Cours 2

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Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE :
COURS 2
Comment relier les vecteurs vitesse et accél. d'un même point dans différents repères ?
TP
COMPOSITION DES MOUVEMENTS
TD
Centre d’Intérêt 7 :
TRANSMETTRE l'énergie – Aspect
MOUVEMENT
Compétences : Modéliser, Résoudre
• Nous venons de déterminer, dans le cours 1, le vecteur vitesse d’un point M d’un solide par rapport à un
repère R en dérivant le vecteur position de M par rapport à R.
Dans de nombreux mécanismes (robot, systèmes articulés, etc.) plusieurs solides sont successivement
mobiles les uns par rapport aux autres.
Questions : N’existe-t-il pas une relation liant les différents vecteurs vitesse d’un même point, exprimés
successivement par rapport à chaque repère ?
Dans d’autres mécanismes (scie
sauteuse, pince ci-contre), il y a
S0
glissement au contact M (S1
S1
tourne, S2 translate). Quelle
relation
existe-t-il
entre
M
𝑉𝑀,𝑅1 et 𝑉𝑀,𝑅2 ?
S2
𝑅0
𝑅0
1- COMPOSITION DES VITESSES DE ROTATION
(Rappel : 𝑅1
𝑅0
𝑧2
= vecteur vitesse de rotation de R1 par rapport à R0)
M
(S)
• Considérons un point M d’un solide S indéformable lié à R2, en mouvement par
rapport à deux repères R0 et R1, eux-mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.
𝑧1
𝑥2
• Utilisons la formule de la dérivée du vecteur mobile 𝑂0 𝑀 :
𝑑 (𝑂0 𝑀 )
𝑑𝑡
𝑅0
=
On a aussi :
et
𝑑(𝑂0 𝑀 )
𝑑𝑡
𝑅1
𝑑(𝑂0 𝑀 )
𝑑𝑡
𝑅2
𝑑(𝑂0 𝑀 )
𝑑𝑡
=
+  𝑅2
=
𝑑𝑡
𝑅2
O1
𝑥1
 𝑂0 𝑀 (1).
𝑑 (𝑂0 𝑀 )
𝑅0
𝑑(𝑂0 𝑀 )
𝑑𝑡
𝑅0
O2
𝑦1
𝑧0
+  𝑅2
𝑅1
𝑅1
+  𝑅1
𝑅0
D'après (1) et (2), on peut écrire : 𝑅2
𝑅0
= (𝑅2
𝑥0
⇒
𝑅1
𝑦0
O0
 𝑂0 𝑀
 𝑂0 𝑀
𝑦2
𝑑 (𝑂0 𝑀 )
+  𝑅1
𝑑𝑡
𝑅0
𝑅0
=
𝑑(𝑂0 𝑀 )
𝑑𝑡
𝑅2
+ (𝑅2
𝑅1
+  𝑅1
𝑅0
)  𝑂0 𝑀 (2).
), et en généralisant :
Loi de composition des vitesses angulaires : 𝑹𝒏
𝑹𝟎
= (𝑹𝒏
𝑹𝒏−𝟏
+ 𝑹𝒏−𝟏
𝑹𝒏−𝟐
+ ⋯ + 𝑹𝟏
𝑹𝟎
)
2- COMPOSITION DES VITESSES LINEAIRES
• Soit un point P lié à R2(O2, 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) et mobile par rapport à deux repères R0(O0, 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) et R1(O1, 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ).
La vitesse du point P dans le repère R 0 est reliée à la vitesse du point P
dans le repère R1 par la relation de composition des vitesses suivante : O
0
VP,R 2 /R 0 = VP,R 2 /R 1 + VP∈R 1 /R 0
vecteur vitesse absolue
vecteur vitesse relative
𝑦1
𝑦0
𝑥1
O1
𝑧1
𝑥0
𝑧0
vecteur vitesse d’entraînement (dénominations des physiciens)
𝑧2
P = O2
(par ex.)
𝑥2
𝑦2
• Pourquoi VP∈R 1 /R 0 a-t-il une notation particulière? Parce que cette écriture suppose que P appartient (est lié) à R1, alors
qu'il est en réalité lié à R2 ! Il faut donc considérer, pour calculer cette grandeur, que P est fixe dans R1, ce qui revient à dire
que R2 est lié à R1. Concrètement, cela se traduit par : 𝑅2
=  𝑅2
+  𝑅1
=  𝑅1 .
𝑅0
CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville
-1-
𝑅1
= 0
𝑅0
𝑅0
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Dans un calcul, on traduira VP∈R 1 /R 0 par
dOP
dt
𝑅0 ,𝐏∈𝑹𝟏
afin de conserver la trace de cette supposition. Comme d'habitude par
dOP
contre, le vecteur vitesse absolue VP,R 2 /R 0 sera noté et calculé avec
dt
𝑅0
puisque P appartient réellement à R2.
• En généralisant, on montre :
𝐧
Loi de composition des vitesses linéaires : 𝐕𝐏,𝐑𝐧 /𝐑𝟎 =
𝐕𝐏,𝐑𝐢 /𝐑𝐢−𝟏
𝐢=𝟏
• Exemples : Perforatrice ci-dessous, puis reprise TD1 (Aérogénérateur) et TD2 (Magic Arms) pour retrouver les expressions des
vecteurs vitesse en utilisant la composition des vitesses linéaires.
On cherche à déterminer graphiquement VP,R 2 /R 1 . Le point P est le point de contact entre 2 et 1 (il bouge !).
D'après ce que l'on vient d'établir, VP,R 2 /R 0 = VP,R 2 /R 1 + VP∈R 1 /R 0 .
P
VP,R 2 /R 0 suppose que P appartient
à R2 ; or, 2 est en mouvement
vertical / 0 (translation rectiligne
d'axe 𝑦0 ). D'où la direction de
VP,R 2 /R 0 .
2
VP,R 2 /R 0
donné
1
0
O
Quel est le mouvement de 1/0 ?
𝑦0
En déduire la direction 𝛥𝑉𝑃∈𝑅1 /𝑅0 .
Déterminer la direction 𝛥𝑉𝑃,𝑅2 /𝑅1 ; en déduire finalement les vecteurs 𝑉𝑃,𝑅2 /𝑅1 et 𝑉𝑃∈𝑅1 /𝑅0 .
O
𝑧0
𝑥0
• Autre application : le roulement sans glissement.
Ex 1 : 2 roues s’entraînent par friction :
A est le point de contact. On note
VA,R 2 /R 1 = VA,2/1 pour simplifier.
On a : VA,2/1 = 0
et VA,2/1 = VA,2/0 + VA∈0/1
2/0
Donc : VA,2/0 = −VA∈0/1
Ex 2 : Point de contact M entre la roue (2) d'une voiture
(3) et la route (1) :
2
3
On a : VM,2/1 = 0

2
2/3
1/0
0
En déduire et tracer
𝑉𝑀,2/3 et 𝑉𝑀∈3/1 .
A
1
Tracer ces vecteurs vitesse.
M
1
3- COMPOSITION DES ACCELERATIONS
Contrairement aux autres relations, la composition suivante n’est pas à retenir par cœur !
Loi de composition des accélérations linéaires :
𝜞𝑷,𝑹𝟐/𝑹𝟎 = 𝜞𝑷,𝑹𝟐 /𝑹𝟏 + 𝜞𝑷,𝑹𝟏 /𝑹𝟎 + 𝟐. 𝑅1
Accélération Accélération Accélération
absolue
relative d’entraînement
𝑅0
∧ 𝑽𝑷,𝑹𝟐 /𝑹𝟏
Accélération
de Coriolis
Gaspard-Gustave Coriolis (1792-1843), mathématicien et ingénieur
CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville
-2-
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