TS3 nom:................ le 8/02/2017 DS ( 1h) Exercice 1: (3,5 points

TS3 nom:................ le 8/02/2017
DS ( 1h)
Exercice 1: (3,5 points)
Résoudre dans
ℝ
: a)
e2x+4
e−x+7⩾e
b)
e2x+5ex−6=0
Exercice 2: (7,5 pts)
Partie A
Soit
g
définie sur
ℝ
par :
g
(
x
)
=
(
2x+1
)
e2x−2
1°) Étudier les limites de g en
−∞
et en
+∞
.
2°) a) Calculer la dérivée de g puis tracer son tableau de variations complet.
b) Justifier que l'équation
g
(
x
)
=0
admet sur
ℝ
une unique solution
α
.
c) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de
α
d' amplitude
10−2
.
d) Donner le tableau de signe de la fonction
g
.
3°)Soit
G
(
x
)
=xe2x−2x
définie sur
ℝ
. Justifier que G est une primitive de
g
.
Exercice 3: ( 9 points)
Une épidémie touche 20% d'une population. Un test de dépistage de la maladie a été mis
au point mais il n'est pas parfait. On suppose que toute la population est testée :
•Si un individu est touché par la maladie le test est négatif dans 0,5% des cas.
•Si un individu n'est pas touché par la maladie, le test est positif dans 2% des cas.
On choisit une personne au hasard dans la population et on note :
M l’événement la personne est atteinte par le virus.
P l’événement : le test est positif.
1°) Donner
pM
(
P
)
.
2°) Calculer la probabilité que la personne soit malade et ait un test négatif.
3°) Représenter cette situation par un arbre pondéré.
4°) On décide de donner un traitement à tous les individus ayant un test positif.
a) Montrer que la probabilité qu'une personne reçoive le traitement est 0,215.
b) Calculer la probabilité qu'un personne reçoive le traitement à tort ?
5°) On prélève un échantillon de 20 personnes, ce tirage est assimilé à un tirage avec
remise. On note X le nombre de personnes ayant reçu un traitement dans cet échantillon.
a) Quelle est la loi de X ? ( justifier)
b) Calculer la probabilité pour qu'au moins une de ces personnes ait reçu un traitement.
c) Calculer la probabilité pour qu'exactement 5 personnes aient reçu le traitement.
d) Calculer l’espérance de X et interpréter cette valeur.

correction :
Exercice 1 :
a)
e2x+4
e−x+7=e2x+4−
(
−x+7
)
=e3x−3
donc l'inéquation équivaut à
e3x−3⩾e1
⇔
3x−3⩾1
⇔x⩾4
3
S=
[
4
3;+∞
[
b) On pose
X=ex
alors
e2x=X2
et l'équation équivaut à :
X2+5X−6=0
Δ=52−4×
(
−6
)
=49=72
donc deux racines pour le trinôme :
X1=−5+7
2=1
et
X2=−5−7
2=−6
soit
ex=1
⇔
x=0
ou
ex=−6
( impossible car pour tout
x
,
ex>0
) donc S={0}
Exercice 2 :
1°) En -
∞
:
g
(
x
)
=
2xe2x+e2x−2
par croissance comparée
lim
X→−∞
XeX=0
donc
lim
x→−∞
2xe2x=0
lim
X→−∞
eX=0
donc
lim
x→−∞
e2x=0
. Enfin par somme
lim
x→−∞
f
(
x
)
=−2
En +
∞
:
lim
X→+∞
eX=+∞
donc
lim
x→+∞
e2x=+∞
lim
x→+∞
2x+1=+∞
donc
lim
x→+∞
(
2x+1
)
e2x=+∞
. Enfin par somme
lim
x→+∞
f
(
x
)
=+∞
2°) a)
g'
(
x
)
=2e2x+
(
2x+1
)
×2e2x=
(
4x+4
)
e2x
Pour tout réel
x
e2x>0
donc
g'
(
x
)
est du signe de
4x+4
:
4x+4>0
⇔
x>−1
et
g
(
−1
)
=−e−2−2
x
−∞
-1
+∞
signe de g'
−
+
-2 +
∞
g
−e−2−2
b) *sur ]-
∞
;-1] g est majorée par -2 donc l'équation
g
(
x
)
=0
n'admet pas de solution.
*sur [-1;+
∞
[ : g est continue strictement croissante et 0 est compris entre
g
(
−1
)
et
lim
x→+∞
f
(
x
)
donc d'après le TVI l'équation
g
(
x
)
admet une unique solution
α
.
En conclusion l'équation
g
(
x
)
=0
admet une unique solution sur
ℝ
.
d)
x
-
∞
α
-
∞
g
(
x
)
- 0 +
3°) Il suffit de dériver G : G est dérivable sur
ℝ
, et pour tout réel
x
,
G'
(
x
)
=1×e2x+x×
(
2e2x
)
−2=e2x+2xe2x−2=
(
1+2x
)
e2x−2=g
(
x
)
donc G est bien
une primitive de
g
.

Exercice 3 :
1°)
PM
(
P
)
est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade. le
pourcentage associé est
100−0 ,5=99,5
soit une probabilité
PM
(
P
)
=0,995
2°)
P
(
M∩P
)
=P
(
M
)
PM
(
P
)
=0,2×0,005=0,001
3°)
4°)a) M et
M
forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités
totales :
P
(
P
)
=P
(
M
)
PM
(
P
)
+P
(
M
)
PM=0,2×0,995+0,8×0,02=0,215
b) Attention ici à l'interprétation de l'énoncé , la phrase sous entend que la personne a reçu
un traitement ( le test est donc positif), on veut donc connaître la probabilité que ce
traitement ait été administré à tort (la personne n'est donc pas malade) :
PP ( M ) =P
(
M∩P
)
P
(
P
)
=0,8×0,02
0,215 ≈0,0744
5°) a) Quand on choisit une personne au hasard il y a deux issues possibles, c'est donc une
épreuve de Bernoulli dont l’événement succès est : « la personne a reçu un traitement » .
Le choix des 20 personnes s'effectue de manière identique et indépendante ( tirage avec
remise) donc X suit une loi binomiale de paramètres
n=20
et
p=0,214
.
b)
P
(
X⩾1
)
=1−P
(
X=0
)
=1−
(
1−0,214
)
20≈0,9921
c) A l'aide de la calculatrice
P
(
X=5
)
≈0,18866
d)
E
(
X
)
=n p=20×0,215=4 ,3
interprétation : si on répète un grand nombre de fois
l'expérience, il y aura en moyenne 4,3 personnes sur 20 qui auront reçu le traitement.