Sciences Industrielles pour l’Ingénieur CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE : COURS 2 Comment relier les vecteurs vitesse et accél. d'un même point dans différents repères ? TP COMPOSITION DES MOUVEMENTS TD Centre d’Intérêt 7 : TRANSMETTRE l'énergie – Aspect MOUVEMENT Compétences : Modéliser, Résoudre • Nous venons de déterminer, dans le cours 1, le vecteur vitesse d’un point M d’un solide par rapport à un repère R en dérivant le vecteur position de M par rapport à R. Dans de nombreux mécanismes (robot, systèmes articulés, etc.) plusieurs solides sont successivement mobiles les uns par rapport aux autres. Questions : N’existe-t-il pas une relation liant les différents vecteurs vitesse d’un même point, exprimés successivement par rapport à chaque repère ? Dans d’autres mécanismes (scie sauteuse, pince ci-contre), il y a S0 glissement au contact M (S1 S1 tourne, S2 translate). Quelle relation existe-t-il entre M 𝑉𝑀,𝑅1 et 𝑉𝑀,𝑅2 ? S2 𝑅0 𝑅0 1- COMPOSITION DES VITESSES DE ROTATION (Rappel : 𝑅1 𝑅0 𝑧2 = vecteur vitesse de rotation de R1 par rapport à R0) M (S) • Considérons un point M d’un solide S indéformable lié à R2, en mouvement par rapport à deux repères R0 et R1, eux-mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre. 𝑧1 𝑥2 • Utilisons la formule de la dérivée du vecteur mobile 𝑂0 𝑀 : 𝑑 (𝑂0 𝑀 ) 𝑑𝑡 𝑅0 = On a aussi : et 𝑑(𝑂0 𝑀 ) 𝑑𝑡 𝑅1 𝑑(𝑂0 𝑀 ) 𝑑𝑡 𝑅2 𝑑(𝑂0 𝑀 ) 𝑑𝑡 = + 𝑅2 = 𝑑𝑡 𝑅2 O1 𝑥1 𝑂0 𝑀 (1). 𝑑 (𝑂0 𝑀 ) 𝑅0 𝑑(𝑂0 𝑀 ) 𝑑𝑡 𝑅0 O2 𝑦1 𝑧0 + 𝑅2 𝑅1 𝑅1 + 𝑅1 𝑅0 D'après (1) et (2), on peut écrire : 𝑅2 𝑅0 = (𝑅2 𝑥0 ⇒ 𝑅1 𝑦0 O0 𝑂0 𝑀 𝑂0 𝑀 𝑦2 𝑑 (𝑂0 𝑀 ) + 𝑅1 𝑑𝑡 𝑅0 𝑅0 = 𝑑(𝑂0 𝑀 ) 𝑑𝑡 𝑅2 + (𝑅2 𝑅1 + 𝑅1 𝑅0 ) 𝑂0 𝑀 (2). ), et en généralisant : Loi de composition des vitesses angulaires : 𝑹𝒏 𝑹𝟎 = (𝑹𝒏 𝑹𝒏−𝟏 + 𝑹𝒏−𝟏 𝑹𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑹𝟏 𝑹𝟎 ) 2- COMPOSITION DES VITESSES LINEAIRES • Soit un point P lié à R2(O2, 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) et mobile par rapport à deux repères R0(O0, 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) et R1(O1, 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ). La vitesse du point P dans le repère R 0 est reliée à la vitesse du point P dans le repère R1 par la relation de composition des vitesses suivante : O 0 VP,R 2 /R 0 = VP,R 2 /R 1 + VP∈R 1 /R 0 vecteur vitesse absolue vecteur vitesse relative 𝑦1 𝑦0 𝑥1 O1 𝑧1 𝑥0 𝑧0 vecteur vitesse d’entraînement (dénominations des physiciens) 𝑧2 P = O2 (par ex.) 𝑥2 𝑦2 • Pourquoi VP∈R 1 /R 0 a-t-il une notation particulière? Parce que cette écriture suppose que P appartient (est lié) à R1, alors qu'il est en réalité lié à R2 ! Il faut donc considérer, pour calculer cette grandeur, que P est fixe dans R1, ce qui revient à dire que R2 est lié à R1. Concrètement, cela se traduit par : 𝑅2 = 𝑅2 + 𝑅1 = 𝑅1 . 𝑅0 CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -1- 𝑅1 = 0 𝑅0 𝑅0 Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Dans un calcul, on traduira VP∈R 1 /R 0 par dOP dt 𝑅0 ,𝐏∈𝑹𝟏 afin de conserver la trace de cette supposition. Comme d'habitude par dOP contre, le vecteur vitesse absolue VP,R 2 /R 0 sera noté et calculé avec dt 𝑅0 puisque P appartient réellement à R2. • En généralisant, on montre : 𝐧 Loi de composition des vitesses linéaires : 𝐕𝐏,𝐑𝐧 /𝐑𝟎 = 𝐕𝐏,𝐑𝐢 /𝐑𝐢−𝟏 𝐢=𝟏 • Exemples : Perforatrice ci-dessous, puis reprise TD1 (Aérogénérateur) et TD2 (Magic Arms) pour retrouver les expressions des vecteurs vitesse en utilisant la composition des vitesses linéaires. On cherche à déterminer graphiquement VP,R 2 /R 1 . Le point P est le point de contact entre 2 et 1 (il bouge !). D'après ce que l'on vient d'établir, VP,R 2 /R 0 = VP,R 2 /R 1 + VP∈R 1 /R 0 . P VP,R 2 /R 0 suppose que P appartient à R2 ; or, 2 est en mouvement vertical / 0 (translation rectiligne d'axe 𝑦0 ). D'où la direction de VP,R 2 /R 0 . 2 VP,R 2 /R 0 donné 1 0 O Quel est le mouvement de 1/0 ? 𝑦0 En déduire la direction 𝛥𝑉𝑃∈𝑅1 /𝑅0 . Déterminer la direction 𝛥𝑉𝑃,𝑅2 /𝑅1 ; en déduire finalement les vecteurs 𝑉𝑃,𝑅2 /𝑅1 et 𝑉𝑃∈𝑅1 /𝑅0 . O 𝑧0 𝑥0 • Autre application : le roulement sans glissement. Ex 1 : 2 roues s’entraînent par friction : A est le point de contact. On note VA,R 2 /R 1 = VA,2/1 pour simplifier. On a : VA,2/1 = 0 et VA,2/1 = VA,2/0 + VA∈0/1 2/0 Donc : VA,2/0 = −VA∈0/1 Ex 2 : Point de contact M entre la roue (2) d'une voiture (3) et la route (1) : 2 3 On a : VM,2/1 = 0 2 2/3 1/0 0 En déduire et tracer 𝑉𝑀,2/3 et 𝑉𝑀∈3/1 . A 1 Tracer ces vecteurs vitesse. M 1 3- COMPOSITION DES ACCELERATIONS Contrairement aux autres relations, la composition suivante n’est pas à retenir par cœur ! Loi de composition des accélérations linéaires : 𝜞𝑷,𝑹𝟐/𝑹𝟎 = 𝜞𝑷,𝑹𝟐 /𝑹𝟏 + 𝜞𝑷,𝑹𝟏 /𝑹𝟎 + 𝟐. 𝑅1 Accélération Accélération Accélération absolue relative d’entraînement 𝑅0 ∧ 𝑽𝑷,𝑹𝟐 /𝑹𝟏 Accélération de Coriolis Gaspard-Gustave Coriolis (1792-1843), mathématicien et ingénieur CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -2-