déduire A n pour tout n ∈ N. On pourra introduire par exemple B = A − 9I 3 µ ¶ µ ¶ 1 2 1 3 17. Soit A = et B = 2 1 3 1 (f ) Soit A ∈ S n++ (R). Montrer que l’application (X , Y ) →t X AY définit un produit scalaire sur Rn (identifié à M1,n (R) 14. Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle et u ∈ L (E ). On veut montrer le théorème de Cayley-Hamilton qui s’énonce par : χu (u) = 0. (a) A et B sont-elles diagonalisables ? Donner leurs éléments propres. µ ¶ A 3A (b) Soit C ∈ M4 (R) définie par blocs par C = Montrer que C est dia3A A gonalisable en utilisant les vecteurs propres de A et B . Calculer le polynôme caractéristique de C . (a) Soit x un élément non nul de E . Montrer que E x = {P (u)(x)|P ∈ K[X ]} est un sous-espace vectoriel non nul de E stable par u (b) Soit p = dim E x . Montrer que Bx = (x, u(x), · · · , u p−1 (x)) est une base de E x (on montrera par l’absurde que cette famille est libre). (c) Montrer qu’il existe des scalaires a 0 , · · · , a p−1 tels que (u p )(x) = p−1 X a k u k (x) (c) Généraliser à deux matrices A et B diagonalisables quelconques d’ordre 2. k=0 (d) Montrer que l’application v : M 7→ AM − M B définit un endomorphisme de M2 (R) et déterminer ses éléments propres. (d) Déterminer la matrice de l’endomorphisme v induit par u dans la base Bx . Ã ! p−1 X k p p (e) Montrer que χv (λ) = (−1) λ − ak λ k=0 2