Quelques preuves géométriques sur les sin et cos

Quelques preuves géométriques sur les sin et cos
Abdellah Bechata
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Table des matières
1 Figure préliminaire 2
2 Formules d’addition 2
2.1 Formule sin(') =  .......................................... 2
2.2 Formule cos(') =  ......................................... 3
2.3 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Formules d’addition 5
3.1 Deux limites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Dérivabilité de sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Et la suite ? 6
Résumé
L’objectif de cet article est de montrer, par des arguments géométriques, les formules d’addition de cos;sin
ainsi que les limites lim
x!0
sin x
x= 1 et lim
x!0
1cos x
x= 0 puis nous obtenons la dérivabilité des fonctions sin et
cos et le calcul de leurs dérivées respectives.
1

***** 2 FORMULES D’ADDITION
1 Figure préliminaire
2 Formules d’addition
On suppose intuitive la notion d’angle (non orienté) ainsi que la dé…nition géométrique du sinus et du cosinus
d’un angle aigu non orienté, i.e. appartenant à h0;
2i:
On …xe deux angles et 'appartenant à h0;
2h. On considère deux triangles OAB, rectangle en A; et OCD;
rectangle en C; avec OB =OD. On note Hle projeté orthogonal de Dsur la droite OB: Par construction, le
triangle OHD est rectangle en Het considérons le point Kintersection des droites (CD)et (OB). Puisque le
triangle OCK est rectangle en Cet que \ COK =; il est immédiat que \ OKC =
2: Par les angles alterne-interne,
on a \ HKD =\ OKC =
2et le triangle HKD étant rectangle en K; on obtient \
HDK =
2.1 Formule sin(') = 
Evaluons de deux façons di¤érentes, la longueur DH
Première méthode : Dans le triangle rectangle OHD; on a
sin \ HOD =DH
OD ,DH =OD sin \
HOD ,()DH =OD sin(')
Deuxième méthode : Dans le triangle rectangle DHK, on a
cos \ KDH =DH
DK ,DH =DK cos \
KDH =DK cos 
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***** 2 FORMULES D’ADDITION
Puisque Kappartient au segment [CD];on a
DK =CD CK
donc
DH =CD cos CK cos 
Dans le triangle rectangle OCD; on a
sin \ COD =CD
OD ,CD =OD sin \
COD =OD sin '
Dans le triangle rectangle OCK; on a
sin \ COK =CK
OK ,CK =OK sin \
COK =OK sin 
Les trois égalités précédentes nous donnent
DH =OD sin 'cos OK sin cos 
En considérant successivement les triangles rectangles OCK et OCD; on a
cos \ COK =OC
OK ,OC =OK cos \
COK =OK cos 
cos \ COD =OC
OD ,OC =OD cos \
COD =OD cos '
9
>
=
>
;)OK cos =OD cos '
Par conséquent, on a
DH =OD sin 'cos (OK cos ) sin ,()DH =OD (sin 'cos cos 'sin )
Les égalités ()et ()montrent que
sin(') = sin 'cos cos 'sin 
Cette formule est valable pour deux angles et 'appartenant à h0;
2het elle reste vrai lorsque l’un des deux (ou
les deux) sont égaux à 
2puisque
cos 0 = sin 
2= 1 et cos  2= sin 0 = 0:
2.2 Formule cos(') = 
Evaluons de deux façons di¤érentes, la longueur OH
Première méthode : Dans le triangle rectangle OHD; on a
cos \ HOD =OH
OD ,OH =OD cos \
HOD ,(0)OH =OD cos(')
Deuxième méthode : Puisque Kappartient au segment [OH];on a
OH =OK +KH
Dans le triangle rectangle DHK, on a
sin \ KDH =KH
DK ,KH =DK sin \
KDH =DK sin 
Dans le triangle rectangle OCK; on a
cos \ COK =OC
OK ,OK =OC
cos \ COK =OC
cos 
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***** 2 FORMULES D’ADDITION
Les trois égalités précédentes nous donnent
OH =OC
cos +DK sin 
Dans le triangle rectangle OCD; on a
cos \ COD =OC
OD ,OC =OD cos \
COD =OD cos '
et, dans la preuve de la formule d’addition du sinus, on a montré que
DK cos =DH =OD sin(') = OD (sin 'cos cos 'sin )
Par conséquent, on a
OH =OD cos '
cos +OD (sin 'cos cos 'sin ) cos sin =OD cos cos '+ sin 'sin cos cos 'sin2
=OD
cos 1sin2cos '+ sin 'sin cos =OD cos cos2cos '+ sin 'sin cos 
(0) : OH =OD [cos cos '+ sin sin ']
DH =OD sin 'cos (OK cos ) sin ,()DH =OD (sin 'cos cos 'sin )
Les égalités (0)et (0)montrent que
cos(') = cos cos '+ sin sin '
Cette formule est valable pour deux angles et 'appartenant à h0;
2het elle reste vrai lorsque l’un des deux (ou
les deux) sont égaux à 
2puisque
cos 0 = sin 
2= 1 et cos  2= sin 0 = 0:
2.3 Formules d’addition
A l’aide des deux partie précédentes, nous avons montré quedans les formules
sin(') = sin 'cos cos 'sin 
cos(') = cos cos '+ sin sin '
étaient vraies quels que soient 'et appartenant à h0;
2i:
Si l’on remplace '2h0;
4ipar  2'2h 4; 2iavec la condition 2h0; 4i;et, en utilisant la formule
sin 
2x= cos xet cos  2x= sin x(qui sont évidentes géométriquement en constatant que  2xest
l’angle « complémentaire» à xdans le triangle rectangle donc les côtés adjacent et opposé sont échangés), on
obtient
cos 
2'= cos  2'cos + sin  2'sin 
,cos 
2('+)= sin 'cos + cos 'sin ,sin ('+) = cos 'cos + sin 'sin 
sin 
2'= sin  2'cos cos  2'sin 
,sin 
2('+)= cos 'cos sin 'sin ,cos ('+) = cos 'cos sin 'sin 
ainsi les formules
cos ('+) = cos 'cos sin 'sin 
sin ('+) = cos 'cos + sin 'sin 
sont vraies quels que soient 'et appartenant à h0;
4i. A ce niveau, on ne peut faire mieux car on ne sait calculer
que les sinus et cosinus d’angle compris entre 0et 
2(donc '+ne peut excéder  2:
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***** 3 FORMULES D’ADDITION
3 Formules d’addition
3.1 Deux limites remarquables
On reprend la …gure préliminaire. Le triangle rectangle OBA est contenu dans la portion de cercle délimité
par O; B et U; qui lui même est contenu dans le triangle rectangle OUV:
– L’aire du triangle rectangle OBA vaut 1
2(OB cos )(OB sin ) = 1 2OB2sin cos 
– L’aire de la portion de cercle délimité par O; B et Uvaut 1
2OB2
– L’aire du triangle OUV vaut 1
2OB OB cos =1 2
OB2
cos (OU =OB par construction et, d’après Thaslès dans
le triangle OUV , on a UV
AB =OU OA ,UV =AB OB OA =sin OB OB OB cos = (tan )OB)
Par conséquent, la comparaison des aires nous donne l’encadrement suivant valable pour tout angle 2i0;
2h;
1
2OB2sin cos 6OB2 261 2sin  cos OB2,sin cos 66sin  cos 
,sin 6
cos 6sin  cos ,16 sin 61 cos 
Remarquons que la majoration sin cos 6nous fournit les équivalences suivantes (en n’oubliant pas qu’ici un
sinus est toujours positif)
82h0;
4i;061 2sin(2)6,06sin(2)62, 82h0; 2i;06sin 6
et lorsque !0;il est évident que sin !1donc cos =p1sin2!0(un cosinus est toujours positif ici).
Ainsi, l’encadrement 16
sin 61 cos montre que lim
!0
sin = 1:
En outre, on a également
1cos 
=
1cos 2
2
=
12 cos2
21
=
21cos2
2
=
2 sin2
2
= 20
B
@
sin 
2
2
1
C
A
2
!
!001 = 0
3.2 Dérivabilité de sinus et cosinus
Justi…ons maintenant la dérivabilité de sinus et cosinus. Pour tout '2h0;
2het pour tout 2i0; 2htel que
'+6
2,6 2';
on a
cos('+)cos '
=cos 'cos sin 'sin cos ' = cos 'cos 1 sin 'sin  !
!0sin '
sin('+)sin '
=sin 'cos + cos 'sin sin ' = sin 'cos 1 + cos 'sin  !
!0cos '
Nous avons donc montré que cos et sin sont dérivables sur h0;
2het que leurs dérivées respectives sont sin et
cos :Je laisse le lecteur véri…er que cette assertion s’étend en 
2(attention, il s’agit de dérivée gauche car ces
fonctions trigonométriques ne sont dé…nies que sur h0;
2i)
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