Probabilités - Mathonautes

Probabilités
Dans ce chapitre nous faisons l'étude de ce que l'on appelle des expériences aléatoires (du latin alea qui
signifie "dé" (à jouer), qui se dit…az-zahr en arabe, nous donnant le mot "hasard"!), c'est-à-dire des
phénomènes dont les résultats sont par nature impossibles à prévoir avec exactitude. C'est le but de la
théorie des probabilités.
1. Vocabulaire des probabilités
Définition 1:
Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à
l'expérience aléatoire.
Exemples:
•Lancer un dé à six faces, "…………………………………………………………….." est une
éventualité de cette expérience aléatoire.
•Tirage des six numéros gagnants du Loto: "……………………………………………………………
……………………………………………………." est une éventualité de cette expérience aléatoire.
Définition 2:
L'ensemble formé par les éventualités liées à une expérience aléatoire est appelé univers de
l'expérience; il est très souvent noté
Ω
.
Exemples:
•Lancer d'une pièce de monnaie:
{......;......}Ω =
(……………………………………………………).
•Lancer un dé à six faces:
{......;......;......;......;......}Ω =
(univers à six éléments).
•Tirage des six numéros gagnants du Loto (univers à 14 millions d'éléments environ !…) :
{(......;......;......;......;......;......);(......;......;......;......;......;......); ...}etcΩ =
Définition 3:
Un événement de l'expérience aléatoire est une partie quelconque (un sous-ensemble) de l'univers. Un
événement ne comprenant qu'une seule éventualité est qualifié d'événement élémentaire.
Exemple:
•Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un 5" est un événement élémentaire que l'on peut noter
{......}E=
; "obtenir un numéro pair" est un événement de cette expérience aléatoire, que l'on peut noter
{......;......;......}F=
; il est composé des événements élémentaires "…………………………", "……
………………………………" et "…………………………….".
Définition 4:
L'événement qui ne contient aucune éventualité est qualifié d'événement impossible, et est noté
∅
.
L'événement qui est composé de toutes les éventualités (c'est-à-dire
Ω
lui-même) est appelé
événement certain.
Exemples:
•Tirage des six numéros gagnants du loto: "obtenir la combinaison 3-25-38-59-67-91" est un
événement impossible (les numéros vont de 1 à 49…).
•Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un nombre compris entre 1 et 6 (inclus)" est un événement certain.
Définition 5:
Soient A, B deux événements.
➔L'événement A et B est l’événement qui se réalise lorsque A et B se réalisent simultanément. On
le note
∩A B
(qui se lit « A inter B »).
➔L'événement A ou B est l’événement qui se réalise lorsque au moins l’un des événements A et B
se réalise. On le note
∪A B
(qui se lit « A union B »).
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Définition 6:
Deux événements E et F d'une expérience aléatoire seront dits incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune
éventualité en commun (c'est-à-dire lorsque l'intersection des sous-ensembles E et F est vide:
E F∩ =∅
).
Exemples:
•Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un 3" (
{3}E=
) et "obtenir un nombre pair" (
{2;4;6}F=
) sont
des événements incompatibles:
E F∩ =∅
.
•Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un nombre inférieur ou égal à 3" (
{1;2;3}E=
) et "obtenir un
nombre pair" (
{2; 4;6}F=
) ne sont pas des événements incompatibles:
{......}E F∩ = ≠ ∅
.
Définition 7:
Pour tout événement E, il existe un événement noté
E
, et appelé événement contraire de E, qui est
composé des éléments de
Ω
qui ne sont pas dans E.
Exemples:
•Lancer d'une pièce de monnaie: si
{ }E P=
(événement "obtenir le côté Pile") alors son événement
contraire est
{......}E=
(événement "………………………………………………………").
•Lancer d'un dé à six faces: si
{1;2;3; 4}E=
(événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4")
alors son événement contraire est
{......;......}E=
(événement "obtenir un nombre sup ou égal à 5").
Propriétés:
➔Un événement E et son événement contraire
E
sont incompatibles:
E E∩ =∅
.
➔Le contraire de l'événement
E
est E lui-même:
E E=
.
➔Le contraire de l'événement impossible est l'événement certain:
∅ =Ω
.
2. Probabilité d'un événement dans une expérience aléatoire
Définition 8
Lors d'une expérience aléatoire, la probabilité d'un événement E, notée
( )p E
, est un nombre
compris entre 0 et 1, et mesurant la fréquence théorique de réalisation de l'événement E.
Propriété: la probabilité d'un événement E peut s'obtenir en additionnant les probabilités des
événements élémentaires qui le composent.
•Lancer d'un dé à six faces, chaque face a la même probabilité d’apparaître ; puisque la somme de leurs
probabilités est égale à 1, chaque face a une probabilité d’apparaître égale à
......
......
(voir plus bas).
•Si on appelle
E
l'événement "obtenir un nombre pair", alors on a
{......;......;......}E=
et on peut
calculer
{ } { } { }
( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ...... ...... ...... ...... .......p E p p p= + + = + + = =
; l'événement "obtenir un
nombre pair" a "une chance sur …………" de se produire…
Définition 9
Une situation d'équiprobabilité est une situation dans laquelle chaque événement élémentaire de
l'univers
{ }
1 2
; ;...; n e e eΩ =
a la même probabilité d'apparition; on a alors
{ } { } { }
1 2
1
( ) ( ) ... ( )
n
p e p e p e n = = = =
.
Théorème :
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Dans ce cas (équiprobabilité) on peut calculer la probabilité de n'importe quel événement E par la
formule:
( ) =Ω
E
p E nombre d'éléments de
nombre d'éléments de
Exemples: toutes les situations suivantes sont des situations d'équiprobabilité:
•Lancer d'une pièce de monnaie:
1
({ }) 2 p P =
et
1
({ }) 2 p F =
. Autrement dit, la probabilité (fréquence
d'apparition théorique) des événements "obtenir le côté Pile" et "obtenir le côté Face" est égale à
1
2
:
ces événements ont "une chance sur deux" de se produire.
•Lancer d'un dé à six faces:
1
({1}) ({2}) ... ({6}) 6 p p p= = = =
: la probabilité d'obtenir un 1 (ou un 2,
etc…) est égale à
1
6
: cet événement a "une chance sur six" de se produire.
•Lancer d'un dé à six faces, si on appelle
E
l'événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4",
alors on a
{1;2;3; 4}E=
et on peut calculer
nombre d'éléments de 4 2
( ) nombre d'éléments de 6 3
E
p E = = =
Ω
; l'événement
"obtenir un nombre inférieur ou égal à 4" a "deux chances sur trois" de se produire…
Propriétés:
➔Pour tout événement E on a
0 ( ) 1p E≤ ≤
.
➔La probabilité de l'événement certain
Ω
est égale à 1, celle de l'événement impossible
∅
est égale à
0:
( ) 1pΩ =
et
( ) 0p∅ =
.
➔Si E et F sont deux événements incompatibles, alors on a
( ) ( ) ( )p E F p E p F∪ = +
➔Si E et F sont deux événements compatibles, alors on a
( ) ( ) ( ) ( )p E F p E p F p E F∪ = + − ∩
➔Si E est un événement, dont l'événement contraire est
E
, alors on a
( )
( )
1p E p E= −
.
Exemples:
•Tirage au hasard d'une carte dans un jeu de 32 cartes: l'univers, composé de 32 éléments, est donné
par
{7Ω = ♣;7♦;7♥;7♠;8♣;8♦;......;1♥;1♠}
. On note E l'événement "tirer un carreau". On a donc
( ) ({7 ...... ......p E p R= ♦;8♦;9♦;...; ♦;1♦}) = =
Soit
E
l'événement "tirer une carte autre qu'un carreau", qui est l'événement contraire de E. Alors on
peut directement écrire que
( )
1 ( ) ..................... ......p E p E= − = =
.
•Tirage au hasard d'une carte dans un jeu de 32 cartes: les événements E = "tirer un 7" =
{7♣;7♦;7♥;7♠}
et F = "tirer un 8" =
{8♥;8♠;8♣;8♦}
sont incompatibles; on a ainsi
E F∪
= "tirer un 7 ou un 8" et
( ) ( ) ( ) ................................. ......... .........p E F p E p F∪ = + = = =
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