Rappels de mathématiques File

Un peu de maths…
19 Septembre 2016
(dernière mise à jour du fichier : 6/10/2016)
Intro aux TPs – Septembre 2016
Dérivées partielles
Fonction d’une variable : f(x)
 Dérivée par rapport à x
lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
= pente de la tangente de f en x
x
 Notation simple : f’(x)
 Propriétés
(k ) '  0
( x) '  1
 af ( x)  '  af '( x)
 f ( x)  g ( x)  '  f '( x)  g '( x)
 f ( x) g ( x)  '  f '( x) g ( x)  f ( x) g '( x)
( x n ) '  nx n1
(e x ) '  e x
(sin x) '  cos x
(cos x) '   sin x
1
(tan x) ' 
cos 2 x
1
(ln x) ' 
x
 f ( x)  f '( x) g ( x)  f ( x) g '( x)

 
g 2 ( x)
 g ( x) 
( f
g )( x)    f  g ( x)    f '( g ( x)) g '( x)
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Dérivées partielles
Notations pour la dérivée :
f ( x  x)  f ( x)
f
lim
 f '( x) 
x 0
x
x
Exercices
 x
 e cos( x)   e x cos( x)  e x sin( x)
x
  1 
x  1  x 
 
2
ln( y )  


y 
1
3/2
 1  x 
2
2 ln( y )

y
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Dérivées partielles
Fonction de deux variables x et y : f(x,y)
exemples:
x+y
cos(xy)
x/y
x²/cos(x²y³)
 Dérivée par rapport à quoi? x ou y ou les deux?
 Notation f’(x) inutilisable !
f
f
et
x
y
On parle alors de dérivée partielle par rapport à x ou par rapport à y.
Formellement, on définit ces dérivées partielles de manière analogue à la
dérivée d’une fonction d’une seule variable…
f
f ( x  x, y )  f ( x, y )
( x, y )  lim
x 0
x
x
f ( x  x)  f ( x)
lim
x 0
x
f
f ( x, y  y )  f ( x, y )
( x, y )  lim
y 0
y
y
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Dérivées partielles
En pratique, on les calcule comme une dérivée normale :
=> La dérivée partielle de f par rapport à x se calcule en considérant l’autre
variable (y) comme une constante.
 La dérivée partielle de f par rapport à y se calcule en considérant l’autre
variable (x) comme une constante.
Exemple :
f ( x, y)  xy 2
f
( xy )
2  ( x)
2

y
y
x
x
x
2
f
( xy 2 )
( y 2 )

x
 x(2 y)  2 xy
y
y
y
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Dérivées partielles
Les règles de dérivation restent valables :
• La dérivée partielle d’une somme est la somme des dérivées
partielles.
• Les autres règles de dérivation restent valables (produits,
quotient, sinus, cosinus, …).
 f  g
f g
=

x
x x
  fg  f
g
=
g f
x
x
x
....
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Dérivées partielles
Un exemple pratique :
Si f est la fonction qui permet de calculer son Body Mass Index
(BMI), M la Masse et T la Taille en mètre,
f  M /T2
les dérivées partielles par rapport à M et T sont
(M / T 2 )
f
 1/ T 2

M
M
f
(M / T 2 )
(1/ T 2 )

M
 2M / T 3
T
T
T
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Dérivées partielles
A vous de jouer :
f  x y
f
?
x
f
?
y
f  x  xy
f
?
x
f
?
y
2
f  sin( x) / cos( y)
f
?
x
f
?
y
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Dérivées partielles
A vous de jouer :
f  x y
f
1
x
f
1
y
f  x  xy
f
 2x  y
x
f
x
y
2
f  sin( x) / cos( y )
f cos x

x cos y
f sin( x) sin( y )

2
y
cos ( y )
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Trigonométrie
Trigonométrie de base :
sin(  )  opposé/hypothénuse 
c
b
β
a
b
c
a
cos(  )  adjacent/hypothénuse 
c
sin(  ) opposé b
tg (  ) 


cos(  ) adjacent a
pythagore : c 2  a 2  b 2
Truc mnémotechnique : SOH CAH TOA
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Géométrie
Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
a
b
Deux angles correspondants sont égaux si les
droites a et b sont parallèles.
a
b
Deux angles alternes-internes sont égaux si les
droites a et b sont parallèles.
Deux angles à côtés respectivement
perpendiculaires sont égaux.
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Géométrie
Thalès
D
B
A
C
Deux triangles sont
semblables s’ils ont deux
angles respectivement
égaux
E
BC AB AC


DE AD AE
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Géométrie
Les vecteurs sont utiles en physique, notamment pour
représenter une force. Un vecteur est défini par :
• sa grandeur.
• sa direction.
• son sens.
Exemple : forces agissant sur un skieur,
R
•
•
Le poids du skieur.
La réaction de la neige.
Force résultante?
G  mg
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Géométrie
R
FR
G  mg
Force résultante = somme vectorielle
=> obtenue par la règle du parallélogramme
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Géométrie
b

a
Produit scalaire
a  b  a b cos   nombre
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Géométrie
Produit vectoriel :
c  a b
est un nouveau vecteur :
• Perpendiculaire aux deux premiers vecteurs
• De longueur
a b sin 
• Dont le sens est donné par la règle de la main droite
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Géométrie
Autre truc :
• Utiliser la main DROITE
• Poser les quatre doigts de la main sur le vecteur a
• Ramener ces quatre doigts vers le vecteur b via l’angle le plus petit
• Le pouce donne la direction de c
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