1 STI - Chapitre 3: Fonctions de référence

1ère STI - Chapitre 3:
Fonctions de référence
Introduction : exercice.
Dessiner au tableau le graphique ci-dessous à main levée représentant
une courbe de température avec le temps (en heures) en abscisses et la
température (en degrés Celsius) en ordonnée. On appelle θ la fonction qui,
au temps t associe la température. A partir de cette courbe, on peut poser
des questions et y répondre en utilisant :
– Le langage courant : Quelle était la température à 6 heures ?
– Le langage des fonctions : Quelle est l’image de 6 par la fonction
θ?
– Les notations mathématiques :Déterminer graphiquement θ(6).
1. Traduire dans le langage des fonctions les questions suivantes et
y répondre en utilisant les deux langages :
(a) Quelle était la température à 14 heures ?
(b) Durant quelle(s) période(s) la température diminue-t-elle ?
(c) Durant quelle(s) périodes la température était-elle supérieure
à 10 degrés ?
2. Traduire dans le langage courant les questions suivantes et y répondre
en utilisant les deux langages :
(a) Quels sont le ou les antécédents de 10 par la fonction θ ?
(b) Résoudre graphiquement l’équation θ(t) = 0.
c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007
(c) Quels sont le maximum et le minimum de la fonction θ sur
[0; 24] et pour quelles valeurs de t sont-ils atteints ?
3. Traduire par une phrase de chacun des deux langages les affirmations suivantes :
(a) θ(10) = 15.
(b) θ(t) = 5 pour t = 6, 8 ou t = 20, 2.
(c) θ(t) > 5 pour t ∈ [6, 8; 20, 2].
1
Fonctions de référence.
1.1
1.1.1
Fonctions affines (rappels de seconde).
Caractéristiques d’une fonction affine.
(a) Définition.
Définition 1 On appelle fonction affine toute fonction de la forme x 7→
ax + b, où a et b sont des réels fixés (indépendants de x). Si a = 0, on a
une fonction constante (f (x) = b), et si b = 0, on a une fonction linéaire
(f (x) = ax).
(b) Représentation graphique.
Propriété 1 La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Le nombre a s’appelle le coefficient directeur, le nombre b l’ordonnée à l’origine.
Exercice 1 Associer une droite à une fonction affine : Exo 7 p.169 Dimathème. Que représente une pente de 10% ?
(c) Variations.
Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b.
Propriété 2
– Le domaine de définition de f est R tout entier.
– Si a > 0, alors f est croissante sur R.
– Si a < 0, alors f est décroissante sur R.
(Faire deux dessins)
Remarque 1 Une fonction croissante (ou décroissante) sur R est dite monotone.
Démonstration : Traiter d’abord deux ou trois exemples, puis envisager
les deux cas (a > 0, a < 0) et considérer deux réels x1 < x2 . Classer leurs
images...
(d) Signe.
Propriété 3 Si f n’est pas constante (i.e. a 6= 0), la fonction f s’annule en
x0 = − ab . Par ailleurs, on peut dresser le tableau de signe de f :
Si a > 0,
Si a < 0,
x
−∞
f (x)
−
x0
0
+∞
x
f (x)
+
−∞
+
x0
0
+∞
−
(Faire deux dessins)
Remarque 2 Attention ! Le tableau de signe n’a rien à voir avec le tableau
de variation !
1.2
Fonction carré (rappels de seconde).
Rappels :
– Le carré d’un nombre réel est positif ou nul : Quelque soit le réel x,
x2 > 0.
– Un nombre réel et son opposé ont même carré : Quelque soit le réel x,
x2 = (−x)2 .
Définition 2 La fonction carré est définie sur R par x 7→ x2 .
Propriété 4 La fonction carré est décroissante sur ] − ∞; 0] = R− et croissante sur [0; +∞[= R+ . Elle présente un minimum égal à 0 en 0. Son tableau
de variation est donc le suivant :
x
x2
−∞
0
ց
+∞
ր
0
Sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal est la
suivante :
Exercice 2 Démontrer la propriété précédente. Sauriez-vous complèter le
tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes ? Donner le
tableau de signe de la fonction ?
Définition 3 Dans le plan muni d’un repère orthonormal, la représentation
graphique de la fonction carré est une parabole dont l’origine du repère est
le sommet.
Propriété 5 La courbe représentative de la fonction carré est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées : On dit que la fonction carré est une
fonction paire (voir TD p.72)
1.3
Fonction inverse (rappels de seconde).
Définition 4 La fonction inverse est définie sur R \ {0} = R∗ par x 7→ x1 .
Propriété 6 La fonction inverse est décroissante sur ] − ∞; 0[= R∗− et
décroissante sur ]0; +∞[= R∗+ . Elle ne présente pas d’extrémum. Son tableau de variation est le suivant :
x
1
x
−∞
0
ց
+∞
ց
Sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal est la
suivante :
Exercice 3 Démontrer la propriété précédente. Sauriez-vous complèter le
tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes ? Donner le
tableau de signe de la fonction ?
Définition 5 Dans le plan muni d’un repère orthonormal, la représentation
graphique de la fonction inverse est une hyperbole (équilatère).
Propriété 7 La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique
par rapport à l’origine du repère dans lequel on la trace : On dit que la
fonction inverse est une fonction impaire (voir TD p.72)
1.4
Fonction cube.
1.5
Fonction racine carrée.
1.6
Fonctions circulaires : sinus et cosinus.
On considère le cercle trigonométrique : Cercle C de centre 0, de rayon
1, orienté (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonométrique). A un
angle x on fait correspondre la longueur de l’arc qu’il intercepte sur C. Le
périmètre p de C vaut 2π.
On définit le radian (unité de mesure d’angles) par la correspondance :
2π rad = 360◦
1.6.1
Cosinus et sinus d’un angle.
Définition 6 Le point M a pour coordonnées (cos; sin).
Remarque 3 Cette définition correspond bien à la définition de 3e (voir
module).
Valeurs remarquables.
x en rad
cos x
sin x
0 π
1 −1
0 0
π
2
0
1
π
3
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√6
3
2
1
2
Propriété 8 On ”enroule” la droite des réels sur le cercle trigonométrique
(en plaçant l’origine au bon endroit !) dans le sens trigonométrique.
On a alors pour tout réel x :
– −1 6 cos x 6 1.
– −1 6 sin x 6 1.
– cos2 x + sin2 x = 1 (nb : cos2 x = (cos x)2 ).
1.6.2
Fonctions cosinus et sinus (fonctions de référence).
(a) Propriétés communes.
– Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
– Les valeurs prises par ces fonctions sont comprises entre -1 et 1.
– Ces fonctions sont périodiques de période 2π :
∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
(b) La fonction cosinus : cos .
– Exercice.
1. Complèter les points sur le cercle trigonométrique.
2. Remplir le tableau suivant :
0
x
cos x
π
6
π
4
π
3
π
2
3. En déduire la courbe de la fonction cos dans un repère orthonormé
sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π].
– Autres propriétes.
– La fonction cos est paire :
∀x ∈ R, cos(−x) = cos x.
– Les variations de la fonction cos sur [−π; π] sont les suivantes :
−π
0
π
x
1
cos x
ր
ց
-1
-1
– Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de
fois sur R.
(c) La fonction sinus : sin .
– Exercice.
1. D’après la figure de l’exercice précédent, remplir le tableau suivant :
x
0 π6 π4 π3 π2
sin x
2. En déduire la courbe de la fonction sin dans un repère orthonormé
sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π].
– Autres propriétes.
– La fonction sin est impaire :
∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x.
– Les variations de la fonction sin sur [−π; π] sont les suivantes :
π
x
π
−π
− π2
2
0
1
sin x
ց
ր
ց
-1
0
– Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de
fois sur R.
2
Résolution d’équations trigonométriques.
2.1
Équation “cos x = cos a”.
2.2
Équation “sin x = sin a”.
2.3
Cas généraux : Exemples et exercices.
3
Fabrication de nouvelles fonctions.
3.1
Opérations sur les fonctions.
cf. TP2 p.167
3.2
Composition des fonctions.
3.2.1
Définition-Exemples.
3.2.2
Sens de variation des fonctions composées.