Probabilité – Corrigé des Annales Polynésie septembre 2009 TS –2010 Métropole septembre 2006 1|4 x x 1 82 82 u ' ( x) e e ; les fonctions u et v a) On pose : d’où u ( x) 82 v' ( x) 1 v( x) x sont dérivables sur [0 ; + [ et leurs dérivées sont continues sur [0 ; + [. Par la formule de l’intégration par parties, on obtient : x x A I(A) = [–x e 82 ] 0A – A x A A e 82 dx = –A e 82 + 0 – [82 e 82 ] 0A = – – 82 e 82 + 82 A 0 e 82 b) Centres étrangers juin 2003 1) : x 100 a) p(50 D 100) = x 1 82 e dx = [– e 82 ] 100 50 = – e 82 50 x 82 300 0 e 50 + e 82 1 e dx = 1 – [– e 82 b) p(D 300) = 1 – p(D 300) = 1 – 300 82 100 82 x 82 0,248 ] 300 0 =1+ 350 (D 350 25) = p D p( D 375) p( D 350) A =– 82 A + = e e 350 (D 375 82 350 82 =e 375) = 375 82 p((D 350 375) ( D 350)) = p( D 350) 25 e 82 = e 82 0,737. A et lim ex = 0 d’où lim e 82 = 0 (th. de limite de fonctions composées) x Par ailleurs, on a : – A A e 82 300 82 –1= e 0,026 2) On recherche la probabilité conditionnelle : pD lim Or lim A =+ 82 A A A x = 82 82 et 82 est de la forme x . A A e e 82 e 82 A x et lim x = 0 (th. de croissance comparée) d’où lim 82 =0 A e 82 e A + x + A + On en déduit que lim I(A) = 82 (théorème de limites de somme et de produit) A + Remarque : On a démontré, dans ce cas particulier de variable aléatoire D suivant la loi exponentielle de paramètre Remarque : On peut directement calculer cette probabilité conditionnelle car la variable aléatoire D suit aussi une loi de durée de vie sans vieillissement. On a alors : p D 350 (D 350 25) = p(D 25) = e 25 82 . + = 1 , que le résultat de son espérance mathématique 82 1 (ici distance moyenne parcourue sans incident) est égale à 4) d 3) = 82. x x d d 1 82 a) p(D d) = 1 – p(D< d) = 1 – e dx = 1 – [– e 82 ] 0d = 1 + e 82 – 1 = e 82 82 0 On répète N0 fois l’expérience de faire voyager un car, chacun ayant la probabilité, de ne pas subir d’incident après avoir parcouru d Km, égale à e d 82 =e d 2|4 Donc Xd suit la loi binomiale de paramètres N0 et e d . b) Le nombre moyen d’autocars ayant subi aucun incident après avoir parcouru d Km est égal à l’espérance mathématique de Xd : E(Xd) = N0 e N0 e d 82 d = . Nouvelle-Calédonie décembre 2008 3|4 Nouvelle-Calédonie mars 2005 4|4