"matrice compagnon" de p(x)

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
E UGÈNE M ALEK
Matrices de compagnon généralisées
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 5 (1963-1964), exp. no 17,
p. 1-11
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1963-1964__5__A11_0>
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Séminaire DELANGE-PISOT
(Théorie des Nombres)
5e année~ 1963/64, n°
17-01
17
27 avril 1964
GÉNÉRALISÉES
MATRICES DE COMPAGNON
par
la
de
Soit
ra
par
K
un
corps
K[x]
quelconque
l’anneau des
P(x)
n
on
MALEK
connus.
précisera
x~"~ -
=
par
o
la nature par la suite. On
à coefficients dans
polynômes
K[x] , P(x)
e
quelques
dont
x~ K
sur
(ai e K) . désignera
K[x] engendré par P(x)
Soit
Eugène
(P(x))
K .
désigne-
o
a~ un polynôme de degré
l’idéal principal de polynômes dans
...
a~
-
x -
o
Considérons l’anneau quotient
immédiates.
K[x]
1.1. semble
{1 ,
x~ ,
x ,
K
est
alors
commutatif,
Soit
E
=
K[x]/(P(x)) .
o
algèbre linéaire
une
x~) .
... ,
K[x]
==>
de
degré
Les remarques suivantes sont
n
intègre -~ P(x) est irréductible sur K
K[xj est isomorphe à un corps de rupture
n
sur
K ,
l’ensemble des transformations linéaires de
E
dans
E
Soit
E(E , E)
ï e
et
vectoriel invariant par
engendré
par
L’espace
vecteur
v
E
r
1.4. - On
P(x)
est de
E ~
pour base l’en-
on
désignera
par
{u)
. Si de
o
P(x)
de
plus
K
est
K.
sur
on
désignera
le
plus petit sous-espace
par
E(E , E)
0
-r
{u}
T.
sera
l’espace cyclique (relatif
à
ï) engendré
paru.
est
eE
minimal de
et
u
u ë
avec
commutatif.
espace vectoriel de dimension
un
K
sur
Autrement dit
o
commutatif
1.3. -
TT[x]
cyclique (relatif à r),et T sera cyclique s’il existe un
qui engendre E , c’est-à-dire {vj = E . Dans ce
cas, le polynôme
est égal au polynôme minimal de T relatif à
v .
démontre
degré
n
que
sur
Il
K
T e
",
E(E , E)
donc
est
s’écrit :
cyclique
,=>
son
polynôme
minimal
o
10 ~ o ~ De 10 4 9
est
déduit facilement que
on
indépendant
ensemble linéairement
un
K , où
sur
~
est la transformation
neutre.
0
E(E , E) , qui
Dans
est
un
n"
espace vectoriel de dimension
en T
l’anneau des expressions polynomiales
gnera par
sont
l’ensemble des expressions polynomiales en T qui
est
l’ensemble
1.6.- Dans
pression polynomiale P~) , où P(x)
que l’anneau quotient
est
K
une
est
algèbre sur
égal av- degré
Dans tout
l’espace
Kn ,
ce
des
K
multiplication
polynôme P(x) sur
avec
du
signera
par
M(Kn , Kn)
n
algèbres
matrice carrée
A
pressions polynomiales en A
polynomiales qui sont égales
K[A]
où
des matrices
E
sur
K,
o
par l’exen
déduit
II[Tj
de
on
un
l’ anneau des
par
algèbre
consultative
donc
a
o
l’ensemble des
et par
de
o
isomorphisme
désignera
n
iI On
sur
n
K
On dé-
dans
Kn
ex-
expressions
o
est le
un
idéal- principal
polynôme
engendré
minimal de
o
On
par
en
l’expression
déduit que l’
quotient
est une
sur
à la matrice nulle
est
P(x)
K)
9
de
carrées d’ ordre
isomorphes par
sont
l’ensemble
polynomiale P( A ) ~
ne au
degré
Le
E(E , E).
o
o
linéaires
de transformations
l’ espace
-
c’està-dire les deux
Dans
P(r) .
On
T .
e
K .
o
f(K , Il ) l ’ espace
une
modulo
engendré
minimal de
dési-
On désignera par
qui suit on supposera que 15 est commutatif.
n-uples sur ’ , par 1£1 , ~2 ,
, ~n} la base orthonormale
et par
Pour
polynôme
est le
0
à
égales
on
et par
K ,
sur
idéal principal
un
K,
sur
sur
K J9
avec
multiplication
module
P(A)
o
Pour
an-
T=(p.(A) ~
9
on a
x‘~ chaque polynôme unitaire P(x)
K, on peut associer une matrice carrée d’ordre
1.8. - A
degré
n
=
sur
P(x~ 9
minimal est
"matrice
trice, qu’on appelle
2. La matrice de
com
K)
n
n
polynôme minimal;
son
est
compagnon"
à
isomorphe
par
indépendant
cyclique
T
sur
K . Donc
alors
l ’ algèbre
module
K[rj
est
P(r)
linéaire cyclique quelconque,
un
P(x) respectivement.
et
0
est
le
produit
utilisant la formule
03A61(x) , 03A62(x) ~ K[x] ,
se
ensemble linéairement
un
espace vectoriel de dimension
03C4n
ramené à
K[rJ
se
n-1
I
=
n
correspond à
une
E
K
o
ramène à
~
~
De même, pour
a.
03A63(x)
certaine matrice A
sur
K[x].
et
(mod P(x))
e
K[x] .
l’isomorphisme
Donc si T
ma-
commutative
T~" } ~
T ~
~
en
Cette
est de la forme
de
transformation
une
{1~
===>
D’ autre part, pour
e
dont le
n
ao de
polynôme
x -
(~.1)n P(x) .
est
D’où l’isomorphisme naturel des deux espaces vectoriels
(mod P(ï))
a1
l’ isomorphisme
où la multiplication s’effectue
En effet 1’
-
énéralisée.
non
2 010 .- Soient 03C4 ~ (K,
et
polynôme caractéristique
et dont le
...
9
Kn) ,
on
a
D’où
D’où
où ~ ~
l’isomorphisme
2.2. - Le. "matrice
associée
au
(K n, K )
Puisque
linéaire
polynôme
compagnon~’
P(x)
x
03C61 M(Kn ,
T , correspondant
à
A,
T
tion9
est
cyclique,
Donc
2.3" -
[~1 , T~1 ,
et par
" -
est
-
cyclique. Or
e.. ~2
o fl a
...
a.
x -
est
a0
cyclique.
il suffit de démontrer que la transformation
Kn) ,
données de transformés de vecteurs
Ceci entraine que
o
.....
y
les
e
lignes
e
K
Tn-1 ~1] = {~1} = K
e
conséquent A
de
par
A
sont les
T . En effet
d’après
cooron a
la défini-
aussio
9
B e
K[A]
==> B
est
engendré
par récurrence de la manière suivante
la (i
c’est-à-dire dans
En effet
par
nous
rapport à
A~2
et
en
avons vu
la base
général
+
l)-ième ligne,
plus
{e , e~ , ... ? ~ ~
et
2.4. - Soient
B.C
iT.’-’i
B ,
C
e
la
~11 ~
D
quée
est
de
T
b.
0
par
rapport à
D
B
ceux
T~
à
correspond
Considérons
la base
{e. ~
e~ ~...~ e }.
précédemment indiqués.
(b~)
lJ ,
suivante :
C
première ligne
B ~
=
(c~~)
iS ,
=
alors la
multiplication
i
-~
~
de
et soit
~c . (d~ ~
... ~
d~)
~
d~~)
=
engendré. par récurrence
dans 2.3°
.Donc,
.
1
K[A] ,
s’effectue de la manière
première ligne
A
à
Soit
la
correspond
transformation linéaire
.
constate que les coefficients sont
on
comme
~ (i=1~2~...~n-l).
-*- correspond 2014
à
système équivaut
considéré
haut que, à T
donc la transformation linéaire
Ce
on a
à
partir
de
(d~ ,
,
de la manière indi-
En effet
correspond à
A
Or
T ""
b..
"~-
respond à ]L
1
e~ ~
Pour
On
... ~
rapport à
par
aura
La
T
En} .
la base
rapport à
par
C
{s. ~ e~ ~
p
posons
donc
D
sera
de D
sera.
de
base{~1 ,
~2 ,
correspond à Z c.. T "
~i0 *~ D
,’~
puisque K[T]~
et
simplifier l’écriture,
première ligne
la
La deuxième
ligne
De même la
m-ième ligne
sera
... ,
e
}.
0
rapport
correspond à
par
"
Donc
B
cor-
à la même base
On voit donc que
sé
système
D
2.3. Autrement dit,
en
(b~ ,
gne
ce
donne lieu
engendré
est
b~)C = (d~ ,
... ,
au
même type de récurrence que celui précipar récurrence à partir de sa première li°
... ,
multiplication de
multiplications et 2n~ - 3n +
On voit facilement que la
2n -
plus
n
B
2.5. - L’inverse d’une matrice
e
deux telles matrices
nécessite qu’au
additions.
1
K[A] ~
ne
0
s’il
existe , peut
se
déterminer de
la manière suivante:
Soit
C
=:
B"
ligne
C
transposée
est la
f(x)
En effet soit
Si B
est
B-1
e
B-1
K[À] ,
=
G
=
polynôme
Cij>
il suffit de résou-
... , c1n)
minimal de
Cii ,
=>
B*
° ° ° ,
est la
B ,
de
sa
pre-
c1n)B
transposée
=
de
i , °,
° ° ° ,
B D’où le
o
°>
°
Ceci
équivant
résultat cherché
o
n-i
B
=
b. x ~ P(x))
unités de
j[
0
.
0 des
première
0
2.6. - La matrice
G
sa
et, d’après 2.3 , est engendré par récurrence à partir
manière qui y est indiquée
..
( ~
récurrence à partir de
alors
où
n-1
par
B .
de
le
inversible,
mière ligne àe ia
Or
engendré
système d’équations linéaires
B*
D’ où
est
Pour déterminer
... , c1n).
dre le
où
(cij) ,
=
=
1 . Ceci
o
Y[AJ .
o
b. A~
permet
e
K[A]
donc de
est
régulière
si et seulement si
déterminer par isomorphisme le groupe
à
En
effet,
soient
(-
les racines de
... , 03B1n}
~
P(x),
alors
~
=i-1
n
.
seront les valeurs propres de B et dét (B) = ((j
n- 1
j= 1
P(x)) = d(x) de degré> C -r> il existe un
( L b.~
0
n-1
= 0
tel que
D’où, puisque d(x) )1
~
.
( z bi OEÎ)
1=0 J
03B1.
J
(j
=
Or
e
1 2 ,..., n)
5
~
d(a o )
n’est pas
B
et
b n x1,
à
o
régulière
o
D’autre part
dét(B) ~
D’où
0
et
Remarquons qu’on
B
c
pourra déduire le môme résultat à
2070 - Remarque. Nous
matrice carrée
régulièrec
est
.1.
type défini dans 2.3~
n
du
3.
Applications.
de l’identité de Bezout.
récemment démontré le résultat suivanti Pour
avons
quelconqueM
partir
n’ il existe
d’ordre
n
+
1
ma.trices
M
d’ordre
i
n+1
telles que
A.
une
A..
= ~
o
o
n-l
b(x)
b(x) )
3.1. - A chaque élément
appellera polynôme
B e
1 b.~ A
=
normal de
=
où
A
est la
.
_
K[x] correspond un polynôme (qu’on
qui est le polynôme caractéristique de
"matrice compagnon" de P(x) .
0
0
Puisque
permet,
les
dans
puissances
ce
de
B
s’obtiennent par
cas, de calculer
rapidement
le
récurrence,
polynôme
la méthode de Le Verrier
normal de
b(x)
(à partir
de la formule de Newton pour les traces
où
Bk).
méthode efficace pour
calculer le polynôme normal d’un nombre algébrique quelconque.
sk
est la trace de
a
En
particulier
ceci donne
une
o
3.2. - Considérons
des
A
rationnels ,
det(y)
est
la "matrice
à coefficients dans
K[AJ
degré
de
Q[A] ~
=
P(x)
de
en
n
étant dans
K
le corps
cas
ce
Q[xj .
e
o
(i
y.
0, 1, 2,
=
... ~
~
1)
n -
Q
o
det(y)
P(x) est
Diaprés 2.6,
duit que si
e
compagnon"
homogène
forme
une
A~
y =2- y.
=0
n~l
~
(I
si et seulement si
P(x)) ~
homogène det(y)
irréductible alors la forme
1 . On
y.
0
0
=
dé-
en
n’aura pas
de solution rationnelle autre que zéro.
Par
nelles et même
En
(~0
n-uple (y0 ,
3.3~ - Supposons que
le nombre d’unités
=
blé
sur
K . D’ où
unités
G’
G’
est
B
e
H P.(x)
P(x)
toriel Kn ,
et
est
K
est
champs
un
de
à
~
~
régulière
on a vu
plus
de G
est
K[x]
est
g~
distincts et
~n
(~- -
( I
m = = (g1n-03B21-1)P(x). =
P03B1 1 (x)
G
c
1 , 2 ,...
K[x]
=
m)
alors
irréducti-
groupe G d’automorphismes
b.
de l* espace
vec-
(gn-gi).
~1
K[A] . Or d’après 2.6,
T
x1, P(x)) 1 . Il suffit
=
o
B
=
I
i=i0
donc de
b.
~
A~
est
déterminer
ceci par
récurrence
le nombre
sur
m
de facteurs
P(x) .
de
=> le nombre
Donc le nombre d’éléments de
le nombre
,
K ,
l’ordre du groupe dos
non
nuls divisibles par
est
D’où,
sur
n
Nous allons donc démontrer que le nombre d’unités de
(l/g ~)) ~
irréductibles
degré
unitaire de
A
et
=
’
~~~
KLxj .
=
o
haut que
si et seulement si
le nombre d’unités de
K
Galois,
U .
i=0
En effet
de
ô" P (x) =P. , P (x) (i =
égal
solu
sera une
1 .
sous-groupe commutatif du
où l’ordre
à coordonnés entière
y )
du groupe des unités
cK[A]"
un
infinité de solutions ration-
aura une
P(x) polynôme
K[AJ est égal à
compagnon"
où
il y
y1 , ... ,
xl , P(x)) ~
y~
est la "matrice
réductible,
est
infinité de solutions qui sont des entiers rationnels.
une
tout
effet,
tion si
P(x)
si
contre,
K[xJ
divisibles par
relativement
premiers à
P (x)
P(x)
est
est
m =
2
=>
P(x)
est
par
=
P.
a. (x) PZ 03B122(x)
Le nombre d’éléments
nuls divisibles
non
1 ~
-
g
d’éléments
> le nombre
0
F~ (x)
nuls divisibles par
non
est
mais pas par
est
Donc le nombre d’éléments
qui
sont pas
ne
D’où le nombre d’éléments relativement
premiers
P(x)
à
premiers
P(x)
à
est
est
=
(x).P03B122 (x).P03B133 (x)
est
(g
Le nombre d’éléments
non
nuls divisibles par
P?(x) ~
mais pas par
Pi(x)
Le nombre d’ éléments
non
nuls divisibles par
P 3 (x) ,
mais par par
P1 P39 P2 P 3
m
=
3
P(x)
=>
siples par P1(x)
Pl P2 P3
d’éléments
non
nuls divi-
l) .
-
0
es~
Donc le nombre d’éléments qui
D’où le nombre
_
Supposons
’
le nombre
=>
ne
sont pas
relativement
_
.
_
premiers à
..
que la formule soit vraie pour
et démontrons-la pour
P (x)
=
Pii(x)
premiers à
_
P(x)
P(x)
est
est
.
P(x)
avec
=
)i
/
i=l
avec
~
ô P.(x)
=
03B2i,
(i
ô P.(x)
~
=
=
03B2j,
~
1 , 2,...,m).
17-11
Le nombre d’éléments
P~(x)
°
...
non
nuls divisibles par
est
Donc le nombre d’ éléments
égal
qui
ne
mais relativement
premiers
à
sont pas relativement
D’où le nombre d’éléments relativenent
D’où le résultat cherché.
Pm(x) ,
premiers à
premiers
est
ù
est
à