ah - fonctions affines par intervalles

AH - FONCTIONS AFFINES PAR
INTERVALLES
Définition On appelle fonction affine par intervalles une fonction fdéfinie et continue sur
Rpour laquelle il existe une subdivision
a1< a2<···< an
telle que fsoit linéaire affine sur chaque intervalle de Rcréé par les points de la subdivision.
Si fest affine par intervalles, une subdivision de Rsera dite adaptée àf, si fest linéaire affine
sur chaque intervalle défini par la subdivision.
Si le seul intervalle obtenu est R, la fonction fest affine sur R, et donc dérivable sur R. Sinon, fest
linéaire affine sur les intervalles ]−∞, a1],[an,+∞[et, pour icompris entre 1et n, sur [ai, ai+1 ].
Une telle fonction est donc dérivable sauf éventuellement aux points a1,...,an. Les points où fn’est
pas dérivable seront appelés les pointes de la fonction f.
On remarquera que si l’on a une subdivision adaptée à f, on en obtiendra une autre en ajoutant
d’autres points à la subdivision initiale.
Proposition 1 L’ensemble Ades fonctions affines par intervalles est un espace-vectoriel sur R
et un treillis pour la relation d’ordre usuelle.
•On montre que Aest un sous-espace vectoriel de l’espace C(R)des fonctions continues sur R.
Soit λet µdeux nombres réels. Si fet gsont affines par intervalles. Soit Afet Agdes subdivisions
adaptées à fet grespectivement. Alors Af∪Agest une subdivision adaptée à la fois à fet à g, et sur
chaque intervalle de la subdivision, fet gsont affines, donc λf +µg également.
•Soit un intervalle Isur lequel fet gsont toutes deux affines, il y a trois possibilités
1) Pour tout xde I, on a f(x)≤g(x)alors
sup(f(x), g(x)) = f(x).
2) Pour tout xde I, on a f(x)≥g(x)alors
sup(f(x), g(x)) = g(x).

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3) L’équation f(x) = g(x)a une solution αdans Iqui n’est pas une des extrémités de l’intervalle.
Alors la solution est unique, et l’on a, pour tout xde I, ou bien
sup(f(x), g(x)) = f(x)si x≤α
g(x)si x≥α
ou bien
sup(f(x), g(x)) = g(x)si x≤α
f(x)si x≥α
Donc sup(f, g)est affine par intervalles sur I. Il en résulte qu’elle est affine par intervalle sur R. (On
rajoute au plus un point dans chaque intervalle de la subdivision initiale).
Si fest une fonction définie sur R, on notera ˇ f, la fonction définie par
ˇ
f(x) = f(−x).
Si aappartient à R, soit χala fonction définie par
χa(x) = |x−a|.
Cette fonction appartient à Aet admet une pointe en auniquement.
Proposition 2 Soit a1,...,andes nombres réels deux à deux distincts. La famille
(Id,1, χa1,...,χan)est une famille libre de A.
On peut supposer les aiordonnés en croissant. Il est clair que si l’on pose pour tout xréel,
f=γId +δ+
n
X
i=1
βiχai,
avec b1,...,bnnon nuls, on obtient un élément de A, qui présente des pointes en a1, . . . anexactement.
Donc si fest nul, on a nécessairement
β1=···=βn= 0 .
On en déduit
f=γId +δ
d’où l’on déduit que γet δsont nuls. La famille est bien une famille libre.

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Théorème Soit fdans A. Il existe une suite finie strictement croissante a1,...,ande points de
Ret des réels γ, δ, , β1,...,βntels que les βisoient non nuls, et tels que,
f=γId +δ+
n
X
i=1
βiχxi.
Cette décomposition est unique, et les aisont les points de Roù fadmet des pointes.
Le coefficient cest nul si et seulement si la fonction f−ˇ fest constante pour xassez grand.
Le coefficient dest nul si et seulement si la fonction f+ˇ fest linéaire pour xassez grand.
•Unicité Si fadmet une décomposition comme celle donnée dans le théorème, les aisont les pointes
de f. L’unicité résulte alors du fait que la famille (Id,1, χa1,...,χan)est une famille libre de A.
•Existence Nous allons la démontrer par récurrence sur le nombre de pointes de f.
Si fne présente aucune pointe, c’est une application affine et donc
f=γId +δ .
Si fprésente une seule pointe en a, on a
f(x) = υx +νsi x≤a
υ′x+ν′si x≥a
avec de plus
υa +ν=υ′a+ν′.
On vérifie facilement que
f=1
2((υ+υ′) Id +(ν+ν′) + (υ′−υ)χa).
Le théorème est donc vrai dans ce cas.
Supposons le vrai pour une fonction présentant n−1pointes, et soit fprésentant npointes a1,...,an.
On a alors
f(x) = υx +νsi an−1≤x≤an
υ′x+ν′si x≥an
avec υdistinct de υ′. Soit alors la fonction
h=1
2((υ+υ′) Id +(ν+ν′) + (υ′−υ)χan).
D’après ce qui précède, les fonctions fet hcoïncident sur [an−1,+∞[et hne présente pas de pointe
en dehors de cet intervalle. Il en résulte que f−hprésente n−1pointes en a1,...,an−1. En appliquant
l’hypothèse de récurrence à f−h, il existe γ′,δ′,β1,...,βn−1tels que
f−h=γ′Id +δ′+
n−1
X
i=1
βiχxi,

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avec les nombres βinon nuls. Si l’on pose alors
γ=γ′+1
2(υ+υ′), δ =δ′+1 2(ν+ν′), bn=1 2(υ−υ′),
alors, bnest non nul, et
f=γId +δ+
n
X
i=1
βiχxi,
ce qui donne la décomposition à l’ordre n.
•Etudions maintenant les conditions pour que γou dsoient nuls.
Pour xsupérieur à anet à −a1, on a
f(x) = γx +δ+
n
X
i=1
βi(x−ai) et f(−x) = −γx +δ+
n
X
i=1
βi(x+ai).
Donc
f(x)−f(−x) = 2γx + 2
n
X
i=1
(−βiai) et f(x) + f(−x) = 2δ+ 2
n
X
i=1
βix .
On obtient bien que γest nul si et seulement si f−ˇ fest constant pour xassez grand, et que δest nul
si et seulement si f+ˇ fest linéaire pour xassez grand.
Remarque : la démonstration de l’existence de la décomposition donne une méthode pratique pour
décomposer une fonction affine par intervalles.
Exemples 1) La fonction fdéfinie par
f(x) = 
0si x≤0
xsi 0≤x≤1
1si x≥1
,
se décompose sous la forme
f(x) = 1
2(1 + |x| − |x−1|).
2) Autre exemple de décomposition :
inf(1,|x|) = 1
2
|x−1| − |x+ 1|
= 1 + |x| − 1
2(|x−1| − |x+ 1|).
Corollaire L’ensemble de fonctions formé de Id,1, et des fonctions χalorsque aparcourt R,
est une base de A.

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Nous allons donner une autre démonstration du théorème.
Remarquons tout d’abord que si deux éléments de Aont les mêmes pointes a1,...,an, ont des coeffi-
cients directeurs égaux sur chacun des intervalles de la subdivision, et prennent la même valeur en un
point x0de R, alors ils sont égaux.
On se donne une fonction fde Ade coefficients directeurs
p0sur ]−∞, a1], pisur [ai, ai+1 ], pnsur [an,+∞[,
et l’on cherche γ,δ,βitels que fs’écrive
f=γId +δ+
n
X
i=1
βiχxi.
On obtient un système de n+ 2 équations à n+ 2 inconnues.
p0=γ−
n
X
i=1
βi
pj=γ+
j
X
i=1
βi−
n
X
i=j+1
βi(1 ≤j≤n−1)
pn=γ+
n
X
i=1
βi
f(x0) = γx0+δ+
n
X
i=1
βi|x0−ai|
.
Ecrivons le déterminant de ce système :
1 0 −1−1· · · −1−1
1 0 1 −1· · · −1−1
1 0 1 1 · · · −1−1
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..
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1 0 1 1 ··· 1−1
1 0 1 1 ··· 1 1
x01|x0−a1| |x0−a2| · · · |x0−an−1| |x0−an|
.
En développant par rapport à la deuxième colonne on obtient
(−1)n
1−1−1· · · −1−1
1 1 −1· · · −1−1
1 1 1 · · · −1−1
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..
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..
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1 1 1 ··· 1−1
1 1 1 ··· 1 1
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