Probabilités

Probabilités
Il s’agit dans ce chapitre de quantifier les chances d’apparition d’un phénomène à l’issue d’une expérience où
le hasard intervient.
1 Vocabulaire des probabilités
1.1 Expérience aléatoire
Définition : Lorsque le résultat d’une action ne peut être prévu car le hasard intervient, on dit qu’il s’agit
d’une expérience aléatoire.
Sans pouvoir prévoir le résultat obtenu à l’issue d’une expérience aléatoire, on peut souvent dresser une liste
ou au moins décrire l’ensemble des résultats possibles.
Vocabulaire : Les résultats possibles à l’issue d’une expérience aléatoire sont appelées des issues ou des
éventualités.
Exercice 1. On considère les expériences aléatoires suivantes : déterminer dans chaque cas l’ensemble des
issues.
1. On lance un dé à 6 faces et on s’intéresse au nombre de points indiqués par la face supérieure ;
2. On lance deux fois de suite une pièce et on s’intéresse à la succession de pile-face obtenue ;
3. On choisit une personne au hasard dans la population française et on détermine si cette personne est
diabétique.
1.2 Langage des événements
Exercice 2. On lance un dé à 6 faces.
1. On s’intéresse aux résultats qui donnent un nombre pair : quels sont-ils ?
2. On s’intéresse aux résultats qui donnent un nombre inférieurs à 10 ; quels sont-ils ?
3. On s’intéresse aux résultats qui donnent une différence égale décimale non entière ; quels sont-ils ?
Définition : Un événement est constitué de certaines des issues d’une expérience aléatoire.
1. L’événement impossible est un événement qui ne se produit jamais : il ne contient aucune éventualité.
2. L’événement certain est un événement qui se produit toujours : il contient toutes les éventualités.
Exercice 3. Un sac contient 3 boules : 1 rouge, 1 verte et 1 bleue. On extrait deux boules successivement
sans les remettre dans le sac.
1. Déterminer la liste des tirages possibles.
2. Quelles sont les issues qui réalisent R: “la deuxième boule tirée est la rouge”.
3. Quelles sont les issues qui réalisent S: “la deuxième boule tirée n’est pas la rouge”.
4. On considère les événements V: “la première boule tirée est verte” et B: “la première boule tirée est
bleue”. Existe-t-il des éventualités qui réalisent à la fois Vet B?
Définitions : On appelle événement complémentaire ou contraire de l’événement Al’ensemble des
éventualités ne réalisant pas A. Cet événement se note “non A” ou ¯ A.
Deux événements Aet Bsont incompatibles ou disjoints lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simulta-
nément.
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2 Calcul des probabilités
Exercice 4. On lance un dé équilibré à 6 faces.
1. Quelle sont selon vous nos chances d’obtenir le nombre 3 ? Le nombre 4 ? Un nombre pair ?
2. Exprimer les chances ci-dessus sous la forme d’une fraction.
3. On lance 3000 fois un dé équilibré est on obtient les résultats suivants :
Face obtenue 1 2 3 4 5 6
Nombre d’apparitions 484 477 520 493 525 501
Calculer la fréquence d’apparition de chaque face : cela est-il en accord avec votre intuition ?
4. Pourquoi n’obtient-on pas exactement les valeurs écrites en 2 ?
Vocabulaire : Ainsi, la probabilité d’une éventualité est la “chance théorique” que cette éventualité se
produise à l’issue d’une expérience aléatoire.
Propriétés : la probabilité d’une éventualité est un nombre ptel que 06p61.
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire vaut 1.
La probabilité d’un événement Aest notée p(A)et se calcule en faisant la somme des probabilités d’apparition
des issues qui constituent A
Exercice 5. On lance deux fois de suite une pièce bien équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir de
fois de suite le même résultat (c’est-à-dire Pile-Pile, ou Face-Face) ?
Propriétés :
1. Si Aet Bsont deux événement disjoints, alors la probabilité que AOU Bse réalise est égale à la
somme des probabilités de Aet de B.
2. Les probabilités de Aet de l’événement complémentaire ¯ Avérifient p(A) + p(¯ A) = 1.
Exercice 6. Un dé à 6 faces a été truqué pour que l’apparition de la face 6soit 6 fois plus fréquente que
l’apparition des 5 autres faces.
1. Déterminer la probabilité de chacune des faces.
2. Déterminer ensuite la probabilité de l’événement A: “Obtenir un nombre pair”, de l’événement B:
“Obtenir un multiple de 3” et la probabilité de Aou B.
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