Probabilités

Probabilités
Il s’agit dans ce chapitre de quantifier les chances d’apparition d’un phénomène à l’issue d’une expérience où
le hasard intervient.
1
Vocabulaire des probabilités
1.1
Expérience aléatoire
Définition : Lorsque le résultat d’une action ne peut être prévu car le hasard intervient, on dit qu’il s’agit
d’une expérience aléatoire.
Sans pouvoir prévoir le résultat obtenu à l’issue d’une expérience aléatoire, on peut souvent dresser une liste
ou au moins décrire l’ensemble des résultats possibles.
Vocabulaire : Les résultats possibles à l’issue d’une expérience aléatoire sont appelées des issues ou des
éventualités.
Exercice 1.
issues.
On considère les expériences aléatoires suivantes : déterminer dans chaque cas l’ensemble des
1. On lance un dé à 6 faces et on s’intéresse au nombre de points indiqués par la face supérieure ;
2. On lance deux fois de suite une pièce et on s’intéresse à la succession de pile-face obtenue ;
3. On choisit une personne au hasard dans la population française et on détermine si cette personne est
diabétique.
1.2
Langage des événements
Exercice 2.
On lance un dé à 6 faces.
1. On s’intéresse aux résultats qui donnent un nombre pair : quels sont-ils ?
2. On s’intéresse aux résultats qui donnent un nombre inférieurs à 10 ; quels sont-ils ?
3. On s’intéresse aux résultats qui donnent une différence égale décimale non entière ; quels sont-ils ?
Définition : Un événement est constitué de certaines des issues d’une expérience aléatoire.
1. L’événement impossible est un événement qui ne se produit jamais : il ne contient aucune éventualité.
2. L’événement certain est un événement qui se produit toujours : il contient toutes les éventualités.
Exercice 3. Un sac contient 3 boules : 1 rouge, 1 verte et 1 bleue. On extrait deux boules successivement
sans les remettre dans le sac.
1. Déterminer la liste des tirages possibles.
2. Quelles sont les issues qui réalisent R : “la deuxième boule tirée est la rouge”.
3. Quelles sont les issues qui réalisent S : “la deuxième boule tirée n’est pas la rouge”.
4. On considère les événements V : “la première boule tirée est verte” et B : “la première boule tirée est
bleue”. Existe-t-il des éventualités qui réalisent à la fois V et B ?
Définitions : On appelle événement complémentaire ou contraire de l’événement A l’ensemble des
éventualités ne réalisant pas A. Cet événement se note “non A” ou Ā.
Deux événements A et B sont incompatibles ou disjoints lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simultanément.
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Calcul des probabilités
Exercice 4.
On lance un dé équilibré à 6 faces.
1. Quelle sont selon vous nos chances d’obtenir le nombre 3 ? Le nombre 4 ? Un nombre pair ?
2. Exprimer les chances ci-dessus sous la forme d’une fraction.
3. On lance 3000 fois un dé équilibré est on obtient les résultats suivants :
Face obtenue
Nombre d’apparitions
1
484
2
477
3
520
4
493
5
525
6
501
Calculer la fréquence d’apparition de chaque face : cela est-il en accord avec votre intuition ?
4. Pourquoi n’obtient-on pas exactement les valeurs écrites en 2 ?
Vocabulaire : Ainsi, la probabilité d’une éventualité est la “chance théorique” que cette éventualité se
produise à l’issue d’une expérience aléatoire.
Propriétés : la probabilité d’une éventualité est un nombre p tel que 0 6 p 6 1.
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire vaut 1.
La probabilité d’un événement A est notée p(A) et se calcule en faisant la somme des probabilités d’apparition
des issues qui constituent A
Exercice 5. On lance deux fois de suite une pièce bien équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir de
fois de suite le même résultat (c’est-à-dire Pile-Pile, ou Face-Face) ?
Propriétés :
1. Si A et B sont deux événement disjoints, alors la probabilité que A OU B se réalise est égale à la
somme des probabilités de A et de B.
2. Les probabilités de A et de l’événement complémentaire Ā vérifient p(A) + p(Ā) = 1.
Exercice 6. Un dé à 6 faces a été truqué pour que l’apparition de la face 6 soit 6 fois plus fréquente que
l’apparition des 5 autres faces.
1. Déterminer la probabilité de chacune des faces.
2. Déterminer ensuite la probabilité de l’événement A : “Obtenir un nombre pair”, de l’événement B :
“Obtenir un multiple de 3” et la probabilité de A ou B.
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