Les nombres complexes I) Présentation des nombres complexes 1) Définition Un nombre complexe est un nombre de la forme : z = a + ib où a et b sont des nombres réels et i2 = – 1. a est la partie réelle et b est la partie imaginaire. Remarque : a + ib est la forme algébrique de z. 2) Représentation graphique Dans le plan muni d’un repère, le nombre complexe z = a + ib est représenté par le point M de coordonnées −−→ (a, b) ou par le vecteur OM : On dit que M est l’image de z ou que z est l’affixe de M. 3) Egalité Deux nombres complexes z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 sont égaux s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : z1 = z2 alors a1 = a2 et b1 = b2 En particulier : si z = a + ib = 0 , alors a = b = 0 4) Conjugué Si z = a + ib , le nombre a – ib est appelé conjugué de z et est noté z . z = a + ib ⇐⇒ z = a – ib II) Opérations On admet que les règles de calcul pour l’addition et la multiplication des nombres complexes sont les mêmes que pour les nombres réels (en utilisant i2 = – 1). 1) Somme Si z = a + ib et z0 = a’ + ib’, alors z + z0 = (a + a’) + i(b + b’). 2) Produit Si z = a + ib et z0 = a’ + ib’, alors z.z0 = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’). 3) Inverse et quotient L’inverse d’un nombre complexe z, noté 1 , peut être mis sous la forme a + ib en utilisant le conjugué : z 1 z = z zz Il en est de même pour le quotient de deux nombres complexes z et z’ (z’ non nul) : z zz0 = z0 z0 z0 III) Forme trigonométrique 1) Module − − Dans un plan de repère (O, → u ,→ v ), , soit un point M et son affixe z = a + ib . p −−→ −−→ La norme du vecteur OM est :∥ OM ∥ = OM = a2 + b2 On appelle module de z le nombre réel positif : |z| = p a2 + b2 Le module peut aussi être désigné par les lettres ρ ou r. On remarque que : zz = (a + ib)(a – ib) = a2 + b2 d’où zz = |z|2 2) Argument On appelle argument de z, pour z 6= 0 , et on note arg z, une mesure à 2kπ près de l’angle θ . a b arg z = θ , avec cos θ = et sin θ = ρ ρ Remarques - Le nombre z = 0 n’a pas d’argument car θ n’est pas défini. - Le tableau ci-dessous donne les valeurs trigonométriques exactes des angles remarquables. 3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe La forme trigonométrique d’un nombre complexe est : z = ρ(cos θ + i sin θ) . i est le nombre complexe de module 1 et d’argument π π ; i = [1 ; ] 2 2 4) Opération et forme trigonométrique (z 6= 0 et z0 6= 0) a) Produit z.z0 = ρρ 0 (cos(θ + θ’) + i sin(θ + θ’)) Ce qui peut s’écrire : |zz’| = |z|.|z’| et arg(z.z’) = arg(z) + arg(z’) ou encore : [ρ ; θ] × [ρ’ ; θ’] = [ρ × ρ’ ; θ + θ’] Remarque : Quand on multiplie un nombre z = [ρ ; θ] par i, – 1 ou – i on obtient respectivement : π - [ρ ; θ + ] 2 - [ρ ; θ + π] π - [ρ ; θ – ] 2 b) Conjugué z = ρ (cos θ – i sin θ) = ρ (cos(−θ) + i sin(−θ)) Ce qui peut s’écrire : |z| = |z| et arg z = – arg z ou encore z = [ρ ; – θ] c) Inverse 1 z z ρ(cos θ − j sin θ) 1 = = 2= = (cos θ − j sin θ) z zz |z| ρ ρ2 1 1 Ce qui peut s’écrire : = [ ; – θ] z ρ d) Quotient z 1 ρ = [ρ ; θ] × [ 0 ; –θ’] = [ 0 ; θ – θ’] 0 z ρ ρ 5) Formule de Moivre (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ 6) Formules d’Euler Par définition : ei θ = cos θ + i sinθ ; On appelle forme exponentielle du nombre z = [ρ ; θ] la forme suivante : z = ρ.eiθ D’autre part on en déduit les expressions de sinθ et cosθ cosθ = eθ + e−θ eθ − e−θ et sinθ = 2 2i
