Résumé : Probabilités discrètes / Variables aléatoires

Mathématiques L3 MIAGE
Résumé : Probabilités discrètes / Variables aléatoires
1 Probabilités discrètes
Probabilité conditionnelle P(B)6= 0 :
P(A|B) = P(A∩B)
P(B).
Probabilités totales B1, ..., Bnpartition de l’univers :
P(A) =
n
X
i=1
P(A∩Bi).
Si P(Bi)6= 0 :
P(A) =
n
X
i=1
P(A|Bi)·P(Bi).
Théorème de Bayes P(A)6= 0 et P(B)6= 0 :
P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A).
Expérience composée Une succession d’expériences aléatoires.
Probabilités composées A1, A2, ..., Antels que P(A1∩A2∩... ∩An)6= 0 :
P(A1∩A2∩... ∩An) = P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)...P(An|A1∩A2...An−1).
Indépendance de Aet B:
P(A∩B) = P(A)·P(B).
Indépendance conditionnelle de Aet Bsachant C:
P((A∩B)|C) = P(A|C)·P(B|C).
Indépendance mutuelle de A1, ...An: Pour tout I⊂ {1, ..., n},
P(\
i∈I
Ai) = Y
i∈I
P(Ai).
2 Variables aléatoires
Variable aléatoire Fonction de Ωdans R.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire Xsur un univers Ω:
Fonction de Rdans [0; 1] définie par f(x) = P(X=x).
Fonction de répartition d’une variable aléatoire Xsur un univers Ω:
Fonction de Rdans [0; 1] définie par F(x) = P(X≤x).
Propriétés Somme des valeurs d’une loi de probabilités vaut 1.
Loi de probabilités et fonction de répartition ont des valeurs dans [0; 1].
Espérance d’une variable aléatoire X:
E[X] =
N
X
i=1
(xi· · · P(X=xi)).