Exercices de réduction de matrices et endomorphismes

PC Réduction
1. (a) Soit A∈Rn[X] tel que R1
0A(t)d t 6= 0 et udéfini sur RnX] par
u(P)=AZ1
0
P(t)d t −PZ1
0
A(t)d t
. Montrer que udétermine un endomorphisme de Rn[X] et déterminer les
éléments propres de u.uest-il diagonalisable ?
(b) Soit uune forme linéaire non nulle d’un espace vectoriel Eet f:
½E→E
x7→ u(~ a)~ x−u(~ x)~ aoù ~
a∈E,u(~ a)6= 0
Montrer que fest un endomorphisme de E, déterminer ses éléments propres.
fest-il diagonalisable ? Quel est le lien avec l’exercice précédent ? Déterminer
uppour p∈N
2. (a) Montrer que toute matrice carrée d’ordre n∈N∗Ade rang 1 s’écrit sous la
forme tUV où Uet Vsont des matrices colonnes non nulles de nlignes.
(b) Montrer que tr(A)=VtU(on identifie les scalaires et les matrices carrées
d’ordre 1),puis que A2=tr(A)A.
(c) Déterminer avec les mêmes notations les éléments propres de A.Donner le
polynôme caractéristique de A
(d) Montrer que pour n>1, Aest diagonalisable si et seulement si tr (A)6= 0.
3. Montrer que fdéfini par
f(P)(X)=X(X−1)P0(X)−nX P (X)
détermine un endomorphisme de R[X] dont on déterminera les éléments propres.
4. Soit fun endomorphisme de Cn
(a) Si r g (f)=2 déterminer son polynôme caractéristique en fonction de tr( f) et
tr(f2).
(b) Si rg(f)=3, déterminer son polynôme caractéristique en fonction de
tr (f), tr (f2), tr (f3).
5. Montrer que M∈M3(R) vérifiant M2+tM=I3est diagonalisable et déterminer ses
éléments propres.
6. Polynôme caractéristique de A∈GL5(R) vérifiant A3−3A2−A=0 et tr (A)=8
7. Soit la matrice carrée d’ordre 3 : A=
1j2j
j1j2
j2j1
. Déterminer les éléments
propres de A. Déterminer les sous-espaces de C3stables par l’endomorphisme ca-
noniquement associé à A.
8. Soit A=
1 0 0
2 4 0
3 5 9
et D=
1 0 0
0 4 0
0 0 9
(a) Montrer que les matrices carrées d’ordre 3 Ntelles que N D =DN sont les
matrices diagonales d’ordre 3
(b) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 Ytelles que Y2=D
(c) Déterminer les éléments propres de Aet montrer que Aest semblable à D.
(d) En déduire les matrices carrées d’ordre 3 Xtelles que X2=A. Montrer que
chacune de ces matrices s’écrit Q(A), où qest un polynôme de degré inférieur
ou égal à 2. Donner explicitement Qpour la matrice Xayant toutes ses valeurs
propres positives.
(e) Déterminer un polynôme Pde degré É2 tel que P(D)=D−1. (Penser aux po-
lynômes d’interpolation
(f) Vérifier alors que P(A)=A−1
9. Soit A=
3−3 2
−1 5 −2
−1 3 0 
.
(a) Déterminer les éléments propres de A
(b) Calculer Anpour n∈N. Cette formule est-elle encore valable pour n<0 ?
(c) Montrer que tout sous-espace de R3stable par l’endomorphisme canonique-
ment associé à A est engendré par des des vecteurs propres de f.
(d) En déduire les sous-espaces propres de fstables par f
(e) Vérifier que les plans stables par font une équation de la forme ux+v y +cz =
0, où t(u,v,w) est vecteur propre de tA. Le justifier.
Soit M=
3 1 −1
1 1 1
2 0 2 
10. (a) Déterminer les éléments propres de M.Mest-elle diagonalisable ?
(b) Montrer que le plan vectoriel de R3d’équation ax +by +cz =0 est stable par
Msi et seulement si (a,b,c)est vecteur propre de tM.
(c) Déterminer les sous-espaces de R3stables par M.
(d) Déterminer les matrices qui commutent avec M.
11. Soit A∈Mn(R).On considère la matrice diagonale par blocs B=µA A
0A¶. Soit Pun
polynôme. Calculer P(B) en fonction de P(A) et P0(A). En déduire que Best diago-
nalisable si et seulement si A=0.
1

12. On considère b∈Ret l’application :
u:½Rn[X]→Rn[X]
P7→ (X−b)(P0(X)+P0(b)) −2(P(X)−P(b))
(a) Montrer que udéfinit un endomorphisme de Rn[X]
(b) Montrer que Im(u) ⊂(X−b)3R[X]∩Rn[X]
(c) Montrer que ker(u)⊂R2[X]
(d) Déterminer les éléments propres de u, la trace de u. (On choisira astucieuse-
ment une base de Rn[X]). uest-il diagonalisable ?
13. On dit qu’une matrice Aréelle symétrique est positive (respectivement définie
positive) lorsque pour tout X∈Mn,1(R), on a (AX |X)≥0. (resp pour tout X∈
Mn,1(R), X6= 0,(AX |X)>0. Les ensembles correspondants sont notés S+
n(R) (resp
S++
n(R))
(a) A quelle condition une matrice diagonale est-elle positive ? (resp définie po-
sitive ?)
(b) Montrer qu’une matrice symétrique est positive (resp définie positive) si et
seulement si ses valeurs propres sont positives (resp strictement positives)
(c) Montrer que µa b
b c ¶∈M2(R) est positive (resp définie positive) si et seule-
ment si a≥0 et ac −b2Ê0 (resp a>0 et ac −b2>0)
(d) Soit Aune matrice positive. Montrer qu’il existe une unique matrice carrée B
positive telle que B2=A.
(e) Soit A=µ1 2
2 8¶. Déterminer Bsymétrique positive telle que B2=A
(f) Soit A∈S++
n(R). Montrer que l’application (X,Y)→tX AY définit un produit
scalaire sur Rn(identifié à M1,n(R)
14. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie non nulle et u∈L(E). On veut mon-
trer le théorème de Cayley-Hamilton qui s’énonce par : χu(u)=0.
(a) Soit xun élément non nul de E. Montrer que Ex={P(u)(x)|P∈K[X]} est un
sous-espace vectoriel non nul de Estable par u
(b) Soit p=dimEx. Montrer que Bx=(x,u(x),· · · ,up−1(x)) est une base de Ex
(on montrera par l’absurde que cette famille est libre).
(c) Montrer qu’il existe des scalaires a0,· · · ,ap−1tels que (up)(x)=
p−1
X
k=0
akuk(x)
(d) Déterminer la matrice de l’endomorphisme vinduit par udans la base Bx.
(e) Montrer que χv(λ)=(−1)pÃλp−
p−1
X
k=0
akλk!
(f) En déduire que χv(v)=0
(g) Montrer finalement que χu(u)(x)=0E
(h) Conclure.
15. Soit A=
1 2 −3
2 4 −6
4 8 −12
.
(a) Déterminer le rang de A. En déduire sans calcul le polynôme caractéristique
de A.
(b) Aest-elle diagonalisable ?
(c) Déterminer les éléments propres de A
(d) Résoudre le système différentiel X0=AX d’inconnue X:t7→ 
x(t)
y(t)
z(t)
16. Soit A=
13 −5−2
−2 7 −8
−5 4 7 
et fl’endomorphisme canoniquement associé.
(a) Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A
(b) Montrer qu’il existe une base (e1,e2,e3) de R3dans laquelle la matrice de fest
9 1 0
0 9 1
0 0 9
(On écrira les équations que doivent vérifier e1,e2,e3.)
(c) Résoudre le système différentiel X0=AX
(d) Vérifier que (A−9I3)3=0. En déduire Anpour tout n∈N. On pourra intro-
duire par exemple B=A−9I3
17. Soit A=µ1 2
2 1¶et B=µ1 3 3 1¶
(a) Aet Bsont-elles diagonalisables ? Donner leurs éléments propres.
(b) Soit C∈M4(R) définie par blocs par C=µA3A
3A A ¶Montrer que Cest dia-
gonalisable en utilisant les vecteurs propres de Aet B. Calculer le polynôme
caractéristique de C.
(c) Généraliser à deux matrices Aet Bdiagonalisables quelconques d’ordre 2.
(d) Montrer que l’application v:M7→ AM −MB définit un endomorphisme de
M2(R) et déterminer ses éléments propres.
2