Théorème de structure des polynômes symétriques

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Développement: Théorème de structure des polynômes
symétriques
Adrien Fontaine
3 avril 2013
Référence : Ramis-Deschamps, Odoux, Cours de Mathématiques spéciales, Algèbre 1, p200
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Préliminaires
Définition 1 (poids)
Si P =
P
i∈Nn
ai Y1i1 ...Ynin , alors on définit le poids de P et on note Π(P ) :
i(P ) = max{i/ai 6= 0,
n
X
kik = m}
k=1
Si P est nul, on convient π(P ) = −∞.
Proposition 1
Si P ∈ A[Y1 , ..., Yn ] est de poids Π(P ), alors P (Σ1 , ..., Σn ) est de degré au plus Π(P ).
Théorème 1
Soit P un polynôme symétrique de A[X1 , ..., Xn ]. P a même degré partiel par rapport à chaque
indéterminée. Ce degré partiel s’appelle ordre de P et est noté ω(P ).
Démonstration : Si P = 0, il n’y a rien à démontrer.
Sinon, si p1 = degX1 (P ), alors P "contient" le monôme X1p1 ...Xnpn . En appliquant la transposition
n
τ = (1, i), on voit que P contient également le monôme ap Xip1 ...Xτp(n)
, donc degXi (P ) ≥ p1 =
degX1 (P ).
De même, on montre que degX1 (P ) ≥ degXi (P ).
Proposition 2
Si P ∈ A[Y1, ..., Yn ] est de degré k, le polynôme symétrique P (Σ1 , ..., Σn ) de A[X1 , .., Xn ] est
d’ordre ≤ k.
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Structure des polynômes symétriques
Nous aurons à utiliser le lemme suivant :
Lemme 1
Soit P ∈ A[X1 , ..., Xn ] tel qu’en substituant 0 à l’une quelconque des indéterminées dans
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2 STRUCTURE DES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES
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P (X1 , ..., Xn ), on obtienne le polynôme nul. Alors P est divisible par Σn = X1 ...Xn .
P
Démonstration : Posons P = i∈Nn ai X1i1 ...Xnin .
Pour tout 1 ≤ k ≤ n, associons l’ensemble Ik des n-uplets i = (i1 , ..., in ) de Nn tels que ik = 0.
On a l’égalité des polynômes
0 = P (X1 , ..., Xk−1 , 0, Xk+1 , ..., Xn ) =
X
i
i
k+1
k−1
...Xnin
Xk+1
ai X1i1 ...Xk−1
i∈Ik
Donc, ∀i ∈ Ik , ai = 0.
En faisant varier k entre 1 et n, on en déduit que ai est nul pour tout n-uplet i dont l’une des
coordonnées est nulle. Autrement dit, ai 6= 0 implique i ∈ (N∗ )n et donc on peut écrire
P =
X
ai X1i1 ...Xnin = X1 ...Xn
i∈(N∗ )n
X
i∈(N∗ )n
Théorème 2
A tout polynôme P ∈ A[X1 , ..., Xn ] symétrique, de degré p, on peut associer un polynôme
Q ∈ A[Y1 , ..., Yn ] de poids inférieur ou égal p tel que P (X1, ..., Xn ) = Q(Σ1 , ..., Σn ).
Démonstration : Si P = 0, alors Q = 0 fonctionne.
Il s’agit de vérifier une assertion de la forme An,p avec n ∈ N∗ et p ∈ N. On va pour cela utiliser
une double récurrence.
An,p : ∀P ∈ A[X1 , ..., Xn ]Sn /deg(P ) = p, ∃Q ∈ A[X1 , ..., Xn ]/Π(Q) ≤ p∧P (X1 , .., Xn )Q(σ1 , ..., σn )
– A1,p est vraie pour tout p : à tout polynôme P (X1 ), on peut associer Q = P .
– Soit n ≥ 2. On suppose que An−1,p est vraie pour tout p ∈ N. Montrons par récurrence sur
p que An,p est vraie pour tout p ∈ N.
– An,0 est évidemment vraie.
– Soit p ∈ N∗ . On suppose que An,k est vraie pour tout k < p, et soit P ∈ A[X1 , ..., Xn ]Σn
tel que deg(P ) = p.
Notons pour 1 ≤ g ≤ n − 1, (Σq )0 le polynôme obtenu en substituant 0 à Xn dans Σq .
On a :
X
Σq =
Xi1 ...Xiq
1≤i1 <...<in ≤n
Donc,
(Σq )0 =
X
Xi1 ...Xiq
1≤i1 <...<in ≤n−1
Autrement dit, (Σq )0 n’est autre que le q-ième polynôme symétrique élémentaire de
A[X1 , ..., Xn−1 ]. Considérons alors P (X1 , ..., Xn−1 , 0). Il est symétrique, de degré au plus
p. En utilisant An−1,p , on peut écrire :
P (X1 , ...Xn−1 , 0) = Q1 ((Σ1 )0 , ..., (Σn−1 )0 )
où Q1 ∈ A[X1 , ..., Xn−1 ] est de poids au plus p.
Posons P1 (X1 , ..., Xn ) = P (X1 , ..., Xn ) − Q1 (Σ1 , ..., Σn−1 ).
Alors, P1 est symétrique, de degré au plus p, et par construction P1 (X1 , ..., Xn−1 , 0) = 0.
Par ailleurs, puisque P1 est symétrique, pour tout 1 ≤ k ≤ n, P1 (X1 , ..., Xk−1 , 0, Xk , ..., Xn ) =
0. Donc, d’après le lemme, il existe P2 ∈ A[X1 , ..., Xn ] tel que :
P1 (X1 , ..., Xn ) = Σn P2 (X1 , ..., Xn )
2 STRUCTURE DES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES
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P1 et Σn sont symétriques, soit σ ∈ Sn , on a :
Σn (P2 (X1 , ..., Xn ) − P2 (Xσ(1) , ..., Xσ(n) )) = 0
D’où, P2 (X1 , ..., Xn ) = P2 (Xσ(1) , ..., Xσ(n) ).
De plus, deg(P2 ) ≤ p − n.
Ainsi, P2 est symétrique, de degré k tel que k < p. Appliquons à P2 l’hypothèse de
récurrence sur p,
P2 (X1 , ..., Xn ) = Q2 (Σ1 , ..., Σn )
où Q2 ∈ A[X1 , ..., Xn ] et où Q2 est de poids au plus p − n. Il vient
P (X1 , ..., Xn ) = Q1 (σ1 , ..., σn−1 ) + Σn Q2 (Σ1 , ..., Σn )
Le polynôme Q1 (Y1 , ..., Yn−1 ) + Yn Q( Y1 , ..., Yn ) est de poids au plus p et répond manifestement à la question.
Remarque 1
– La preuve fournit un algorithme pour calculer Q.
– On peut même ajouter dans ce théorème que Q est de degré inférieur ou égal à l’ordre
ω(P ) de P , en rajoutant cette propriété à l’assertion An,p .
– On a aussi unicité : il suffit de vérifier que si Q ∈ A[Y1 , ..., Yn ] est tel que Q(Σ1 , ..., Σn ) = 0,
alors Q = 0. Ce qui se fait par récurrence. 1 .
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