Correction Examen Mecanique Rationnelle 2016

Unîversîté H.B.B. - Chlef
Faculté de Génie Civil et d'Architecture Mrrniqu, Mécanique Rationnelle
§3 _ Gênie Civil et Tf
Enamen de Contrôle
Annêe Unlaersttalre 2075/ 2076
Département de Génie Civil Rationnette
Soit l'arc AB en béton armé, de rayon R, représenté dans la Figure 2. Le poids propre de l'arc est négligeable, le
reste des {onnées nécessaires est représenté la Figure 2.
L Définir le corps solide représènté sur la Figure 2 et ces liaisons ;
2. Définir le système des forces appliquées sur le corps solide ;
i 3. Illustrer les réactions des Iiaisons sur la Figure
4. Écrre la condition d'équilibre statique do"côrpr solide
5. Déterminer les réactions dans les liaisons.
El (ERCICE N'3 : (4 FOINTSf
On considère le cube ABCDEFGH de côté a (Figure 3). Les axes Ox, Oy et Oz passent par le centre de symétrie O
et sont parallèles aux côtés du cube.
1. Déterminer la matrice d'inertie au centre O du cube;
2. Déterminer le vecteur unitaire de la diagonale AF ;
3. Déterminer le moment d'inertie par rapport à la diagonale AF du cube.
E)XERCICE N'l : (4 PIOINTS|
Déterminer la résultante du système de deux
utilise la méthode géométrique). forces concourantes appliquées sur le corps solide dans la Figure I (on
Fz=200N
Figure I
E)XERCICE N'2 : (5 FOINT§|
:: Figure 3
E'XERCICE N'4 : (7 POINTS|
Un point matériel M agbils.par rapport au repère R (O, x, y rz) orthonormé, direct et mobile, par rapport au
repère fixe R1(O, xt rÿt r zt ) Gigure 4). Les coordonnées du point M satisfont les conditions suivantes :
sachant que l'axe ; =;, "t (fr' ÿ) = ;:; .u';'.,]i";;*]"|"fl-*e du temps leur dérivée par rapport à r
ty est constante.
1. Donner le vecteur de la.position relative du point M dans le repère mobile.
2. Donner le taux de rotation de R/R1 ;
3. Déteminer l'expression analÿique du vecteur vitesse absolue du point M,
4. On déduire les vecteurs vitesses relative, d'entrainement et absoluè du point M dans le repère mobile.
5. Déterminer l'expression analÿique du vecteur accélération absolue du point M,
6. On déduire les vecteurs vitesses ielative, complémentaire (Coriolis), d'ènhainement et absolue du point M
dans le repère mobile. Qrr)
Figure 4
Fr=150N

Unîversîié H.B.B. - Chlef
Faculté de Génie Civil et d'Architecture
Département de Génie Civil
ExERcIcE'N'l : (4 POINTSI A/t
Fr=150N
A
Figure lb
Méthode de la règle du parallélogramme des forces :
On trace le parallélogramme des forces OABC (Figure
1b), on joipant de l'extrémité de chaque force une
parallèle de l'autre force. La diagonale OB représente la
résultante des deux forces F, de module :
y',r.O" obtient le module de
La direction de R, est obtenue par l'application du théorème
des sinus du triangle OAB :
Mécanique Rationnelle
53 _ Gênie Givil et TP
Mrrriqu,
Rtionnette
2'
/r' FrF2R
Sin a2 Sin a1 Sin Qr - a)
EXERCTCE N"2 : (5 POTNTS) llglr+)
Soit l'arc AB en béton armé, de rayon\ représenté dans la
æ ./// , l-Z'
EXERCTCE N'3 : (4 POTNTSI (,1 Ct Ql
On considère le cube ABCDEFGH de'côté'a (Figure 3).
Les axes Ox, Oy et Oz passent par le centre de symétrie O
et sont parallèles aux'côtés du cube.
1 l:..
Année llnlaersltqlre 2075/ 2076
'ld
lr
Solution:
/r -Le corps solide est l'arc AB en béton armé,
'/ -Les liaisons sont: l'appui double en A et l'appui
3 simple enB,
/r -Le système de forces est plan.
Y -On supprime les liaisons dans la Figure 2.a, et on les
? remplace par les réactions qui leurs correspondent dans
la Figwe 2.b. D'après I'axiome des liaisons, le portique
. AB devient libre sous I'action du système de forces en
plan.
-Pour la détermination des réactions Ray, Re* et Rs, on
écrit la condition d'équilibre statique du corps solide
qui est le torseur des forces extérieures en A nul, où
bien la projection de ces éléments sur les axes est nulle:
üËËo=ô, ËF,,=ô, ËMo1F,;:ô
i=l i-l i=l
æÿi*=ô êR*-ZP=o (1)
?tir=ô o Rrv-3P + R*r- o 1zy
i=1
ü\fr^rl,r=ô <) - 3PxR +2PxRsin30" +Rsrx2R = 0
(3)
La solution des équations d'équilibres (l), (2) et (3) donne :
Figure 2.b
cL = c[1+c[2
Qtr)

I r* -r* -r-l
tt
Io = l -I* Iyy -Irr l
rl
,/ L-r^ -ro \ )
Puisque I'axe Oz est un axe de ryméüie, les produits
d'inerties sont nuls (I,y = I- : I* : 0). Le reste des
éléments de la matrice s'écrit alors :
bU r-=,fiv' * r')4., ryÿ = Ix2 + z 2)dm, I.o=,Ir, +r,)a-
La makice d'inertie au centre O du cube ABCDEFGH,
s'écrit :
D'où la matice d'inertie du cube au cente O, s'écrit :
.", [l o ol
?'"=uL3àîl
2- le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale AF ;
les cosinus directew de la diagonale AF,
Les coordonnées des points A (0.5a, -0.5a, -0.5a) et F (
0.5a,0.5a, 0.5a)
I:e vecteur de la diagonale AF :
i
La masse m du parallélépipède est :
p: pV: p a3
Et l'élément de la masse :
dm = pdxdydz,
iet -al2 <x< aD, -al2 <y < al2, -alT<z< al2,
i: i
on remarque que les termes J*2d_, JVrA. et
(s) (s)
,!rz a^ tendent vers le calcul d'un seul type d'intégrale
(s)
r.= J*2dm
i: ,r (S)
i'III
in= .Jr'o-= o.lr'oroyo, = o t *'a*î* t* = ru*=+
(§) (v) _; i _;
De lamême manière :
?. r. mà2
Jv-am= lz-dm= -
lt' (s)
D'où:
qr;-= Iyy = r- = ,J,,r' +22'1dm= ,Jv'4.*,lr'u. =+
ÂF = (xr - xJî+ (yr - yJi+ (zs - zr)k
ÂÉ = -ai+ a|+ ai<
Le module de ÂF
llÀËll =
llÂÉll =@=avt(m)
Les cosinus directeur de la force F :
^ (x. - xJ -V5
cos ux = liFll = 3
'*[â ii] e[ r')
D'où le moment d'inertie par rapport à la diagonale (AF)
^2
^ (Yr - Yr) V3
cos uv = 16Ïll = 3
^ (2"-zo) €
cos uz = ll;Ëll = 3
D'où:
le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale (AF) i est :
[cose,) Jrf-l)
n=l cosQ-. l=-l 1 I
lVl*re',) 3 [t,J
3- Le moment d'inertie par rapport à la diagonale (AF) du
cube.
Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque
passant par le centre O du solide, est donné par la relation :
+t
,6 rÆn Io n
où:
i est le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale (AF);
+t
n est le tansposé du vecteur n ;
16 le moment d'inertie par rapport au centre O.
Nous avons :
Jtr-1)
n-_l 1 I
3 [rJ
Alors,t;
n'=|(-r r ù
/J
Et t;
I*: {' (-r r
â\
J
est: Iar =
r'tr
Gg)

XtV tZ ) orthonorrné, direct et mobile, par rapport au
repère fxe Rr(O, Xl tY pZ1)
Solution :
Les données du problème sont :
Le repère R (O, xryrz ) mobile (Repère relatif)
I-re repère Rt(Or, xt r ÿ t eZ1 ) f:xe (Repère absolu)
Le vecteur de position d'entraînement de O à O1:
L'angle de rotation de R/R1
(Y1,x) = V (\i, constante)
Le vecteur taux de rotation de R/Re, dntno :
Le point matériel M défini par les coordonnées :
x = t, ÿ = é, ,z:0 (cm)
Le vecteur de position relatifdu point M s'écrit :
f-le vecteur de la position relative du point M dans le
repère mobile.
L/Onl[=xx +yy +zz= 0x +2ty +02
t/ rr
Le vectew de position absolu du point M est :
O1M=O,O + OM
2-Le vecteur taux de rotation de R./R1, dn I n, ,
li dv-
C)nlR, =O= -jrr=ÿzt
'dr
3- l'expression analÿique du vecteur vitesse absolue du
point M,
I-e vecteur vitesse absolue du point M dans le repère R
s?écrit :
= :: aR'ôF aR'ôF dR'ôM
[r(uD=VM/R,=- d-= d-* a,
tâ dérivée du vecteur mobile ôü p* rapport à un repère
fixe est :
dR,ôM dRm
jr______:__ =_____:_ +O1OM =VM/n + OnOM
'dtdt
'il
Vlrln =dRoM
dt la vitesse relative du point M
V"gvr;= ÿorn, + dnoM-
d'entraînement
- dR'oF est la
voln, = dt
Rr.
: le vecteur vitesse
vitesse du point O par rapport à
4-On déduire les vecteurs vitesses relative, d'entainement
et absolue du point M dans le repère mobile.
Le vecteur vitesse relative du point M s'écrit :
dRôü
L Vnrn= dt = 2y (cm/sec)
le vecteur vitesses d'entrainement :
dR,016
VolRr = -J- = O Ol Coihcide avec O
QnOM =Vztn(ty): -\i/t x (cm/sec)
D'où:
tr ÿ"(w) = -qfi; (cm/sec)
Par conséquent, le vecteur vitesse absolue du point M par
rapport à R1 est :
/ri n(M) = ÿvrrn, =-2ÿt; + 2î (cm/sec)
- l'expression analÿique du vecteur accélération absolue du
point M,
Le vecteur accélération absolue du point M par rapport au
repère fixe R1, s'écrit :
ir(M)=irwn - d2&6ùî = d&ÿ''& -a&(ÿ*'**ÿor*, * ôn'oil )
// dt2 dt dt
d*'ÿrr*, d*'ÿor*, dR'd dR'ôM
aa(ill)= dt + dt * * ,rOilt + On *
(l)
On applique la dérivation d'un vecteur mobile par rapport à
un repère fixe à la dérivée des vecteurs mobiles ôM .t
Vurn pax rapport au repère fixe Ro:
dR,oM
-__-_:__ = vurn +onoM
dt
dR'ÿurn dRÿrvrrn
dt = dt +OnVnrn
lxERcIcE N'4 : (? PoINTsl \ùù
Un point matériel M mobile par rapport au repère R (O, dR,ô5 = Voln
dt v' Nr
Donc, la formule du vecteur vitesse absolue du point M,
s'exprime: dR'6fr
ù,/ V ^(M)=VurRr = - d-= Vu/n +VoiRr + OaOM
Avec
l/
L
(El{ )

où:
, dR,ÿ*,* = aM/R +Ç)nVuln
dt
Avec:
* dRîrr*
aM/R = -- le vecteur accélération relative,
dt
On remplace ces développements dans l'expression (l), on
obtient l'expresse du vecteur accélération absolue :
ir(M)=iurn, =i*,* +2fi ,.ÿ',*)rio,*, *{} ^or*ô^6 ^oM
t/ -On déduire les vecteurs vitesses relative, complémentaire
(Coriolis), d'entrainement et absolue du point M dans le
repère mobile.
Le vecteur accélération relative du point M, est :
dRÿurn
tr a,r(M) = âM/R == ô (cm/sec2)
Le vecteur accélération complémentaire (Coriolis) :
,,àc(M)= 2 (o ^V*rn)=z (Vi, "tzil)= -+qi
Le vecteur accélération d'entralnement :
; * +nôü*ô^ft"ffi)
F ^"(M)= to/Rr * dt
Avec
ao/Rr=- d==ô (cm/sec2)
'd*'ô ^offi = ô
dt
)- l-
-\
üÿ a"(d ^oü)= -zÿ'ti (cm/sec2)
Donc, le vecteur accélération d'entraînement s'écrit :
f Â"$,tt)= ô,,.(ô ,..m)= -zÿ'ti (cm/sec2)
Enfin, le vecteur accélération absolue du
-.1
aa(M)= aM/R --4{, x,,r2ÿ'ty
/.2 @
//
j
- t_ \- dR,ô __ç
ae(M)=ayyp, -ay7p+2[fl nVrvgn]raorn, + * nOM+On§l nOM
dt
( ÿ constante )
point M est :
(cm/sec2)
G/()