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Les nombres complexes
I) Présentation des nombres complexes
1) Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme :
z = a + ib où a et b sont des nombres réels et i2= – 1.
a est la partie réelle et b est la partie imaginaire.
Remarque : a + ib est la forme algébrique de z.
2) Représentation graphique
Dans le plan muni d’un repère, le nombre complexe z = a + ib est représenté par le point M de coordonnées
(a, b) ou par le vecteur −−→ OM :
On dit que M est l’image de z ou que z est l’affixe de M.
3) Egalité
Deux nombres complexes z1=a1+ib1et z2=a2+ib2sont égaux s’ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire :
z1=z2alors a1=a2et b1=b2
En particulier : si z= a + ib = 0 , alors a = b = 0
4) Conjugué
Si z= a + ib , le nombre a – ib est appelé conjugué de zet est noté z.
z= a + ib ⇐⇒ z= a – ib
II) Opérations
On admet que les règles de calcul pour l’addition et la multiplication des nombres complexes sont les
mêmes que pour les nombres réels (en utilisant i2= – 1).

1) Somme
Si z= a + ib et z0= a’ + ib’, alors z+z0= (a + a’) + i(b + b’).
2) Produit
Si z= a + ib et z0= a’ + ib’, alors z.z0= (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’).
3) Inverse et quotient
L’inverse d’un nombre complexe z, noté 1
z, peut être mis sous la forme a + ib en utilisant le conjugué :
1
z=z zz
Il en est de même pour le quotient de deux nombres complexes z et z’ (z’ non nul) :
z
z0=zz0
z0z0
III) Forme trigonométrique
1) Module
Dans un plan de repère (O, −→ u,−→ v), , soit un point M et son affixe z= a + ib .
La norme du vecteur −−→ OM est :∥−−→ OM ∥= OM = pa2+b2
On appelle module de z le nombre réel positif : |z| = pa2+b2
Le module peut aussi être désigné par les lettres ρou r.
On remarque que : zz = (a + ib)(a – ib) = a2+ b2d’où zz = |z|2
2) Argument
On appelle argument de z, pour z 6= 0 , et on note arg z, une mesure à 2kπprès de l’angle θ.
arg z=θ, avec cosθ=a
ρet sinθ=b ρ
Remarques

- Le nombre z = 0 n’a pas d’argument car θn’est pas défini.
- Le tableau ci-dessous donne les valeurs trigonométriques exactes des angles remarquables.
3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe
La forme trigonométrique d’un nombre complexe est :
z=ρ(cosθ+isinθ) .
i est le nombre complexe de module 1 et d’argument π
2; i = [1; π 2]

4) Opération et forme trigonométrique (z 6=0 et z06=0)
a) Produit
z.z0=ρρ0(cos(θ+θ’) + isin(θ+θ’))
Ce qui peut s’écrire : |zz’| = |z|.|z’| et arg(z.z’) = arg(z) + arg(z’)
ou encore : [ρ;θ]×[ρ’; θ’] = [ρ×ρ’ ; θ+θ’]
Remarque : Quand on multiplie un nombre z = [ρ;θ] par i, – 1 ou – i on obtient respectivement :
- [ρ;θ+π
2]
- [ρ;θ+π]
- [ρ;θ–π
2]
b) Conjugué
z=ρ(cosθ– i sinθ) = ρ(cos(−θ) + i sin(−θ))
Ce qui peut s’écrire : |z|=|z| et arg z= – arg z
ou encore z= [ρ; – θ]
c) Inverse
1
z=z zz =z
|z|2=ρ(cosθ−jsinθ) ρ2=1
ρ(cosθ−jsinθ)
Ce qui peut s’écrire : 1
z= [ 1 ρ; – θ]
d) Quotient
z
z0= [ρ;θ]×[1 ρ0; –θ’] = [ ρ ρ0;θ–θ’]
5) Formule de Moivre
(cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ
6) Formules d’Euler
Par définition : eiθ= cos θ+ i sinθ;
On appelle forme exponentielle du nombre z = [ρ;θ] la forme suivante :
z = ρ.eiθ
D’autre part on en déduit les expressions de sinθet cosθ
cosθ=eθ+e−θ
2et sinθ=eθ−e−θ 2i