Correction Examen Mecanique Rationnelle 2016

Unîversîté H.B.B.
- Chlef
Faculté de Génie Civil et d'Architecture
Département de Génie Civil
E)XERCICE
N'l
Mrrniqu,
Rationnette
Mécanique Rationnelle
§3 _ Gênie Civil et Tf
Enamen de Contrôle
Annêe Unlaersttalre
2075/ 2076
: (4 PIOINTS|
Déterminer la résultante du système de deux forces concourantes appliquées sur le corps solide dans la Figure
utilise la méthode géométrique).
I (on
Fr=150N
Fz=200N
Figure
I
E)XERCICE N'2 : (5 FOINT§|
Soit l'arc AB en béton armé, de rayon R, représenté dans la Figure 2. Le poids propre de l'arc est négligeable, le
reste des {onnées nécessaires est représenté la Figure 2.
Définir le corps solide représènté sur la Figure 2 et ces liaisons ;
2. Définir le système des forces appliquées sur le corps solide ;
3. Illustrer les réactions des Iiaisons sur la Figure
L
i
4. Écrre la condition d'équilibre statique do"côrpr
5. Déterminer les réactions dans les liaisons.
solide
El (ERCICE N'3 : (4 FOINTSf
On considère le cube ABCDEFGH de côté a (Figure 3). Les axes Ox, Oy et Oz passent par le centre de symétrie O
et sont parallèles aux côtés du cube.
1. Déterminer la matrice d'inertie au centre O du cube;
2. Déterminer le vecteur unitaire de la diagonale AF ;
3. Déterminer le moment d'inertie par rapport à la diagonale AF du cube.
::
Figure 3
Figure 4
E'XERCICE N'4 : (7 POINTS|
Un point matériel M agbils.par rapport au repère R (O, x, y rz) orthonormé, direct et mobile, par rapport
repère fixe R1(O, xt rÿt r zt ) Gigure 4). Les coordonnées du point M satisfont les conditions suivantes :
sachant que l'axe
ty
; =;, "t (fr' ÿ) = ;:; .u';'.,]i";;*]"|"fl-*e
est constante.
1. Donner le vecteur de la.position relative du point
2. Donner le taux de rotation de R/R1 ;
au
du temps leur dérivée par rapport à r
M dans le repère mobile.
3. Déteminer l'expression analÿique du vecteur vitesse absolue du point M,
4. On déduire les vecteurs vitesses relative, d'entrainement et absoluè du point M dans le repère mobile.
5. Déterminer l'expression analÿique du vecteur accélération absolue du point M,
6. On déduire les vecteurs vitesses ielative, complémentaire (Coriolis), d'ènhainement et absolue du point
dans le repère mobile.
Qrr)
M
Unîversîié H.B.B.
- Chlef
Faculté de Génie Civil et d'Architecture
Département de Génie Civil
ExERcIcE'N'l : (4 POINTSI
Mécanique Rationnelle
Mrrriqu,
53 _ Gênie Givil
Rtionnette
Année llnlaersltqlre
et
TP
2075/ 2076
A/t
Fr=150N
'ld
lr
Figure 2.b
Solution:
cL
/r
'/
3
/r
Y
?
= c[1+c[2
A
lb
Figure
Méthode de la règle du parallélogramme des forces :
On trace le parallélogramme des forces OABC (Figure
.
-Le système de forces est plan.
-On supprime les liaisons dans la Figure 2.a, et on les
remplace par les réactions qui leurs correspondent dans
la Figwe 2.b. D'après I'axiome des liaisons, le portique
AB devient libre sous I'action du système de forces en
plan.
1b), on joipant de l'extrémité de chaque force une
parallèle de l'autre force. La diagonale OB représente la
résultante des deux forces F, de module :
-Pour la détermination des réactions Ray, Re* et Rs, on
écrit la condition d'équilibre statique du corps solide
qui est le torseur des forces extérieures en A nul, où
bien la projection de ces éléments sur les axes est nulle:
2'
y',r.O" obtient le module
-Le corps solide est l'arc AB en béton armé,
-Les liaisons sont: l'appui double en A et l'appui
simple enB,
ü
de
La direction de R, est obtenue par l'application du théorème
des sinus du triangle OAB :
/r'
FrF2R
Sin a2 Sin a1
Sin Qr
- a)
ËËo=ô,
ËF,,=ô,
ËMo1F,;:ô
i=l
i-l
i=l
æÿi*=ô
êR*-ZP=o
?tir=ô
o
(1)
Rrv-3P + R*r- o 1zy
i=1
llglr+)
EXERCTCE N"2 : (5 POTNTS)
Soit l'arc AB en béton armé, de rayon\ représenté dans la
ü\fr^rl,r=ô
<) - 3PxR +2PxRsin30" +Rsrx2R
=
0
(3)
La solution des équations d'équilibres
æ
EXERCTCE
(l), (2) et (3) donne
.///
, l-Z'
N'3 : (4 POTNTSI (,1 Ct Ql
:
On considère le cube ABCDEFGH de'côté'a (Figure 3).
Les axes Ox, Oy et Oz passent par le centre de symétrie O
et sont parallèles aux'côtés du cube.
1
l:..
Qtr)
ÂF
- xJî+ (yr - yJi+ (zs -
= (xr
zr)k
-ai+ a|+ ai<
ÂÉ =
Le module de ÂF
llÀËll =
=@=avt(m)
llÂÉll
Les cosinus directeur de la force F
^ =(x. - xJ=-V5
La makice d'inertie au centre O du cube ABCDEFGH,
s'écrit
cos ux
r* -r-l
tt-I* -r*
Iyy -Irr
rl
L-r^
cos uv
^
cos uz
l
-ro \
)
éléments de la matrice s'écrit alors
ryÿ
=
Ix2
(2"-zo)
=
D'où:
Puisque I'axe Oz est un axe de ryméüie, les produits
d'inerties sont nuls (I,y = I- : I* : 0). Le reste des
bU r-=,fiv' * r')4.,
3
^ =(Yr - Yr)= V3
16Ïll 3
I
,/
liFll
:
Io = l
:
le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale (AF)
:
2)dm,
+z
La masse m du parallélépipède est
p: pV: p a3
Et l'élément de la masse :
ll;Ëll
€
=3
[cose,)
I.o=,Ir, +r,)a-
n=l
lVl*re',)
:
est
:
Jrf-l)
1
l=-l
cosQ-.
i
3
I
[t,J
3- Le moment d'inertie par rapport à la diagonale
(AF) du
cube.
dm = pdxdydz,
iet
i:
-al2
i
on
<x< aD,
-al2
remarque que les termes
,!rz
a^
Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque
<y < al2, -alT<z< al2,
passant par le centre O du solide, est donné par la relation
J*2d_, (s)JVrA.
(s)
+t
et
,6
i
r.=
,r
J*2dm
n
(§) (v)
.Jr'o-= o.lr'oroyo,
De lamême manière
?.
=
ot
*'a*î* t*
_; i
_;
=
ru*=+
(s)
Iyy =
r- =
+22'1dm=
,J,,r'
:
I
Alors,
t;
=+
,Jv'4.*,lr'u.
D'où la matice d'inertie du cube au cente O, s'écrit
:
.", [l o ol
2- le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale AF ;
les cosinus directew de la diagonale AF,
Les coordonnées des points A (0.5a, -0.5a, -0.5a) et
0.5a,0.5a, 0.5a)
I:e vecteur de la diagonale AF :
n'=|(-r r
ù
/J
Et
t;
I*: {'â\(-r
r
J
?'"=uL3àîl
i
Nous avons
3 [rJ
D'où:
qr;-=
16 le moment d'inertie par rapport au centre O.
n-_l
mà2
Jv-am= lz-dm=
est le tansposé du vecteur n ;
Jtr-1)
1
:
r.
lt'
est le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale (AF);
+t
(S)
i'III
in=
Io n
où:
tendent vers le calcul d'un seul type d'intégrale
(s)
i:
rÆn
e[ r')
ii]
'*[â
D'où le moment d'inertie par rapport à la diagonale (AF)
F
(
est: Iar = ^2
r'tr
Gg)
:
lxERcIcE N'4 : (? PoINTsl
\ùù
dR,ô5
Un point matériel M mobile par rapport au repère R (O,
XtV tZ ) orthonorrné, direct
fxe Rr(O, Xl tY
repère
=
dt
et mobile, par rapport au
Voln
v' Nr
Donc, la formule du vecteur vitesse absolue du point M,
s'exprime:
pZ1)
ù,/
V
dR'6fr
Vu/n +VoiRr + OaOM
d-=
^(M)=VurRr
=
Avec
dRoM
dt
Vlrln =
la vitesse relative du point
V"gvr;= ÿorn, + dnoM-
le
:
M
vecteur
vitesse
d'entraînement
Solution
:
Les données du problème sont
-voln, =dR'oF est la
vitesse du point O par rapport à
dt
:
Rr.
Le repère R (O,
I-re
xryrz ) mobile (Repère relatif)
repère Rt(Or,
4-On déduire les vecteurs vitesses relative, d'entainement
et absolue du point M dans le repère mobile.
xt r ÿ t eZ1 ) f:xe (Repère absolu)
Le vecteur vitesse relative du point M s'écrit
Le vecteur de position d'entraînement de O à O1:
dRôü
L Vnrn= dt = 2y (cm/sec)
L'angle de rotation de R/R1
V (\i, constante)
(Y1,x) =
le vecteur vitesses d'entrainement
Le vecteur taux de rotation de R/Re, dntno
Le point matériel
x = t, ÿ = é,
dR,016
VolRr = -J=O
:
M défini par les coordonnées
,z:0
repère mobile.
tr
:
li
dn
I
n,
repère fixe R1, s'écrit
ir(M)=irwn -
//
3- l'expression analÿique du vecteur vitesse absolue du
point M,
I-e vecteur vitesse absolue du point
M
dans le repère R
aR'ôF aR'ôF dR'ôM
d-=
d-*
a,
ôü p* rapport à un repère
dR,ôM dRm
+O1OM
'dtdt =_____:_
dt2
=
d&ÿ''&
dt -a&(ÿ*'**ÿor*,
dt
un repère fixe à la dérivée des vecteurs mobiles
Vurn
pax
dR,oM
rapport au repère fixe Ro:
vurn +onoM
dR'ÿurn dRÿrvrrn
dt = dt +OnVnrn
(El{
'il
d2&6ùî
* ôn'oil
On applique la dérivation d'un vecteur mobile par rapport à
dt
=VM/n + OnOM
:
(l)
-__-_:__ =
:
jr______:__
(cm/sec)
d*'ÿrr*, d*'ÿor*, dR'd
dR'ôM
aa(ill)=
+
*
,rOilt + On
dt
dt
*
*
:
fixe est
+ 2î
par
Le vecteur accélération absolue du point M par rapport au
,
dvC)nlR,
=O= -jrr=ÿzt
l/
'dr
dérivée du vecteur mobile
=-2ÿt;
M
- l'expression analÿique du vecteur accélération absolue du
point M,
2-Le vecteur taux de rotation de R./R1,
=
[r(uD=VM/R,=-
(cm/sec)
n(M) = ÿvrrn,
/ri
O1M=O,O + OM
tâ
ÿ"(w) = -qfi;
Par conséquent, le vecteur vitesse absolue du point
rapport à R1 est :
+yy +zz= 0x +2ty +02
t/L/Onl[=xx rr
L
x (cm/sec)
D'où:
:
f-le vecteur de la position relative du point M dans le
::
Ol Coihcide avec O
QnOM =Vztn(ty): -\i/t
Le vectew de position absolu du point M est
:
:
(cm)
Le vecteur de position relatifdu point M s'écrit
s?écrit
:
)
ôM .t
)
où:
, dR,ÿ*,*
dt
=
aM/R +Ç)nVuln
t_
\ae(M)=ayyp, -ay7p+2[fl nVrvgn]raorn,
Avec:
*
aM/R =
dRîrr*
-- dt
le vecteur accélération relative,
(l),
On remplace ces développements dans l'expression
obtient l'expresse du vecteur accélération absolue :
t/
ir(M)=iurn, =i*,* +2fi
,.ÿ',*)rio,*,
*{}
^or*ô^6
on
^oM
-On déduire les vecteurs vitesses relative, complémentaire
(Coriolis), d'entrainement et absolue du point M dans le
repère mobile.
Le vecteur accélération relative du point M, est
tr
a,r(M)
=
âM/R =
dRÿurn
:
= ô (cm/sec2)
dt
Le vecteur accélération complémentaire (Coriolis)
,,àc(M)=
2 (o
(Vi,
^V*rn)=z
Le vecteur accélération d'entralnement
; *
F ^"(M)=
to/Rr
*
:
"tzil)= -+qi
:
+nôü*ô^ft"ffi)
dt
Avec
ao/Rr='d*'ô
^offi
dt
)-
(cm/sec2)
d==ô
=ô
l-
üÿ a"(d ^oü)=
-\
(
ÿ
constante )
-zÿ'ti
(cm/sec2)
Donc, le vecteur accélération d'entraînement s'écrit
f
Â"$,tt)= ô,,.(ô
,..m)=
-zÿ'ti
:
(cm/sec2)
Enfin, le vecteur accélération absolue du point M est
-.1
aa(M)= aM/R
/.2
//
--4{, x,,r2ÿ'ty
:
(cm/sec2)
@
j
G/()
dR,ô
+ *
__ç
nOM+On§l nOM