EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 1h30 Questions Obligatoires 1. Soit f la fonction numérique définie sur IR \ 1 par f x x3 , x 1 alors : (A) f est continue sur , 1 (B) Pour tout x IR \ 1 f x (C) 2 x 1 2 lim f x 1 x (D) f est décroissante sur 1, (E) L’équation f x 0 admet une unique solution dans IR \ 1 4e x 2. Soit f et g les fonctions définies sur IR par f x 1 2 x et g x e2 x 1 , alors : e 1 (A) Pour tout x , 0 , g x 0 (B) (C) (D) (E) Pour tout x 0, , f x 0 f est décroissante sur , 0 lim f x 1 x lim f x lim f x x x 3. Soit pour tout x de IR , f x 1 cos 2 x g x sin 2 x alors : (B) f 2 2 Pour tout x de IR , f ' x sin 2 x (C) Pour tout x de IR , f ' x 2 g x (A) (D) (E) 3o avril 2016 g x 1 x2 f x lim 2 2 x 0 x lim x 0 Page 1 sur 5 4. Soit f la fonction numérique définie sur 1, par f x ln 2 x 1 x , alors : (A) f 1 0 1 x x (C) f est strictement décroissante sur 1, (B) Pour tout x 1, (D) f x lim f x x (E) Il existe un unique a 1, , a ln 2a 1 5. Soit f une fonction deux fois dérivable sur 2,3 telle que f 0 1 et dont la dérivée f a pour tableau de variations : x -2 -1 0 f -2 Alors : 0 1 1 3 0 0 1, 0 f est croissante sur 1,3 Pour tout x 0,3 , f x 1 (A) f est croissante sur (B) (C) (D) Pour tout x et x tels que (E) 6. 2 x x 0, f x f x f 2 1 Soit a, b, c et d quatre entiers naturels non nuls. On a : a a (A) b bc c a ac b (B) c bd d ab a (C) d b d ab a (D) b c c a c ac (E) b d bd 3o avril 2016 Page 2 sur 5 Questions à choisir 7. Soit D 0,1 1, et f : D IR définie par f x 1 . x ln x Alors : (A) f est continue sur 0,1 (B) lim f x x 0 x 0 (C) Sur 1, , une primitive F de f est : F x (D) f admet une primitive sur 0,1 (E) 1 ln 2 x f x dx ln 2 4 2 8. Soit f la fonction définie sur , par : f x x 2 si x , 0 f x x 2 si x 0, . Alors : (A) f est continue sur , (B) f est dérivable sur , (C) La valeur moyenne de f sur , est (D) 0 0 (A) (B) (C) 3o avril 2016 f x dx 4 1 t2 et I f t dt on a : 0 t 1 I 1 1 1 I 1 dt 0 t 1 I 1 ln 2 1 k 1 k 1 / n f k / n f t dt n n 1 1 1 2 1 3 1 4 1 n n f n n f n n f n n f n ... n f n I (D) Pour tout n IN et k 0,1, 2,..., n 1 (E) f x dx f x dx (E) La valeur moyenne de f sur , est 9. Soit f t 1 2 1 n k f n Page 3 sur 5 10. Soit z et z’ les deux nombres complexes z 3 i et z 1 i z (A) (B) (C) (D) (E) 11. z 3 1 i 3 1 5 i 6 z 2e z 2 z z 2 2 cos i sin 12 12 3 1 cos 12 2 2 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O, i , j , k , on considère les points P 3; 1;5 Q 2;2;3 R 1; 2;4 et S 5;8;4 . (A) PQ et PR sont colinéaires (B) Les points P, Q et R sont alignés (C) Le triangle PQR est isocèle en R (D) Les plans PQR et PQS sont confondus (E) 12. PS 3PR 2PQ Soit f la fonction définie sur 0,3 par f x sur 0,3 dont la loi de probabilité a pour densité f. (A) f x dx 1 (B) P X 2 (C) P X 2 1 f x dx 3 0 7 36 2 0 (D) P 1 X 2 P X 2 (E) P X 1 P X 2 3o avril 2016 1 1 x . On note X la variable aléatoire 9 6 Page 4 sur 5 13. Dans un restaurant sans réservation, on modélise le temps d’attente en minutes pour obtenir une table par une variable aléatoire X. X suit une loi exponentielle de paramètre . Une étude statistique a montré que le temps moyen d’attente est de 10 mn. (A) (B) 10 1 10 x 20 1 10 e dx (C) La probabilité qu’un client attende entre 10 et 20 mn est 10 10 20 (D) La probabilité qu’un client attende plus de 20 mn est 1 10 e 10 x dx 0 (E) Un client attend depuis 10mn. La probabilité qu’il doive attendre encore au moins 20mn est égale à la probabilité qu’il attende plus de 20mn 14. On considère l’algorithme suivant dans lequel rand (1,7) donne un nombre entier aléatoire entre 1 et 7. Variables i , j, k entiers naturels Initialisation i 1, k 0 Traitement Tant que i 6 j rand 1, 7 Si j 4 alors k k 1 Fin Si i i 1 Fin Tant que Afficher k Sortie (A) k est affiché lorsque j a été affecté 6 fois (B) La valeur affichée de k est un entier inférieur à 4 4 (C) La probabilité que k 0 est égale à 7 4 3 (D) La probabilité que k 3 est égale à 4 7 7 3 (E) La probabilité que k 4 est égale à 7 3o avril 2016 4 5 Page 5 sur 5 CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE l'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A V V V V F V V V V V F V F F B F V F V V F F F V F F F V F C V V V V V F F V V V V F V F D V V V V V F V V V V V V F F E V V V V V F V V V V V F F V