( ) ( ) ( ) n ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

1ère S. 2004/2005.
Ch.4. Fonctions polynomiales et factorisation. J. TAUZIEDE
- 1 -
F O N C T I O N S P O L Y N Ô M E S À U N E V A R I A BL E.
I- GENERALITES.
1°) Fonction polynomiale.
Définition . Soit P une fonction définie sur IR. On dit que P est une fonction polynomiale
(ou plus simplement fonction polynôme), s’il existe un nombre fini de réels
()
1
0
1
1
;;;;
+
−
∈
n
nn
IRaaaa 
, appelés coefficients du polynôme P tels que, pour tout réel x :
()
0
1
1
1
axaxaxaxP
n
n
n
n
++++=
−
−
où
INn∈
.
Lorsque le coefficient
0
≠
n
a
, l’entier naturel n est appelé le degré du polynôme et on note
()
n
P=
deg
.
Remarque. L’écriture de la définition peut se condenser sous la forme
( )
∑
=
=
n
k
k
k
xaxP
0
avec
INn∈
et
[ ]
nk ;0∈∀
IRak∈
.
Exemple 1.
• La fonction
( )
0
axPx =
est la fonction polynomiale constante.
• La fonction
( )
01 axa
xPx +=
est une fonction polynomiale :
- dite du premier degré si
0
1
≠a
,
- dite affine lorsque
0
a
et
1
a
sont quelconques.
• La fonction
( )
01
2
2axaxaxPx ++=
est une fonction polynomiale du second degré
lorsque
0
2≠a
aussi appelée fonction trinôme du second degré.
Exemple 2.
• La fonction
( )
1
1
:
2
4
+
−
=x
x
xfxf 
est elle une fonction polynomiale ?
On a
IRD
f
=
et pour tout réel x,
( )
( )( )
1
111
2
2
2
2
−=
+
+−
=x
xxx
xf
qui a la forme de la
définition. Conclusion, f est bien une fonction polynomiale.
• En revanche, la fonction
()
1
1
:2
4
−
−
=x
x
x
fxf 
n’est pas une fonction polynomiale
car elle n’est pas définie sur IR.
2°) Unicité de l’écriture polynomiale.
Théorème.
i- Une fonction polynôme est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ce
qui se traduit par :
0 0 ,
01101
1
1
=====⇔=++++∈∀
−
−
−
aaaaaxaxaxaIRx
nn
n
n
n
n
ii- Deux polynômes non nuls de même degré sont égaux si et seulement si
ils ont les
même coefficients :
0001
1
101
1
1
, , , bababxbxbxbax
axaxaIRx
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
==⇔++
++=++++∈ ∀−
−
−
−

- 2 -
Exemple.
Déterminer un réel a, tel que le polynôme
442 34 +−+ axaxx
est le carré d’un trinôme du
second degré.
On cherche un trinôme du second degré de la forme qpxx ++
2
où
( )
2
;IRqp ∈
tel que, pour
tout réel x,
( )
=+
+2
2qpx
x
442
34
+−+ axaxx
. En développant, il vient :
( )
=+
+
+++ 22
234 2
22 qpqx
xqppxx
442 34 +−+ axaxx
.
D’après ii) qui traduit l’unicité de l’écriture d’un polynôme, il vient :
=−
==
+=
4
42 02 2
2
2
2
qa
pq q
pap
système
équivalent à :
−=
=−= =
+=
2
ou 2 202
2
q
qapq q
pa
p
il vient alors les deux systèmes :
=−= −
=
=
2
4
2
qap
pap
impossible, ou bien
−= −= −= =−=
=
⇔
−= −== =
⇔
−=
=
=
=
2
2
2
ou
2
2
2
22ou 2
2
4
2
a
q
p
a
qp
qpp ap
qap
pa
p
En choisissant
( ) ( )
2;2;2;; −=qpa
, on a bien
( )
48422
34
2
2
+−+=−+ xxxxx
et en prenant
( ) ( )
2;2;2;; −−−=qpa
, on a
( )
484
22 34
2
2++−
=−− xx
xxx
.
Les valeurs de a cherchées sont 2 ou –2.
Remarque. Le degré du polynôme nul n’est pas défini ; par convention on dit que
()
−∞=O
deg
.
3°) Opérations sur les polynômes.
Théorème.
Soient P et Q deux polynômes non nuls de degrés respectifs p et q.
i- La somme
QP +
est un polynôme de degré inférieur ou égal au plus grand des
deux nombres p et q c’est-à-dire :
( ) ( ) ( )( )
QP
QP deg;degmaxdeg ≤+
.
ii- Le produit
PQ
est un polynôme de degré égal à la somme des deux nombres p
et
q c’est à dire :
() ( ) ( )
Q
PPQ degdegdeg +=
.
II- FACTORISATION D’UN POLYNOME.
1°) Racine d’un polynôme.
Définition. On appelle racine (ou zéro) d’un polynôme P, tout réel a tel que
( )
0=aP
.

1ère S. ch.4. Factorisation d’un polynôme
Exemples.
• Pour
( )
62 += xxP
, comme
()
03 =
−P
,
3
−
est une racine du polynôme P.
• Pour
( )
362 23 +−+= xxxxP
,
()
0
1=
P
donc 1 est une racine de P.
2°) Factorisation d’un polynôme par x-a.
Définition. Soit a un nombre réel. On dit qu’un polynôme P non nul est factorisable (ou
divisible) par
ax −
, s’il existe un polynôme Q, avec
( ) ( )
1degdeg −= PQ
, tel que pour tout
réel x,
( ) ( ) ( )
xQaxxP −=
.
Exemple.
( ) ( )( )( )
()
3
13
12
23 −
+
+=
−+
+
+= x
xx
x
xx
x
xP
.
Théorème. Soit a un nombre réel.
Un polynôme P non nul est factorisable par
ax −
si et seulement si
( )
0=aP
.
Démonstration.
i- Sens ⇒.
Soit P un polynôme non nul factorisable par
ax −
. D’après la définition, il existe un
polynôme Q avec
( ) ( )
1
degdeg −= P
Q
tel que pour tout réel x,
( ) ( ) ( )
xQaxxP −=
alors
( ) ( ) ( )
0=−= aQaaaP
.
ii- Sens ⇐.
On a besoin pour démontrer cette implication d’un résultat fondamental à savoir le lemme
suivant :
Lemme : Soit
IRa ∈
et
*
INn∈
. Pour tout réel x,
()
()
123221 −
−−−− ++
+
++
−=
−n
nnnnnn ax
ax
a
axx
ax
ax 
.
Soit alors P un polynôme non nul et a un nombre réel tel que
( )
0=aP
.
On a
( )
∑
=
=
n
k
k
k
xa
xP
0
et
( )
∑
=
=n
k
k
ka
a a
P
0
Par soustraction,
( ) ( )
( ) ( )
∑∑
==
−=−=−
n
k
kk
k
n
k
kk
k
axaaxaaPxP
1
0
et d’après le lemme, on a :
( ) ( ) ( )
( )
∑
=
−−−−− +++++−=− n
k
kkkkk
kaxaxaaxxaxaaPxP 1
123221 
soit encore
( ) ( ) ( )
( )
∑
=
−−−−− +++++−=− n
k
k
kkkk
kaxaxaaxxaaxaPxP 1
123221 
et donc il existe
un polynôme Q avec
( )
()
∑
=
−−−−−
+++++=
n
k
k
kkkk
k
axaxaaxxaxQ
1
1232
21
vérifiant
( ) ( )
1degdeg −= PQ
tel que
( ) ( ) ( )
xQaxxP −=
ce qui prouve que P est factorisable
par
ax −
.

- 4 -
Exemple. Factoriser le polynôme P défini par
( )
362 23 +−+= xxxxP
.
On vérifie que
()
0
1=
P
donc P est factorisable par
1−x
; il existe donc un polynôme Q
vérifiant
( ) ( )
2131degdeg =−=−= PQ
tel que
( ) ( ) ( )
xQxxP 1−=
. Comme Q est de degré
2, il existe trois réels a, b et c (avec a non nul) tels que pour tout réel x,
( )
cbxaxxQ
++=
2
.
Ainsi
( ) ( )
( )
cbxaxxxP ++−= 2
1
ce qui en développant donne :
() ( ) ( )
cx
bc
xabaxx
P−
−+
−+= 23
et par unicité de l’écriture d’un polynôme, il vient le
système :
−
=−
=
−− =
=
⇔
=− −=− =− = 36
33 3
1
36
2
1
c
b
a
c
bc ab a
et donc
( ) ( )
( )
331
2
−+−= xxxxP
.
La factorisation complète de P s’en déduit en utilisant les formules donnant les racines de
l’équation du second degré
0
33
2=−
+x
x
.
On a
21129 =+=∆
avec
021 >
ce qui donne deux racines distinctes
6
213
1−
=x et
6213
1+
=
x
.
On a alors la factorisation
+
−
−
−=−+ 6213
6213
33
2xxxx
ce qui permet d’obtenir
celle du polynôme I, à savoir :
IRx ∈∀
,
( ) ( )
1−= xxP
+
−
−
−6213
6213 xx
.