Cours 2
CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville - 1 -
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
• Nous venons de déterminer, dans le cours 1, le vecteur vitesse d’un point M d’un solide par rapport à un
repère R en dérivant le vecteur position de M par rapport à R.
Dans de nombreux mécanismes (robot, systèmes articulés, etc.) plusieurs solides sont successivement
mobiles les uns par rapport aux autres.
Questions : N’existe-t-il pas une relation liant les différents vecteurs vitesse d’un même point, exprimés
successivement par rapport à chaque repère ?
Dans d’autres mécanismes (scie
sauteuse, pince ci-contre), il y a
glissement au contact M (S1
tourne, S2 translate). Quelle
relation existe-t-il entre
,10
et ,20
?
1- COMPOSITION DES VITESSES DE ROTATION
(Rappel :
10
= vecteur vitesse de rotation de R1 par rapport à R0)
• Considérons un point M d’un solide S indéformable lié à R2, en mouvement par
rapport à deux repères R0 et R1, eux-mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.
• Utilisons la formule de la dérivée du vecteur mobile 0
:
(0
)
0
=(0
)
2
+
20
0
(1).
On a aussi : (0
)
0
=(0
)
1
+
10
0
et (0
)
1
=(0
)
2
+
21
0
(0
)
0
=(0
)
2
+ (
21
+
10
)
0
(2).
D'après (1) et (2), on peut écrire :
20
= (
21
+
10
), et en généralisant :
Loi de composition des vitesses angulaires :
= (
+
++
)
2- COMPOSITION DES VITESSES LINEAIRES
• Soit un point P lié à R2(O2, 2
,2
,2
) et mobile par rapport à deux repères R0(O0, 0
,0
,0
) et R1(O1, 1
,1
,1
).
La vitesse du point P dans le repère R0 est reliée à la vitesse du point P
dans le repère R1 par la relation de composition des vitesses suivante :
VP,R2/R0
= VP,R2/R1
+VPR1/R0
vecteur vitesse absolue vecteur vitesse relative vecteur vitesse d’entraînement (dénominations des physiciens)
• Pourquoi VPR1/R0
a-t-il une notation particulière? Parce que cette écriture suppose que P appartient (est lié) à R1, alors
qu'il est en réalité lié à R2 ! Il faut donc considérer, pour calculer cette grandeur, que P est fixe dans R1, ce qui revient à dire
que R2 est lié à R1. Concrètement, cela se traduit par :
20
=
21
+
10
=
10
.
Centre d’Intérêt 7 :
TRANSMETTRE l'énergie – Aspect
MOUVEMENT
Compétences : Modéliser, Résoudre
CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE :
Comment relier les vecteurs vitesse et accél. d'un même point dans différents repères ?
COMPOSITION DES MOUVEMENTS
TP
COURS 2
TD
M
S2
S1
S0
O0
O1
1
1
0
M
0
0
1
2
2
2
(S)
O2
= 0
P = O2
(par ex.)
O0
0
0
0
O1
1
1
1
2
2
2
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Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Dans un calcul, on traduira VPR1/R0
par dOP
dt 0,afin de conserver la trace de cette supposition. Comme d'habitude par
contre, le vecteur vitesse absolue VP,R2/R0
sera noté et calculé avec dOP
dt 0
puisque P appartient réellement à R2.
• En généralisant, on montre :
Loi de composition des vitesses linéaires : ,/
= ,/
=
• Exemples : Perforatrice ci-dessous, puis reprise TD1 (Aérogénérateur) et TD2 (Magic Arms) pour retrouver les expressions des
vecteurs vitesse en utilisant la composition des vitesses linéaires.
On cherche à déterminer graphiquement VP,R2/R1
. Le point P est le point de contact entre 2 et 1 (il bouge !).
D'après ce que l'on vient d'établir, VP,R2/R0
= VP,R2/R1
+ VPR1/R0
.
VP,R2/R0
suppose que P appartient
à R2 ; or, 2 est en mouvement
vertical / 0 (translation rectiligne
d'axe 0
). D'où la direction de
VP,R2/R0
.
Quel est le mouvement de 1/0 ?
En déduire la direction 1/0
.
Déterminer la direction ,2/1
; en déduire finalement les vecteurs ,2/1
et 1/0
.
• Autre application : le roulement sans glissement.
Ex 1 : 2 roues s’entraînent par friction :
A est le point de contact. On note
VA,R2/R1
= VA,2/1
pour simplifier.
On a : VA,2/1
= 0
et VA,2/1
= VA,2/0
+ VA0/1
Donc : VA,2/0
=VA0/1
Tracer ces vecteurs vitesse.
3- COMPOSITION DES ACCELERATIONS
Contrairement aux autres relations, la composition suivante n’est pas à retenir par cœur !
Loi de composition des accélérations linéaires :
,/
= ,/
+ ,/
+ .
10
,/
Accélération
d’entraînement
Accélération
de Coriolis
VP,R2/R0
donné
P
0
1
2
O
O
0
0
0
Ex 2 : Point de contact M entre la roue (2) d'une voiture
(3) et la route (1) :
On a : VM,2/1
= 0
En déduire et tracer
,2/3
et 3/1
.
A
2
1
0
2/0
1/0
2/3
M
1
2
3
Accélération
absolue
Accélération
relative
Gaspard-Gustave Coriolis (1792-1843), mathématicien et ingénieur
1
/
2
100%
