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1ère S. 2004/2005.
Ch.4. Fonctions polynomiales et factorisation. J. TAUZIEDE
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F O N C T I O N S P O L Y N Ô M E S À U N E V A R I A BL E.
I- GENERALITES.
1°) Fonction polynomiale.
Définition . Soit P une fonction définie sur IR. On dit que P est une fonction polynomiale
(ou plus simplement fonction polynôme), s’il existe un nombre fini de réels
, appelés coefficients du polynôme P tels que, pour tout réel x :
()
0
1
1
1
axaxaxaxP
n
n
n
n
++++=
−
−
où
.
Lorsque le coefficient
, l’entier naturel n est appelé le degré du polynôme et on note
.
Remarque. L’écriture de la définition peut se condenser sous la forme
avec
et
.
Exemple 1.
• La fonction
est la fonction polynomiale constante.
• La fonction
est une fonction polynomiale :
- dite du premier degré si
,
- dite affine lorsque
et
sont quelconques.
• La fonction
est une fonction polynomiale du second degré
lorsque
aussi appelée fonction trinôme du second degré.
Exemple 2.
• La fonction
est elle une fonction polynomiale ?
On a
et pour tout réel x,
( )
( )( )
1
111
2
2
2
2
−=
+
+−
=x
xxx
xf
qui a la forme de la
définition. Conclusion, f est bien une fonction polynomiale.
• En revanche, la fonction
n’est pas une fonction polynomiale
car elle n’est pas définie sur IR.
2°) Unicité de l’écriture polynomiale.
i- Une fonction polynôme est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ce
qui se traduit par :
0 0 ,
01101
1
1
=====⇔=++++∈∀
−
−
−
aaaaaxaxaxaIRx
nn
n
n
n
n
ii- Deux polynômes non nuls de même degré sont égaux si et seulement si
même coefficients :
0001
1
101
1
1
, , , bababxbxbxbax
axaxaIRx
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
==⇔++
++=++++∈
∀−
−
−
−