( ) ( ) ( ) n ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

1ère S.
Ch.4. Fonctions polynomiales et factorisation.
2004/2005.
J. TAUZIEDE
F O N C T I O N S P O L Y N Ô M E S À U N E V A R I A BL E.
I-
GENERALITES.
1°) Fonction polynomiale.
Définition . Soit P une fonction définie sur IR. On dit que P est une fonction polynomiale
(ou plus simplement fonction polynôme), s’il existe un nombre fini de réels
( an; an −1;  ; a1; a0 ) ∈ IR n +1 , appelés coefficients du polynôme P tels que, pour tout réel x :
P( x ) = an x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0 où n ∈ IN .
Lorsque le coefficient an ≠ 0 , l’entier naturel n est appelé le degré du polynôme et on note
deg( P ) = n .
n
Remarque. L’écriture de la définition peut se condenser sous la forme P( x ) = ∑ ak x k avec
k =0
n ∈ IN et ∀k ∈ [0; n ] ak ∈ IR .
Exemple 1.
• La fonction x  P( x ) = a0 est la fonction polynomiale constante.
• La fonction x  P( x ) = a1 x + a0 est une fonction polynomiale :
- dite du premier degré si a1 ≠ 0 ,
- dite affine lorsque a0 et a1 sont quelconques.
•
La fonction x  P( x ) = a2 x 2 + a1 x + a0 est une fonction polynomiale du second degré
lorsque a2 ≠ 0 aussi appelée fonction trinôme du second degré.
Exemple 2.
4
La fonction f : x  f ( x ) = x 2 − 1 est elle une fonction polynomiale ?
x +1
( x 2 − 1)( x 2 + 1) = x 2 − 1 qui a la forme de la
On a D f = IR et pour tout réel x, f ( x ) =
x2 + 1
définition. Conclusion, f est bien une fonction polynomiale.
4
• En revanche, la fonction f : x  f ( x ) = x 2 − 1 n’est pas une fonction polynomiale
x −1
car elle n’est pas définie sur IR.
•
2°) Unicité de l’écriture polynomiale.
Théorème.
iUne fonction polynôme est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ce
qui se traduit par :
∀x ∈ IR, an x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0 = 0 ⇔ an = an −1 =  = a1 = a0 = 0
iiDeux polynômes non nuls de même degré sont égaux si et seulement si ils ont les
même coefficients :
∀x ∈ IR, an x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0 = bn x n + bn −1 x n −1 +  + b1 x + b0 ⇔ an = bn,  , a0 = b0
-1-
Exemple.
Déterminer un réel a, tel que le polynôme x 4 + 2ax 3 − 4ax + 4 est le carré d’un trinôme du
second degré.
On cherche un trinôme du second degré de la forme x 2 + px + q où ( p; q ) ∈ IR 2 tel que, pour
(
(
)
2
tout réel x, x 2 + px + q = x 4 + 2ax 3 − 4ax + 4 . En développant, il vient :
x 4 + 2px 3 + p 2 + 2q x 2 + 2pqx + q 2 = x 4 + 2ax 3 − 4ax + 4 .
)
 2p = 2a
 2
D’après ii) qui traduit l’unicité de l’écriture d’un polynôme, il vient :  p + 2q = 0 système
2pq = −4a
 q2 = 4

p=a

 p 2 + 2q = 0
équivalent à : 
il vient alors les deux systèmes :
pq = −2a
 q = 2 ou q = −2

 p=a
 p=a
  p = 2
p=a
 p = −2 
 p2 = 4

 p 2 = −4

 p = −a impossible, ou bien  p = a ⇔  p = 2 ou p = −2 ⇔   q = −2 ou  q = −2 
q = −2
 q = −2
 q=2

 a = −2 
  a = 2


(
En choisissant ( a; p; q ) = ( 2;2;−2 ) , on a bien x 2 + 2x − 2
)
2
= x 4 + 4x 3 − 8x + 4 et en prenant
( a; p; q ) = ( − 2;−2;−2 ) , on a ( x 2 − 2x − 2 )2 = x 4 − 4x3 + 8x + 4 .
Les valeurs de a cherchées sont 2 ou –2.
Remarque. Le degré du polynôme nul n’est pas défini ; par convention on dit que
deg( O ) = −∞ .
3°) Opérations sur les polynômes.
Théorème.
Soient P et Q deux polynômes non nuls de degrés respectifs p et q.
iLa somme P + Q est un polynôme de degré inférieur ou égal au plus grand des
deux nombres p et q c’est-à-dire : deg( P + Q ) ≤ max( deg( P ); deg( Q ) ) .
iiLe produit PQ est un polynôme de degré égal à la somme des deux nombres p et
q c’est à dire : deg( PQ ) = deg( P ) + deg( Q ) .
II-
FACTORISATION D’UN POLYNOME.
1°) Racine d’un polynôme.
Définition.
On appelle racine (ou zéro) d’un polynôme P, tout réel a tel que P( a ) = 0 .
-2-
1ère S.
ch.4. Factorisation d’un polynôme
Exemples.
• Pour P( x ) = 2x + 6 , comme P( − 3 ) = 0 , − 3 est une racine du polynôme P.
• Pour P( x ) = x 3 + 2x 2 − 6x + 3 , P(1 ) = 0 donc 1 est une racine de P.
2°) Factorisation d’un polynôme par x-a.
Définition. Soit a un nombre réel. On dit qu’un polynôme P non nul est factorisable (ou
divisible) par x − a , s’il existe un polynôme Q, avec deg( Q ) = deg( P ) − 1 , tel que pour tout
réel x, P( x ) = ( x − a )Q( x ) .
Exemple.
)
(
P( x ) = x 3 + x 2 + ( x + 1 )( x − 3 ) = ( x + 1 ) x 2 + x − 3 .
Théorème. Soit a un nombre réel.
Un polynôme P non nul est factorisable par x − a si et seulement si P( a ) = 0 .
Démonstration.
iSens ⇒.
Soit P un polynôme non nul factorisable par x − a . D’après la définition, il existe un
polynôme Q avec deg( Q ) = deg( P ) − 1 tel que pour tout réel x, P( x ) = ( x − a )Q( x ) alors
P( a ) = ( a − a )Q( a ) = 0 .
iiSens ⇐.
On a besoin pour démontrer cette implication d’un résultat fondamental à savoir le lemme
suivant :
Lemme : Soit a ∈ IR et n ∈ IN * . Pour tout réel x,
x n − a n = ( x − a ) x n −1 + ax n − 2 + a 2 x n − 3 +  + a n − 2 x + a n −1 .
)
(
Soit alors P un polynôme non nul et a un nombre réel tel que P( a ) = 0 .
n
n
On
a
P( x ) = ∑ ak x k
et
(
)
Par
soustraction,
k =0
k =0
n
P( a ) = ∑ ak a k
n
(
)
P( x ) − P( a ) = ∑ ak x k − a k = ∑ ak x k − a k et d’après le lemme, on a :
k =0
n
k =1
(
)
(
)
P( x ) − P( a ) = ∑ ak ( x − a ) x k −1 + ax k − 2 + a 2 x k − 3 +  + a k − 2 x + a k −1 soit encore
k =1
n
P( x ) − P( a ) = ( x − a )∑ ak x k −1 + ax k − 2 + a 2 x k − 3 +  + a k − 2 x + a k −1
k =1
et donc il existe
un polynôme Q avec Q( x ) = ∑ ak ( x k −1 + ax k − 2 + a 2 x k − 3 +  + a k − 2 x + a k −1 ) vérifiant
n
k =1
deg( Q ) = deg( P ) − 1 tel que P( x ) = ( x − a )Q( x ) ce qui prouve que P est factorisable
par x − a .
Exemple.
Factoriser le polynôme P défini par P( x ) = x 3 + 2x 2 − 6x + 3 .
On vérifie que P(1 ) = 0 donc P est factorisable par x − 1 ; il existe donc un polynôme Q
vérifiant deg( Q ) = deg( P ) − 1 = 3 − 1 = 2 tel que P( x ) = ( x − 1 )Q( x ) . Comme Q est de degré
2, il existe trois réels a, b et c (avec a non nul) tels que pour tout réel x, Q( x ) = ax 2 + bx + c .
Ainsi P( x ) = ( x − 1 ) ax 2 + bx + c ce qui en développant donne :
P( x ) = ax 3 + ( b − a )x 2 + ( c − b )x − c et par unicité de l’écriture d’un polynôme, il vient le
(
)
 a =1
 a =1
 b−a = 2

système :  c − b = −6 ⇔  − 3 b− 3= =3 −6 et donc P( x ) = ( x − 1 ) x 2 + 3x − 3 .
 − c = 3
 c = −3
La factorisation complète de P s’en déduit en utilisant les formules donnant les racines de
l’équation du second degré x 2 + 3x − 3 = 0 .
On a ∆ = 9 + 12 = 21 avec 21 > 0 ce qui donne deux racines distinctes x1 = 3 − 21 et
6
x1 = 3 + 21 .
6



On a alors la factorisation x 2 + 3x − 3 =  x − 3 − 21  x − 3 + 21  ce qui permet d’obtenir
6
6



(
)



celle du polynôme I, à savoir : ∀x ∈ IR , P( x ) = ( x − 1 )  x − 3 − 21  x − 3 + 21  .
6
6



-4-