1 STI - Chapitre 3: Fonctions de référence

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ere STI - Chapitre 3:
Fonctions de r´ ef´ erence
Introduction : exercice.
Dessiner au tableau le graphique ci-dessous `a main lev´ee repr´esentant
une courbe de temp´erature avec le temps (en heures) en abscisses et la
temp´erature (en degr´es Celsius) en ordonn´ee. On appelle θla fonction qui,
au temps tassocie la temp´erature. A partir de cette courbe, on peut poser
des questions et y r´epondre en utilisant :
–Le langage courant : Quelle ´etait la temp´erature `a 6 heures ?
–Le langage des fonctions : Quelle est l’image de 6 par la fonction
θ?
–Les notations math´ematiques :D´eterminer graphiquement θ(6).
1. Traduire dans le langage des fonctions les questions suivantes et
y r´epondre en utilisant les deux langages :
(a) Quelle ´etait la temp´erature `a 14 heures ?
(b) Durant quelle(s) p´eriode(s) la temp´erature diminue-t-elle ?
(c) Durant quelle(s) p´eriodes la temp´erature ´etait-elle sup´erieure
`a 10 degr´es ?
2. Traduire dans le langage courant les questions suivantes et y r´epondre
en utilisant les deux langages :
(a) Quels sont le ou les ant´ec´edents de 10 par la fonction θ?
(b) R´esoudre graphiquement l’´equation θ(t) = 0.
c
Pierre-Vincent Qu´er´e - 2006/2007

(c) Quels sont le maximum et le minimum de la fonction θsur
[0; 24] et pour quelles valeurs de tsont-ils atteints ?
3. Traduire par une phrase de chacun des deux langages les affirma-
tions suivantes :
(a) θ(10) = 15.
(b) θ(t) = 5 pour t= 6,8 ou t= 20,2.
(c) θ(t)>5 pour t∈[6,8; 20,2].
1 Fonctions de r´ef´erence.
1.1 Fonctions affines (rappels de seconde).
1.1.1 Caract´eristiques d’une fonction affine.
(a) D´efinition.
D´efinition 1 On appelle fonction affine toute fonction de la forme x7→
ax +b, o`u aet bsont des r´eels fix´es (ind´ependants de x). Si a= 0, on a
une fonction constante (f(x) = b), et si b= 0, on a une fonction lin´eaire
(f(x) = ax).
(b) Repr´esentation graphique.
Propri´et´e 1 La repr´esentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Le nombre as’appelle le coefficient directeur, le nombre bl’ordonn´ee `a l’ori-
gine.
Exercice 1 Associer une droite `a une fonction affine : Exo 7 p.169 Di-
math`eme. Que repr´esente une pente de 10% ?
(c) Variations.
Soit fune fonction affine d´efinie par f(x) = ax +b.
Propri´et´e 2 – Le domaine de d´efinition de fest Rtout entier.
– Si a > 0, alors fest croissante sur R.
– Si a < 0, alors fest d´ecroissante sur R.
(Faire deux dessins)
Remarque 1 Une fonction croissante (ou d´ecroissante) sur Rest dite mo-
notone.

D´emonstration : Traiter d’abord deux ou trois exemples, puis envisager
les deux cas (a > 0, a < 0) et consid´erer deux r´eels x1< x2. Classer leurs
images...
(d) Signe.
Propri´et´e 3 Si fn’est pas constante (i.e. a6= 0), la fonction fs’annule en
x0=−b
a. Par ailleurs, on peut dresser le tableau de signe de f:
Si a > 0, Si a < 0,
x−∞ x0+∞
f(x)−0 +
x−∞ x0+∞
f(x) + 0 −
(Faire deux dessins)
Remarque 2 Attention ! Le tableau de signe n’a rien `a voir avec le tableau
de variation !
1.2 Fonction carr´e (rappels de seconde).
Rappels :
– Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul : Quelque soit le r´eel x,
x2>0.
– Un nombre r´eel et son oppos´e ont mˆeme carr´e : Quelque soit le r´eel x,
x2= (−x)2.
D´efinition 2 La fonction carr´e est d´efinie sur Rpar x7→ x2.
Propri´et´e 4 La fonction carr´e est d´ecroissante sur ]− ∞; 0] = R−et crois-
sante sur [0; +∞[= R+. Elle pr´esente un minimum ´egal `a 0en 0. Son tableau
de variation est donc le suivant :
x−∞ 0 +∞
x2ց ր
0
Sa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal est la
suivante :

Exercice 2 D´emontrer la propri´et´e pr´ec´edente. Sauriez-vous compl`eter le
tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes ? Donner le
tableau de signe de la fonction ?
D´efinition 3 Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal, la repr´esentation
graphique de la fonction carr´e est une parabole dont l’origine du rep`ere est
le sommet.
Propri´et´e 5 La courbe repr´esentative de la fonction carr´e est sym´etrique
par rapport `a l’axe des ordonn´ees : On dit que la fonction carr´e est une
fonction paire (voir TD p.72)
1.3 Fonction inverse (rappels de seconde).
D´efinition 4 La fonction inverse est d´efinie sur R\ {0}=R∗par x7→ 1
x.
Propri´et´e 6 La fonction inverse est d´ecroissante sur ]− ∞; 0[= R∗
−et
d´ecroissante sur ]0; +∞[= R∗
+. Elle ne pr´esente pas d’extr´emum. Son ta-
bleau de variation est le suivant :
x−∞ 0 +∞
1
xց ց

Sa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal est la
suivante :
Exercice 3 D´emontrer la propri´et´e pr´ec´edente. Sauriez-vous compl`eter le
tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes ? Donner le
tableau de signe de la fonction ?
D´efinition 5 Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal, la repr´esentation
graphique de la fonction inverse est une hyperbole (´equilat`ere).
Propri´et´e 7 La courbe repr´esentative de la fonction inverse est sym´etrique
par rapport `a l’origine du rep`ere dans lequel on la trace : On dit que la
fonction inverse est une fonction impaire (voir TD p.72)
1.4 Fonction cube.
1.5 Fonction racine carr´ee.
1.6 Fonctions circulaires : sinus et cosinus.
On consid`ere le cercle trigonom´etrique : Cercle Cde centre 0, de rayon
1, orient´e (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonom´etrique). A un
angle xon fait correspondre la longueur de l’arc qu’il intercepte sur C. Le
p´erim`etre pde Cvaut 2π.
On d´efinit le radian (unit´e de mesure d’angles) par la correspondance :
2πrad = 360◦