Le produit scalaire et ses applications

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Le produit scalaire et ses
applications
Table des matières
1 Définitions et propriétés 2
1.1 Définition initiale ............................. 2
1.2 Définition dans un repère orthonormal ................. 2
1.3 Définition projective ........................... 3
1.4 Propriétés ................................. 4
1.5 Projection .................................. 5
1.6 Applications ................................ 6
1.6.1 En physique ............................ 6
1.6.2 Lignes de niveau ......................... 8
2 Relations métriques dans un triangle 9
2.1 Relation d’Al Kashi ............................ 9
2.2 Relation des sinus ............................. 11
2.3 Théorème de la médiane ......................... 13
3 Trigonométrie 14
3.1 Formules d’addition ........................... 14
3.2 Formules de duplication ......................... 16
3.3 Formules de linéarisation ........................ 18
PAUL MILAN 17 mai 2011 PREMIÈRE S

21 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
1 Définitions et propriétés
Les trois définitions suivantes sont équivalentes. On pourrait choisir comme
point de départ chacune d’elle.
1.1 Définition initiale
Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~ uet ~ v, le
nombre réel noté ~ u·~ vtel que :
~
u·~ v=1
2||~
u+~ v||2−||~ u||2−||~ v||2
Par convention, on écrira : ~ u·~ u=~ u2.
Exemple : Calculer le produit scalaire −→ AB ·−→ AD pour la figure suivante :
Comme ABCD est un parallélogramme, on a −→ AB +−→ AD =−→ AC donc :
−→
AB ·−→ AD =1
2−→
AC2−−→ AB2−−→ AD2
=1
2(AC2−AB2−AD2)
=1
2(36 −16 −9)
=11
2
1.2 Définition dans un repère orthonormal
Définition 2 : Dans un repère orthonormal (O,~ ı,~ ), le produit scalaire de
deux vecteurs ~ uet ~ vde coordonnées respectives (x;y)et (x0;y0)est égal à :
~
u·~ v=xx0+yy0
On peut aussi utiliser la notation matricielle :
x
y·x0 y0=xx0+yy0
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1.3 DÉFINITION PROJECTIVE 3
Montrons que cette définition est équivalente à la définition initiale.
On rappelle que si un vecteur ~ ua pour coordonnées (x;y)alors :
||~ u||2=x2+y2
On a alors :
~
u·~ v=1
2||−−→
u+v||2−||~ u||2−||~ v||2
=1
2h(x+x0)2+ (y+y0)2−(x2+y2)−(x02+y02)i
=1
2(x2+2xx0+x02+y2+2yy0+y02−x2−y2−x02−y02)
=1
2(2xx0+2yy0)
=xx0+yy0
Exemple : Déterminer le produit scalaire : −→ AB ·−→ AC
−→
AB ·−→ AC =3−2
0−2·−1−2 1−2
=1
−2·−3 −1
=1×(−3) + (−2)×(−1)
=−1
1.3 Définition projective
Définition 3 : Le produit scalaire de deux vecteurs ~ uet ~ vest défini par :
~
u·~ v=||~ u||× ||~ v||× cos(~ u,~ v)
Montrons que cette définition est équivalente à la définition dans un repère
orthonormal.
Prenons un repère orthonormal (O,~ ı,~ )dont le premier vecteur ~ ısoit coli-
néaire et de même sens que le vecteur ~ u. Le vecteur ~ uet ~ vont pour coordonnées
respectives (x;y)et (x0;y0), avec :
(x=||~
u||
y=0et (x0=||~
v||cos(~ u,~ v)
y0=||~ v||sin(~ u,~ v)
On a donc :
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41 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
~
u·~ v=xx0+yy0
=||~ u||× ||~ v||× cos(~ u,~ v)
Cette définition revient à projetter le vecteur ~ vsur le vecteur ~ u.
Exemple : Déterminer le produit scalaire : −→ AB ·−→ AC
−→
AB ·−→ AC =||−→ AB|| × ||−→ AB|| × cos 60˚
=AB ×AC cos 60˚
=3×2×1
2
=3
1.4 Propriétés
Propriété 1 : Nous nous en remettons au lecteur pour montrer les proprié-
tés suivantes :
1 Le produit scalaire est commutatif :
~
u·~ v=~ v·~ u
2 Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition de deux vec-
teurs :
~
u·(~ v+~ w) = ~ u·~ v+~ u·~ m
3 Le produit scalaire est distributif par rapport à la multiplication par un
scalaire :
(a~ u)·(b~ v) = ab ×(~ u·~ v)
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1.5 PROJECTION 5
Propriété 2 : Nous nous en remettons au lecteur pour montrer les pro-
priétés suivantes :
1 Si les vecteurs ~ uet ~ vsont colinéaires et de même sens alors :
~
u·~ v=||~ u||× ||~ v||
2 Si les vecteurs ~ uet ~ vsont colinéaires et de sens contraires alors :
~
u·~ v=−||~ u||× ||~ v||
3 Si les vecteurs ~ uet ~ vsont perpendiculaires alors :
~
u·~ v=0
1.5 Projection
Théorème 1 : Soit deux vecteurs −→ AB et −→ CD. On appelle Ket Hles projec-
tions orthogonales respectives de Cet Dsur la droite AB, on a alors :
−→
AB ·−→ CD =AB ×KH si −→ AB et −→ KH sont de même sens.
−→
AB ·−→ CD =−AB ×KH si −→ AB et −→ KH sont de sens contraires.
On a pour les deux cas les figures suivantes :
Exemple : En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-dessous,
calculer les produits scalaires suivants :
−→
AB +−→ AH·−→ AB et −→ AH +−→ HC·−→ AB
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