Récolte 2016

PSI-Pasteur
1
1/32
Mathématiques, oral 2016
Mines-Ponts
1.1
(Paul Béguin)
1. Soit f (x) =
R +∞ e−t
x
t
dt .
(a) Montrer que f est définie et dérivable sur ]0, +∞[ , puis donner expression de f 0 .
(b) Trouver un équivalent de f (x) quand x tend vers 0 , et quand x tend vers +∞ .
(c) Montrer que f est intégrable et déterminer la valeur de
R +∞
0
f (x) dx .
2. Soit E un espace euclidien.
(a) Démonstration de l’inégalité triangulaire, et cas d’égalité.
(b) Soient u et v dans On (E) .
Montrer que si u(x) + v(x) = 2 x alors u(x) = x et v(x) = x .
(c) « Il y avait une troisième question. . . »
1.2
(Caroline Bettinger)
1. Soit f une application de classe C n sur un intervalle I. Montrer que si f s’annule en n
points distincts de I, alors f (n−k) s’annule en au moins k points distincts de I. Que peut-on
en déduire concernant l’équation ex = P (x) où P ∈ R[X] ?
2. Soit E un espace euclidien et s un endomorphisme symétrique de E.
Montrer que s est k-lipschitzienne si et seulement si : ∀ λ ∈ Sp(s) , |λ| 6 k .
1.3
(Arielle Lohat)
1. Soit a < b , α ∈ R , et n ∈ N . Convergence et calcul de
Rb
a (b
− t)α (t − a)n dt .
2. On considère des variables aléatoires indépendantes X1 , . . . , Xn , suivant toutes la même
loi géométrique de paramètre p .
(a) Montrer que min16k6n Xk suit une loi géométrique.
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence)
(b) « Il fallait en déduire une certaine probabilité »
1.4
(Vincent Martin)
n
n+1
1. Soit fn (x) = 3n x2 − x2
.
(a) Étudier la convergence de fn sur [0, 1] .
(b) Comparer
lim
Z 1
n→+∞ 0
fn (x) dx et
Z 1
0
lim fn (x) dx .
n→+∞
2. Pour P ∈ Rn [X] , on pose ϕ(P )(X) = P (6 − X) .
(a) Déterminer les valeurs propres de ϕ .
(b) ϕ est-il diagonalisable ?
PSI-Pasteur
1.5
2/32
Mathématiques, oral 2016
(Cyrat Megriche)
1. Soit f (x) =
R +∞ e−t
x
t
dt .
(a) Montrer que f est définie et dérivable sur ]0, +∞[ , puis donner expression de f 0 .
(b) Trouver un équivalent de f (x) quand x tend vers 0, et quand x tend vers +∞ .
(c) Montrer que f est intégrable et donner une expression de
R +∞
0
f (x) dx .
2. Soit E un espace euclidien, S(E) l’ensemble des endomorphismes symétriques de E, et
S + (E) l’ensemble des endomorphismes symétriques dont les valeurs propres sont toutes
positives.
(a) Soit f ∈ S(E) . Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Im(f ) .
(b) Soit f ∈ S + (E) . Montrer qu’il existe h ∈ S + (E) tel que h2 = f .
(c) Soient f et g dans S + (E) .
Montrer que Ker(f + g) = Ker(f ) ∩ Ker(g) et Im(f + g) = Im(f ) + Im(g) .
1.6
(Pierre Michelet)
1. Soit b et c deux réels strictement positifs, et (an ) une suite de réels, telle que an = o (cn )
P
|x−an |
.
quand n tend vers l’infini. On pose f (x) = +∞
n=0
bn
(a) Trouver une condition sur b pour que f soit définie sur un domaine D non vide.
(b) Étudier la continuité, puis la dérivabilité, de f sur D.
2. Soit H l’ensemble des matrices de Mn (C) de trace nulle, et N l’ensemble des matrices de
Mn (C) nilpotentes .
(a) Ces deux ensembles sont-ils des espaces vectoriels ?
(b) Montrer que l’espace engendré par N est inclus dans H.
(c) L’inclusion ci-dessus est-elle une égalité ?
1.7
(Alban Planchat)
1. Soit A ∈ Mn (R) . On suppose que A est symétrique positive, c’est-à-dire que pour tout
vecteur non nul X ∈ Rn , (t X A X)1,1 > 0 . Soit λm la plus grande valeur propre de A.
Déterminer la limite de la suite définie par B0 = λ1m In et Bp+1 = Bp (2 In − A Bp ) .
2. Donner le développement en série entière de (1 + x)α , puis un équivalent quand n tend vers
l’infini de an = α(α−1)···(α−n+1)
.
n!
1.8
(Floraline Richard)
sin(t)
dt .
n→+∞
t
0
0
2. Soit f et g deux endomorphismes d’un C-espace vectoriel E de dimension finie, tels que
f 2 = g 2 = IdE et f ◦ g + g ◦ f = 0 . Montrer
que !f et g peuvent être représentés, dans
!
I
0
0 In
une base adéquate de E, par n
et
.
0 −In
In 0
1. Montrer que lim n
Z +∞
sin(tn ) dt =
Z +∞
PSI-Pasteur
1.9
3/32
Mathématiques, oral 2016
(Axel Trollé)
!
A A
1. Soit A ∈ Mn (R) et B =
.
On In
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable et 1 ∈
/ Sp(A) .
2. Soit un =
ln(n+1) n
.
ln(n)
(a) Déterminer la limite de un quand n tend vers l’infini.
(b) Quelle est la nature de
1.10
P un −1
n
?
(Jean-Noël Tuccella)
1. Soit f et g deux fonctions continues sur R, avec f ◦ g décroissante.
Montrer que f ◦ g et g ◦ f admettent un unique point fixe.


0
a b


2. a, b, c, étant des complexes non nuls, étudier la diagonalisabilté de 1/a 0 c .
1/b 1/c 0
1.11
(Jeanne d’Albret)
1. Pour n ∈ N , soit pn le nombre de partitions de [[1, n]].
(a) Montrer qu’en posant p0 = 1 on a : ∀ n ∈ N∗ , pn+1 =
P+∞ pn
(b) Montrer que f (x) =
n=0 n!
Pn
k=0
n
k
pk .
xn a un rayon de convergence R > 1 .
(c) Trouver une expression de f (x) sur ] − R, R[ .

a
2. Soit M =

b

.
.
.
b

c ... c
. . . . . . .. 
.

 ∈ Mn (C) , avec b c 6= 0 et b 6= c .
.. ..
. c
.

... b a
a + t
b + t
.
.
.
b + t
c+t
..
.
...
...
..
.
...
c + t .. . pour t ∈ C .
c + t . . . b + t a + t
En déduire le polynôme caractéristique de M .
(a) Calculer
(b) Déterminer les valeurs propres de M . M est-elle diagonalisable ?
2
Centrale 1
2.1
(Floriane Azar)
Pour tout n ∈ N∗ on pose un =
Pn
1
k=1 (n+k)α
.
1. Montrer que un tend vers 0 pour α > 1 .
2. Déterminer la limite de un pour α = 1 .
3. Discuter selon α la nature de la série de terme général un .
PSI-Pasteur
2.2
Mathématiques, oral 2016
4/32
(Tiffany Bec)
1. Donner une condition pour qu’une fonction soit développable en série entière en 0.
2. Soit a ∈ R et f une application dérivable de R dans R vérifiant : ∀ x ∈ R , f 0 (x) = f (ax) .
(a) Montrer que f est de classe C ∞ et donner l’expression de f (n) .
(b) Montrer que f n’est pas développable en série entière si |a| > 1 .
(c) Montrer que f est développable en série entière si |a| 6 1 .
Que dire plus particulièrement lorsque |a| = 1 ?
2.3
(Caroline Bettinger)
!
n
Soit n ∈ N . Pour tout k ∈ [[0, n]] on pose Pk =
X k (1 − X)n−k .
k
1. Montrer que (Pk )06k6n est une base de Rn [X] .
2. Calculer
Pn
k=0
k Pk et
Pn
k=0 k
j
2
Pk .
3. Pour j ∈ [[0, n]] , exprimer X dans la base (Pk )06k6n .
2.4
(Camille Chadian)
sin(α x)
dx .
exp(x) − 1
0
1. Justifier l’existence de cette intégrale.
On pose I(α) =
Z +∞
2. Exprimer I(α) comme somme d’une série.
3. Déterminer un équivalent de I(α) quand α tend vers +∞ .
2.5
(Alexandre Cornic)
1. On réalise N lancers d’une pièce équilibrée. Soit X (resp. Y ) la variable aléatoire donnant
le nombre de "Face" (resp. de "Pile") obtenus.
(a) Rappeler la définition de la covariance.
(b) Calculer Cov(X, Y ). X et Y sont-elles des variables aléatoires indépendantes ?
2. Maintenant N est une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre 1/2 .
(a) Calculer P(X = 0) .
(b) « Il y avait d’autres questions »
2.6
(Jean Cresp)
e−x t
√
On considère F (x) =
dt .
1
1 + t2
1. Déterminer le domaine de définition D de F .
Z +∞
2. Montrer que F est de classe C ∞ sur D.
3. Montrer que F est intégrable sur D.
4. Montrer que F (x) ∼ − ln(x) quand x tend vers 0.
PSI-Pasteur
2.7
5/32
Mathématiques, oral 2016
(Cléo Deroo)
Soit a ∈ R∗ et dn sa n-ième décimale.
P
n
1. Donnez le rayon de convergence de +∞
n=0 dn x .
P
Pn
n
2. Soit bn = k=0 dk dn−k . Donnez le rayon de convergence de +∞
n=0 bn x .
P+∞
Que dire de n=0 bn 10−n ?
P
n
3. Soit f : x 7→ +∞
n=0 dn x .
Montrez que si dn est périodique à partir d’un certain rang, alors f est rationnelle.
2.8
(Sophia Ferrandier)
Soit a ∈ R . Pour n ∈ N∗ et x > 0 on pose fn (x) = na x e−n x .
P
1. Condition nécessaire et suffisante sur a pour que fn converge uniformément sur R∗+ ?
P
2. Condition nécessaire et suffisante sur a pour que fn converge normalement sur R∗+ ?
P
3. Montrer que, pour tout a, fn converge simplement sur R∗+ , et que la somme est continue.
4. « Il y avait une dernière question »
2.9
(Arielle Lohat)
Soit y ∈ Rn , y 6= 0 . On définit f sur Rn par f (x) = ni=0 (yi x − xi y) .
P
1. Montrer que ni=0 yi est valeur propre de f , et donner l’espace propre associé.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur y pour que f soit diagonalisable.




y1 y1 . . . y 1
0 ... 0
0



0 
 y2 y2 . . . y 2 
0 . . . 0




3.  ..
..
..  et  ..
..
.. 
 sont-elles semblables ?
 .
.
.  .
.
. 
P
0 ... 0
yn yn . . . yn
2.10
2.11
i=0
yi
(Cyrat Megriche)
Soit Γ l’arc paramétré par
1.
2.
3.
4.
Pn





x(t) = 1 + cos(t) cos(t)




z(t) = 4 sin
y(t) = 1 + cos(t) sin(t)
t
2
Déterminer les points réguliers de Γ, et le vecteur tangent unitaire en ces points.
Montrer que ce vecteur tangent forme un angle constant avec l’axe (Oz) .
Calculer la longueur de Γ.
Tracer les projetés orthogonaux de Γ sur les plans (O, y, z) , (O, z, x) , (O, x, y) .
(Thomas Perret)
1. Donner la définition d’une fonction génératrice.
2. Donner la loi de Poisson, son espérance, sa variance.
3. Donner la fonction génératrice de la loi de Poisson, et préciser son domaine de définition.
4. Montrer que si X suit une loi de Poisson de paramètre λ , alors P(X > 2λ) 6
5. Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev.
λ
e
4
.
PSI-Pasteur
2.12
Mathématiques, oral 2016
6/32
(Alban Planchat)
Soit f : R3 → R , (x, y, z) 7→ x2 + y 2 et S = f −1 (1) .
1. Déterminer l’intersection de S et du plan d’équation z = 0 . Représenter S.
2. Donner l’équation du plan tangent à S en M0 = (x0 , y0 , z0 ) .
3. Soit g une application de classe C 1 de R3 dans R. On suppose que la restriction de g à S
admet un extremum local en M0 . On définit les deux applications suivantes, où ϕ est un
argument de x0 + i y0 : G1 (t) = g(cos(t + ϕ), sin(t + ϕ), z0 ) et G2 (t) = g(x0 , y0 , z0 + t) .
(a) Montrer que G1 et G2 sont dérivables en 0, et calculer ces dérivées.
(b) Montrer que (x0 , y0 , 0) est colinéaire au gradient de g en M0 .
(c) « Il y avait une dernière question »
2.13
(Vladimir Steiner)
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant toutes deux une loi géométrique
de paramètre p . On note q = 1 − p et T = min(X, Y ) .
1. Calculer P (X 6 x) pour x ∈ N∗ , et P (T 6 t) pour t ∈ N∗ . En déduire la loi de T .
2. Donner E(X) , puis E(1/X) .
3. « Il y avait une troisième question mais il a préféré m’interroger sur la fonction génératrice »
2.14
(Axel Trollé)
Une urne contient n boules numérotées. On y pioche avec remise, jusqu’à obtenir une deuxième
fois une boule déjà tirée. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1. Énoncer la loi des probabilités totales.
2. Déterminer PX>i−1 (X > i) .
Q
3. Montrer que P(X > k) = ki=2 PX>i−1 (X > i) .
4. Calculer P(X > k) .
5. Soit A le numéro de la première boule piochée, et B celui de la seconde.
Déterminer la loi de max(A, B) .
2.15
(Jean-Noël Tuccella)
Soit f ∈ L (R3 ) , et C l’ensemble des g ∈ L (R3 ) tels que g ◦ f = f ◦ g .
1. Montrer que C est un espace vectoriel.
2. On suppose que f possède 3 valeurs propres distinctes. Déterminer la dimension de C.
3. On suppose que f 3 = 0 et f 2 6= 0 . Déterminer la dimension de C.
4. Trouver f tel que C soit de dimension 5.
2.16
(Jeanne d’Albret)
P (t)Q(t)
√
dt .
−1
1 − t2
1. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].
2. Montrer que, pour tout n ∈ N, il existe Rn ∈ Rn [X] tel que : ∀ P ∈ Rn [X] , P (1) = hP, Rn i .
3. Montrer que Rn est de degré n et admet n racines simples, appartenant toutes à [−1, 1] .
Pour P et Q dans R[X] on pose hP, Qi =
Z 1
PSI-Pasteur
3
7/32
Mathématiques, oral 2016
Centrale 2
3.1
(Floriane Azar)
Soit P (X) = X 2 − X + 41 et T (X) = X 2 − 79 X + 1601 .
1. (a) Soit p = P (42) . Écrire une suite d’instructions en Python pour vérifier que :
∀ k ∈ [[−15, 15]] , P (42 + k p) est divisible par p .
(b) Soit t = T (80) . Écrire une suite d’instructions en Python pour vérifier que :
∀ k ∈ [[−15, 15]] , P (80 + k t) est divisible par t .
(c) Montrer que pour tout polynôme non constant à coefficients réels, P (n + k m) est
divisible par m, où m = P (n).
(on pourra commencer par montrer que (n + k m)p − np est divisible par m)
2. (a) Écrire une fonction qui prend en argument un entier naturel n et renvoie True si n
est premier, False sinon. (on rappelle√que n est premier ssi les restes de la division
euclidienne de n par k , pour k ∈ [[2, n]] sont tous non nuls)
(b) Vérifier que P (n) est premier pour tout n ∈ [[0, 40]] , ainsi que T (n) pour tout n ∈
[[0, 79]]. Est-ce encore vrai pour P (41) et T (80) ?
(c) Montrer qu’il n’existe pas de polynôme Q non constant à coefficients réels tel que
|P (n)| soit premier pour tout entier naturel n. (on pourra raisonner par l’absurde).
3.2
(Tiffany Bec)

0 0

0
1

0
1
. .
À tout polynôme unitaire X n −an−1 X n−1 −· · ·−a1 X−a0 on associe 
..
 ..


0
···
0 ···
0 ···
0 ···
0 ···
... ...
0
1
0
0
0
0
0
..
.
a0
a1
a2
..
.










an−2 
0
1 an−1
1. Écrire une fonction prenant en argument les coefficients du polynôme et renvoyant la
matrice.
2. Calculer le polynôme caractéristique pour X − 1 , (X − 1)(X − 2) , (X − 1)2 , (X − 1)3 .
3. « Il y avait d’autres questions »
3.3
(Caroline Bettinger)
n−1
Pour z ∈ C et n ∈ N on pose fn (z) = z 2
P
2n −1
k=0
zk
−1
.
1. Déterminer le domaine D de convergence simple de f (z) =
P+∞
n=1
fn (z) .
2. Avec Python, écrire une fonction pour obtenir f (z). Donner avec une précision de 10−5 un
certain nombre de valeurs, dont f (1), f (−1), f (i). . .
3. Avec Python, tracer f sur [−2, 2] ∩ D .
4. fn converge-t-elle uniformément ?
5. Exprimer f avec des fonctions usuelles.
PSI-Pasteur
3.4
8/32
Mathématiques, oral 2016
(Camille Chadian)
À tout polynôme P on associe S(P ) =
P+∞ P (k)
k=0
k!
.
1. Justifier l’existence de S(P ) .
2. Montrer que S est une forme linéaire.
P (k)
pour P = X d avec d ∈ [[0, 10]] ;
3. Avec Python, calculer 50
k=0 k!
puis pour un certain polynôme de degré 9. Que remarque t-on ?
P
4. On pose H0 = 1 , puis pour tout entier n , Hn+1 = (X − n) Hn .
Montrer que (Hk )06k6n est une base de Rn [X] .
5. Calculer S(Hn ) pour tout n .
6. En déduire une méthode pour calculer S(P ) pour P quelconque.
7. Avec Python, écrire un programme permettant de calculer les coefficients de Hn .
8. « Il y avait encore deux autres questions »
3.5
(Alexandre Cornic)
On considère la suite des fonctions fn (x) =
xn
1+x+···+xn
.
1. (a) Déterminer l’ensemble de définition commun des fn .
(b) Écrire en Python une fonction d’arguments x et n , renvoyant fn (x) .
(c) Tracer les fn sur [−5, 5] pour n ∈ [[0, 10]] .
(d) Que peut-on conjecturer concernant la convergence des fn ?
2. On se place désormais sur [0, +∞[.
(a) Convergence uniforme ?
(b) Continuité ? Caractère C ∞ ?
3. On considère g(x) =
P∞
n=0
fn (x) .
(a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
(b) Trouver n tel que g(5) −
Pn
k=0
fk (5) 6 105 .
(c) « Une dernière question que je n’ai pas lue »
3.6
(Jean Cresp)
t
s

On considère A(s, t) = 
s
s
1. Au tableau

t
t
s
s
t
t
t
s
t
t


t
t

(a) Montrer que l’ensemble de ces matrices est un espace vectoriel, et donner sa dimension.
(b) Montrer qu’il existe une unique valeur t0 telle que A(0, t) soit diagonalisable.
0
0

(c) Montrer que pour tout t différent de t0 , A(0, t) − t I4 est semblable à 
0
0

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

.
1
0

PSI-Pasteur
Mathématiques, oral 2016
9/32
2. Avec Python
(a) Écrire une fonction A(s, t) qui renvoie A(s, t).
(b) Donner les matrices A(1, i) pour i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
(c) Montrer avec Python qu’elles sont toutes diagonalisables.
(d) Choisir 3 réels au hasard et afficher la matrice A(1, i) .
(e) Formuler une conjecture.
3. Soit t > 0 .
(a) Montrer que t1/4 + t1/2 + t3/4 + t est valeur propre pour A(1, t).
(b) « Il y avait deux autres questions »
3.7
(Cléo Deroo)
On donnait deux matrices 6 × 6 , A et P .
1. (a) Saisir la matrice A.
(b) Vérifier que le spectre de A est inclus dans N.
(c) Donnez le plus petit k tel que rg(Ak ) = rg(Ak+1 ) .
(d) Saisir P et montrer qu’elle est inversible.
2. Soit M = P −1 A P .
(a) « Il fallait calculer qqchose contenant le déterminant de P , c’était assez basique. »
(b) Affichez M .
(c) Au tableau donner une base des espaces propres pour A.
(d) « Il y avait d’autres questions »
3. (a) Soit B une matrice telle que χB = X m P (X) , avec P un polynôme scindé à racines
simples. Montrez que {k ∈ N | rg(B k ) = rg(B k+1 )} admet un minimum.
(b) « Il restait encore d’autres questions »
« Je pense que ça s’est relativement bien passé, surtout parce que j’ai eu une illumination deux
minutes avant la fin pour la question 3)a), et que l’examinateur s’est fait arrêter par son alarme,
alors que l’élève avant moi avait gentiment été congédié avant la fin de son oral. En revanche il
y avait beaucoup de questions, à tel point que je n’ai pas tout lu. A priori j’avais fini la partie
Python, le reste ressemblait à de l’algèbre linéaire classique il me semble.
Ah ! et on avait accès aux environnements Spider et Pyzo (et Scilab). »
3.8
(Arielle Lohat)
1
.
On note an le coefficient devant xn dans le développement en série entière de f (x) = √1−x
1. Déterminer une relation de récurrence entre an+1 et an .
2. Écrire une fonction en Python qui renvoie an pour n donné.
P
3. Soit Sn (x) = nk=0 ak xk . Écrire une fonction en Python qui renvoie Sn (x) pour n et x
donnés.
4. Représenter graphiquement les points (n, an ) pour n allant de 0 à 10. Que peut-on conjecturer concernant la monotonie et la limite de an ? Démontrer
ces conjectures.
P n+1 α an+1 Pour la limite on pourra chercher un réel α tel que ln
converge.
n
an
5. « Il y avait d’autres questions »
PSI-Pasteur
3.9
10/32
Mathématiques, oral 2016
(Cyprien Louët)
Soit f (x) = (cos(5 π x) − 1) x (x − 1) et M = supx∈[0,1] f (x) .
1. Représenter f et trouver M .
2. Soit In =
R1
0
f (t)n dt . Écrire une fonction, d’argument n, renvoyant In .
3. (a) Question oubliée
(b) Trouver le rayon de convergence de
4. Soit un =
3.10
In+1
In
P
In xn .
. Étudier la monotonie, puis la convergence, de un .
(Vincent Martin)
« Le sujet consistait à étudier un arc paramétré. Je ne me souviens pas l’expression, mais c’était
assez simple. Il fallait le tracer avec Python, étudier la dérivabilité, montrer l’existence d’un
point double, calculer la longueur de la boucle (la courbe formait une petite boucle au début,
avec le point double en l’origine), montrer l’existence d’une branche infinie, déterminer s’il y
avait une asymptote, montrer qu’il existait un point où la tangente passait par l’origine. Je me
suis arrêté ici en 30 minutes, il y avait encore quelques questions après . . . »
3.11
(Pierre Michelet)
On définit deux suites par : un =
R 1 t2n
0 1+t2
dt , v0 =
π
4
et vn+1 =
1
2n+1
− vn .
1. Donner une approximation raisonnable de un pour n de 1 à 10.
2. De même pour vn .
3. Émettre une conjecture, et la prouver.
4. Convergence de vn ?
5. Donner un lien entre vn et la série de terme général
1
(4n+3)(4n+1)
.
6. « On est à peu près à la moitié de la page mais je me suis arrêté là. »
3.12
(Alban Planchat)
On définit une suite de variables aléatoires (Xi )i∈N∗ indépendantes et suivant une même loi :
P
P(Xi = 1) = p ; P(Xi = 2) = 1 − p . On pose Sn = ni=1 Xi et Yk = inf {n ∈ N∗ | Sn > k} .
1. Montrer l’existence de Yk . Écrire une fonction d’arguments k et p renvoyant Yk .
2. Écrire une suite d’instructions permettant de trouver une valeur approchée de mk = E(Yk ) .
(on suppose connu p). Tracer la courbe définie par les points (k, mk ) pour k allant de 1 à
100 et p ∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} .
3. Pour k 6 3 montrer que : P(Yk = n) = p P(Yk−1 = n − 1) + (1 − p) P(Yk−2 = n − 1) .
4. Montrer que E(Yk ) = p E(Yk−1 ) + (1 − p) E(Yk−2 ) + 1 .
5. Montrer que E(Yk ) ∼ k Cp quand k tend vers l’infini, avec Cp qui ne dépend que de p .
PSI-Pasteur
3.13
11/32
Mathématiques, oral 2016
(Thomas Perret)
Soit In =
R1
dt
0 (1+t2 )n
.
1. Écrire une fonction retournant la valeur de In , puis afficher les 10 premières valeurs de In .
2. Montrer que la suite (In ) converge.
3. Soit sn = nk=0 Ik et Sn = nk=0 Ikk .
Écrire des fonctions retournant sn et Sn , puis afficher les premiers termes de ces suites.
P
P
4. Conjecturer puis démontrer la convergence de (sn ) et (Sn ) .
5. « Il y avait une cinquième question »
3.14
(Vladimir Steiner)
1. Soit un = nk=1 1 − 4 1k2 .
Donner une valeur de un pour n ∈ [[1, 10]] , ainsi qu’une valeur de 1/u10n pour n ∈ [[1, 4]] .
Q
2. Pour t ∈]0, π[ , on pose f (t) =
P∞
2t
n=1 t2 −n2 π 2
et g(t) =
cos(t)
sin(t)
1
t
.
t2
1+t3
.
−
(a) Quelle est la limite de g(t) quand t tend vers 0 ?
(b) Montrer que f et g sont continues sur [0, π[.
3. Représenter graphiquement f et g. Que peut-conjecturer ?
4. « Il y avait d’autres questions »
3.15
(Axel Trollé)
Pour t 6= −1 , soit ϕ(t) = (f (t), g(t) avec f (t) =
t
1+t3
et g(t) =
1. Tracer avec Python le support de cet arc.
2. Étudier les symétries, en déduire que l’on peut réduire l’intervalle d’étude.
3. Déterminer le comportement lorsque t tend vers −1.
4. On remarque la présence d’une boucle. Donner la formule donnant la longueur d’une
courbe, puis estimer la longueur de la boucle à une précision donnée.
5. Montrer que l’existence d’une fonction F à définir, telle que :
∃ t ∈ R | x = f (t) et y = g(t) ⇐⇒ F (x, y) = 0 . (on proposait d’examiner f (t)3 + g(t)3 )
Interpréter graphiquement.
6. Montrer que ϕ(t1 ), ϕ(t2 ), ϕ(t3 ), sont alignés si et seulement si t1 t2 t3 = −1 .
3.16
(Jean-Noël Tuccella)
Soit Un (x) =
x
n (1+n x2 )
et f (x) =
P∞
n=1
Un (x) .
1. Donner le domaine de définition D de f . Montrer que f est continue sur D.
2. Représenter graphiquement f avec Python, en justifiant les approximations faites.
Préciser les variations de f .
3. Étudier la dérivabilité de f .
4. Donner des approximations de
π2
6
et de
P∞
1
n=1 n2
avec un certain nombre de décimales.
PSI-Pasteur
Mathématiques, oral 2016
12/32
5. Déterminer numériquement la limite en l’infini de x f (x) .
Faire une conjecture et la démontrer.
6. Que peut-on dire de
R +∞
−∞
f (x) dx ?
7. Comment obtenir un développement limité de f (x) quand x tend vers +∞ ?
« Examinateur sympa mais très fatigué par sa longue semaine (il me l’a dit tout de suite). Il
n’est pas allé voir une seule fois ce que j’avais fait à l’ordi. Il me demandait de lui expliquer à
l’oral mes programmes : Python n’avait pas l’air d’être sa passion. À la question 5, il est parti
pour se “dégourdir” les jambes dans le couloir. À la fin, on est revenu sur la dérivabilité en 0 de
f (la non-dérivabilité plutôt) qui était assez galère. »
4
ENSAM
4.1
(Paul Beguin)
1. On pose f (x) =
R1√
0
1 − t2 cos(xt) dt .
(a) Montrer que f est paire et de classe C 2 sur R.
(b) Montrer que f est solution de l’équation x y 00 + 3 y 0 + x y = 0 .
Indication : considérer une intégration par parties
2. Soit n ∈ N∗ et En = {1, 2, ..., n} . Une partie A de En est codée par une liste C telle que
C[i−1] = 1 si i ∈ A et 0 sinon. Par exemple, pour n = 5 et A = {1, 4} , C = [1, 0, 0, 1, 0] .
(a) Au brouillon, écrire le codage de deux parties données de E5 .
(b) Écrire une fonction somme prenant en argument le codage d’une partie A de En et
renvoyant la somme des éléments de A.
(c) Écrire une fonction intersection d’argument deux codes, représentant deux parties,
et renvoyant le code représentant l’intersection de ces deux parties.
(d) Une fonction d’argument n renvoyant la liste des codes de l’ensemble des parties de
En était donnée. Écrire une fonction d’arguments n et k renvoyant la liste des codages
des parties de En dont la somme des éléments vaut k.
4.2
(Caroline Bettinger)
1. (a) Soit f et g deux fonctions continues par morceaux
et de carrés intégrables sur R.
R
Déterminer l’ensemble de définition de x 7→ R f (x − t) g(t) dt .
(b) Étudier la continuité de la fonction ainsi définie, ainsi que ses limites au bord de
l’intervalle de définition.
2. (a) Montrer qu’il existe seulement 3 manières de payer 20 euros avec des pièces de 5 euros
et 2 euros.
(b) On donnait le code ci-dessous, et demandait ce que faisait la fonction P . . .
( ? -> arguments oubliés)
def P(V,n) :
return PP(sorted(V),n)
et
def PP(V,n) :
if len(V)==1 :
PSI-Pasteur
Mathématiques, oral 2016
13/32
if n%V[0]==0 :
return 1
return 0
s=0
for i in range( ?, ?, ?) :
s+=PP(V[ :-1], ?)
return s
Essayer P([3],5), P([5,2],20), P([1,2,5],20).
(c) Y a-t-il une grande différence de rapidité entre P(V,n) et PP(V,n) ?
Expliquer succinctement. Essayer avec P([5,4,3,2,1],20) et PP([5,4,3,2,1],20).
(d) Expliquer pourquoi il existe une infinité de nombres que l’on ne peut pas obtenir avec
3 et 6.
(e) Soit a et b deux nombres premiers entre eux. On admet que le plus grand nombre que
l’on ne peut pas obtenir avec a et b est inférieur à ab. Écrire une fonction dernierZero
qui renvoie le plus grand nombre que l’on ne peut pas obtenir avec a et b.
Essayer dernierZero(13,29).
(f) On pose q=29 . Pour p allant de 2 à q-1 retourner q, p, qp-dernierZero(q,p).
Que constate-t-on ? Émettre une conjecture. On pourra essayer avec q plus petit.
4.3
(Alexandre Cornic)
1. On donnait une brève introduction sur les polynômes en Python.
Ça disait qu’on les définissait par une liste de coefficients. On introduisait la fonction
polymul du module numpy.polynomial.polynomial qui permet de faire le produit de deux
polynômes. On considérait alors P (X) = X 5 − 1 .
(a) Représenter P en Python.
(b) Calculer Q = P 20 − 1.05 .
À l’aide de la fonction polyroots du même module, trouver les racines complexes de
Q.
(c) Représenter dans le plan complexe les racines de Q. On visualisera le résultat sans
relier les points entre eux.
(d) On donnait le code du tri rapide. Expliquer ce que réalise ce code. « L’examinateur m’a
posé cette question à l’oral en me demandant les différents tris que je connaissais et
d’expliquer leur fonctionnement. Il m’a demandé si je connaissais le tri par sélection. »
(e) « Il y avait une dernière question. »
2. (a) Soit un =
Pn
1
k=1 k
− ln(n) . Montrer que la suite converge.
(b) « C’était une étude de série »
4.4
(Jean Cresp)
1. Soit X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de
paramètre p. On pose q = 1 − p et Y = |X1 − X2 | .
(a) Calculer P(Y = 0) .
(b) Montrer que P(X1 − X2 = n) =
p qn
1+q
. En déduire la loi de Y .
PSI-Pasteur
(c)
(d)
(e)
2. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4.5
Mathématiques, oral 2016
14/32
Montrer que Y admet une espérance et la calculer.
Montrer que E((X1 − X2 )2 ) = 2 V (X1 ) .
En déduire que Y admet une variance et la calculer.
Écrire une fonction somchi(n) qui renvoie la somme des chiffres de n.
Donner tout les nombres entre 1 et 10000 tels que somchi(n)4 = n .
Écrire une fonction Dixversdeux(n) qui renvoie l’écriture de n en base 2.
Écrire la fonction réciproque Deuxversdix(n).
Donner tous les nombres entre 1 et 10000 tels que somchi(Dixversdeux(n))4 = n .
Faire une fonction d’argument (n, b) qui renvoie l’écriture de n en base b.
(Sophia Ferrandier)
1. Soit P un polynôme à coefficients réels.
(a) On suppose que pour tout x ∈ R , P (x) + P 0 (x) > 0 .
Montrer que P (x) > 0 pour tout x ∈ R .
(b) On suppose maintenant que pour tout x ∈ R , P (x) − P 00 (x) > 0 .
Montrer que P (x) > 0 pour tout x ∈ R .
(c) On suppose ici que pour tout x ∈ R , P (x) − P 0 (x) − P 00 (x) + P 000 (x) > 0 .
Peut-on dire que P (x) > 0 pour tout x ∈ R ?
Indications : Il ne faut pas utiliser un tableau de variation. « Je cite : c’est tout con »
2. « Il s’agissait d’ouvrir un fichier contenant une série d’entiers compris entre 0 et 3, puis
d’écrire un programme pour décoder ces données, le tout étant très guidé. Mes principales
difficultés venaient du fait que je ne maitrisais pas les fichiers avec Python et que la fiche
Python de l’ENSAM est franchement bof bof... D’ailleurs le correcteur y comprenait pas
plus que moi d’autant plus que le fichier qu’on essayait d’ouvrir était en fait écrasé...
Ceci dit on s’est entraidé pour tenter de dénouer, déchiffrer le problème dans la bonne
humeur qui me caractérise n’est ce pas. Ah oui et dernière chose j’étais la dernière de sa
journée donc mon oral a bien duré 1h30 dont une heure sur Python. . . »
4.6
(Bryan Jegousse)
1. Pour x ∈ R , soit f (x) =
1
(x−z)(x−z̄)
avec z = ρ eiθ ∈
/ R.
A
B
(a) Montrer qu’il existe A et B tels que f (x) = x−z
+ x−z̄
.
(b) En déduire que f est développable en série entière. Préciser son rayon de convergence.
Donner une expression de la somme en fonction de z et z̄ dans un premier temps,
puis en fonction de θ, i et ρ. 1
2. Pour x ∈ R , soit F (x) = arctan x+1
. Montrer que F est développable en série entière.
Préciser son rayon de convergence et donner une expression de la somme.
3. Un palindrome est un nombre qui est égal à son inversé, par exemple 42524, 12321, etc. . .On
considère un nombre n : si ce n’est pas un palindrome, on lui ajoute son inversé, puis si
le nombre obtenu par sommation est un palindrome, on dira que n est un palindrome
d’ordre 1. L’ordre correspond au nombre d’opérations (addition du nombre obtenu et de
son inversé) effectués à partir du nombre n pour obtenir le premier palindrome. Écrire un
programme qui affiche l’ordre du nombre n.
PSI-Pasteur
4.7
Mathématiques, oral 2016
15/32
(Arielle Lohat)
1. (a) Écrire une fonction alenvers qui prend en argument un entier n et renvoie les chiffres
de ce nombre à l’envers. On pourra convertir ce nombre en une chaîne de caractère
ou une liste. Par exemple alenvers(12345) renverra 54321.
(b) Un palindrome est un nombre égal à son écriture à l’envers. Par exemple, 1234321 est
un palindrome mais 12345 n’en est pas un. Écrire une fonction estpalindrome qui
prend en argument un entier n et renvoie True si n est un palindrome, False sinon.
(c) Donner la liste de tous les entiers de 1 à 3000 dont le carré est un palindrome.
(d) Extraire de cette liste les nombres qui ne sont pas des palindromes.
(e) Donner une version récursive de la fonction alenvers.
2. Convergence de la série
4.8
P+∞
π
n 2
0
n=0 (−1)
R
cosn x dx , et calcul de la somme.
(Pierre Michelet)
1. « On nous explique que les produits infinis marchent comme les séries c’est à dire qu’ils
convergent ssi la suite des produits partiels est majorée. » (ça m’étonnerait, NDRP)
Q
Q
3
k3 −1
(a) Montrer que nk=n0 kk3 −1
converge et calculer ∞
k=2 k3 +1 .
+1
Trouver la nature de la suite nk=1 k1 − ln(n) .
sujet continuait mais je me suis arrêté là. »
Créer une liste de 12 complexes d’argument 2kπ
et de module aléatoire entre 0 et 1.
12
Avec des permutations circulaires placer le terme de plus petite partie imaginaire en
premier.
« Plein d’autres questions mais j’ai multiplié les fautes de syntaxe donc je n’ai pas eu le
temps d’aller plus loin. »
P
(b)
« Le
2. (a)
(b)
4.9
(Alban Planchat)
1. Soit T une variable aléatoire telle que T (Ω) = [[1, k]] . On considère k + 1 variables
aléatoires (Xi )06i6k suivant une même loi à valeur dans N. On suppose que toutes ces
variables aléatoires sont indépendantes. On définit enfin une variable aléatoire Y par
PT (ω)
Y (ω) = i=0 Xi (ω) . Montrer que si les Xi admettent une espérance, alors Y aussi, et
donner sous ces hypothèses une expression de E(Y ) en fonction de E(Xi ) et E(T ).
2. card On (R) ∩ (Mn (Z) ?
3. L’énoncé commençait par définir ce qu’est une permutation de [[0, n − 1]] .
On représente une permutation f de [[0, n − 1]] par la liste [f (0), f (1), . . . , f (n − 1)] .
(a) Écrire une fonction permettant de tester si une liste L est la représentation d’une
permutation de [[0, n − 1]] .
(b) Écrire une fonction prenant en argument un couple de liste (F, G) représentant deux
permutations f et g de [[0, n − 1]] , et renvoyant la liste représentant f ◦ g .
(c) L’énoncé définissait alors ce qu’est une orbite pour une permutation f , à savoir la
liste des valeurs obtenues par itération de f , par exemple [0, f (0), f 2 (0), . . . , f k−1 (0)]
si f k (0) = 0 et f i (0) 6= 0 pour i < k .
Définir une fonction orbite(L, i) renvoyant l’orbite de i, où L est une liste représentant
une permutation de [[0, n − 1]] et i ∈ [[0, n − 1]] .
PSI-Pasteur
Mathématiques, oral 2016
16/32
(d) Définir une fonction orbites(L) qui renvoie une liste contenant toutes les orbites
distinctes, de longueurs supérieures ou égales à 2, de la permutation représentée par
L, avec comme condition que le premier élément de chacune des orbites doit être le
plus petit de l’orbite.
(e) « Il y avait une cinquième question. »
4.10
(Thomas Perret)
1. On s’intéresse d’abord à la numérotation des coefficients d’une matrice carrée 9x9.
On donne le script suivant :
def num(i, j) :
if i==0 :
if j==0 :
return 0
else :
return num(8, j-1)+1
else :
return num(i-1, j)+1
(a) Expliquer comment ce script numérote les coefficients.
(b) Déterminer une expression du numéro des coefficients, puis écrire une fonction ij(m)
qui pour une valeur m du numéro de coefficient retourne le couple (i,j) des coordonnées
du coefficient.
Maintenant, on s’intéresse à un schéma de numérotation pour une matrice infinie. Le
schéma était dessiné, c’est du même genre que dans le cas précédent mais au lieu de
raisonner en colonnes on raisonne en diagonales.
ex : M0,0 = 0 , M0,1 = 1 , M1,0 = 2 , M0,2 = 3 , M1,1 = 4 , M2,0 = 5 , M0,3 = 6 , M1,2 = 7 ,
etc. . .
(c) Écrire une fonction récursive n(i, j) qui renvoie le numéro du coefficient (i, j) .
(d) Écrire une fonction non récursive qui renvoie le numéro du coefficient (i, j) .
(e) Écrire la fonction réciproque de n(i, j) .
« Pour la question 3) il a insisté comme quoi c’était un algorithme difficile et qu’il y avait
plusieurs méthodes possibles. Comme il restait 5 minutes en Python, il m’a demandé de
passer aux maths avant que j’ai le temps de faire les questions 4) et 5). »
√
= 2π . Soit α
0
R
2
Calculer 0+∞ e−αx dx .
R
2
En déduire Ip (α) = 0+∞ x2p e−αx dx .
R
2
Déterminer 0+∞ x2p+1 e−αx dx .
2. On rappelle que
(a)
(b)
(c)
R +∞ −x2
e dx
un réel strictement positif.
« Pour le (b) j’ai fait le calcul par IPP successives mais il m’a ensuite fait mariner pour que je
trouve une seconde méthode. Il m’a finalement dit qu’on pouvait le faire par dérivation après
avoir montré la classe infinie. »
PSI-Pasteur
4.11
Mathématiques, oral 2016
17/32
(Floraline Richard)
1. Avce Python, même exercice qu’Alban Planchat.
R
1
2. Soit un = 01 1+x
n dx .
(a) Montrer que un converge et donner sa limite L.
(b) Trouver un équivalent de un − L .
4.12
(Axel Trollé)
1. On a une collection de N pièces. Chaque pièce a la même probabilité d’être achetée.
(a) Écrire un programme simulant l’évolution de la collection pour un nombre n d’achats
dans une collection de N pièces.
(b) Écrire un programme simulant 10 000 achats successifs de 10 pièces dans une collection
de 10 pièces, retournant la proportion de simulations où les 10 achats donnent les 10
pièces. Comparer à 10!/1010 .
(c) Écrire une fonction coût(N) renvoyant le nombre d’achat pour remplir la collection.
(d) Écrire un programme renvoyant la moyenne de coût(10) pour 10 essais.
2. Soit A une matrice carrée réelle telle que A3 + A2 + A = 0 .
(a) Montrer que si A est symétrique, alors A = 0 .
(b) Montrer que la trace de A est un entier. En déduire que le rang de A est pair.
5
CCP
5.1
(Samy Akhrouf)
1. Soit f une application de classe C 1 de R dans R∗+ .
Déterminer la nature de la série de terme général f (n) lorsque
(a) On suppose que f 0 (x)/f (x) tend vers ` < 0 quand x tend vers +∞ .
(b) On suppose qu’il existe a ∈ R∗ tel que f 0 (x)/f (x) ∼ a/x quand x tend vers +∞ .
2. On donnait une matrice 3 × 3 .
(a) Montrer que A est diagonalisable et la diagonaliser.
(b) Calculer An .
(c) On pose u0 = v0 = w0 = 1 et (un+1 , vn+1 , wn+1 )T = A (un , vn , wn )T .
Trouver les expressions de un , vn et wn .
5.2
(Floriane Azar)
π
π
R
R
1. Soit I = 02 ln(sin t) dt et J = 02 ln(cos t) dt .
(a) Montrer que I et J sont convergentes, et que I = J .
(b) Calculer I + J , en déduire la valeur commune à I et J.
.
2. On donne : ∀ p 6 n , nk=p kp = n+1
p+1
On dispose d’une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On tire 2 boules au hasard.
On note X (resp. Y ) la variable aléatoire correspondant au numéro le plus petit (resp. le
plus grand) des deux boules.
P
PSI-Pasteur
Mathématiques, oral 2016
18/32
(a) Déterminer la loi de (X, Y ) . En déduire les lois marginales de X et de Y .
(b) Calculer E(Y ), E(Y (Y − 2)) et V (Y ) .
(c) Montrer que n + 1 − X suit la même loi que Y . Calculer E(X) et V (X) .
(d) Calculer E(X(Y − 2)) et cov(X, Y ) .
5.3
(Tiffany Bec)
1
1
1
1
1 −1 −1
1



1. Soit A = 
1 −1
1 −1
1
1 −1 −1


(a) Calculer An .
(b) Montrer que A est inversible et calculer son inverse.
(c) A est-elle diagonalisable ? Donner ses éléments propres.
(d) Établir l’inversibilité de A par une autre méthode.
2. On s’intéresse à la suite définie par u0 ∈ ]0, π/2[ et un+1 = sin(un ) .
(a) Établir la convergence de cette suite et déterminer sa limite.
(b) En considérant un+1 − un montrer que
(c) En considérant ln
5.4
un+1
un
montrer que
P 3
u
n
P 2
u
n
converge.
converge.
(Vicky Bholah)
1. Soit P (X) = X n −
Pn−1
i=0
αi X i avec α0 > 0 et αi > 0 pour 1 6 i < n .
(a) Montrer que P admet une unique racine sur R∗+ .
(Indication donnée en cours d’oral : considérer P (X)/X n . . .)
(b) Soit M ∈ Mn (R) définie par : Mi,1 = i pour 1 6 i 6 n , Mi,i+1 = 1 pour 1 6 i < n ,
et tous les autres coefficients nuls.
Montrer que M admet une unique valeur propre strictement positive.
2. Soit f (x) =
P+∞
n=0
sin(an x) , avec |a| 6 1 .
(a) Montrer que f est définie et de classe C ∞ sur R.
(b) Montrer que pour tout k ∈ N∗ , |f k (x)| 6
1
1−|a|
.
(c) Montrer que f est développable en série entière sur R.
5.5
(Quentin Bonnel)
1. Soit E un espace euclidien, et u ∈ E .
Déterminer les réels α tels que x 7→ α(u|x)u − x soit une isométrie de E.
2. Un système différentiel d’ordre 3.
PSI-Pasteur
5.6
19/32
Mathématiques, oral 2016
(Alice Buob)
1. On pose f (x) =
x3 −y 3
x2 +y 2
pour (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0 .
(a) f est-elle continue sur R2 ?
(b) f est-elle de classe C 1 sur R2 ?
(c) Existence et calcul de
∂2f
∂y ∂x
?
2. Pour P et Q dans R[X], on pose (P |Q) =
R +∞
0
P (t) Q(t) e−t dt .
(a) Montrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X] .
(b) Déterminer min(a,b)∈R2
5.7
R +∞ 2
(t
0
− at − b)2 e−t dt .
(Alexandre Cornic)
1. Soit f (x, y) = y 3 x4 + ln(1 + y 4 ) , définie sur [−1, 1]2 .
(a) Cette fonction admet-elle des extremums globaux ?
(b) Cette fonction admet-elle des extremums locaux ?

1
n

2 n − 1


2. Soit n un entier pair supérieur ou égal à 2, et A =  3 n − 2
.
..
 ..
.

n
1
1 ···
2 ···
3 ···
..
.
n ···

n

n − 1

n − 2
.
.. 
. 

1
(a) Montrer qu’une matrice et sa transposée ont le même spectre.
(b) Déterminer le rang de A.
(c) Montrer que A est diagonalisable, et préciser ses éléments propres.
5.8
(Maxime Couderc)
1. Soit F (x) =
P+∞
n=0
ln (1 + e−n x ) .
(a) Donner l’intervalle de définition D de F .
(b) F est-elle continue sur D ?
(c) Déterminer F (D) .
2. On lance un dé à 6 faces. Les lancers sont indépendants et le dé n’est pas pipé.
On note Xk la variable aléatoire égale à la valeur obtenue au k-ième lancer.
(a) Déterminer la loi de Xk , et la fonction de répartition F associée à Xk .
(b) On note Zn la valeur maximale obtenue au bout de n lancers.
Déterminer la fonction de répartition Fn de Zn en fonction de F .
(c) Déterminer la limite de Fn lorsque n tend vers l’infini. La convergence est elle uniforme ?
(d) On note Yn la valeur minimale obtenue au bout de n lancers. Déterminer sa fonction
de répartition.
PSI-Pasteur
5.9
20/32
Mathématiques, oral 2016
(Maelys Hugon)
1. Soit f (x, y) = y 3 x4 + ln(1 + y 4 ) , définie sur [−1, 1]2 .
(a) Cette fonction admet-elle des extremums globaux ?
(b) Cette fonction admet-elle des extremums locaux ?
!
2. Soit f : M2 (R) → M2 (R) ;
!
a b
d 2b
7→
.
c d
2c a
(a) Montrer que f est un endomorphisme.
(b) Préciser les éléments propres de f .
(c) f est-il diagonalisable ? inversible ?
5.10
(Bryan Jegousse)
1. Soit f (x) = x + ln(1 + x) .
(a) Montrer que f définit une bijection de ] − 1, +∞[ sur un intervalle à préciser.
Prouver que la réciproque g est de classe C ∞ .
(b) Calculer g(0) et g 0 (0) .
(c) Calculer le développement limité de g à l’ordre 3 en 0.
2. (a) Soit H un hyperplan d’un espace vectoriel E de dimension finie, et u un endomorphisme de E. Montrer que : u(H) ⊂ H ⇐⇒ ∃ λ ∈ C : Im(u − λId) ⊂ H.
(b) Application à la recherche des sous-espaces stables par un endomorphisme représenté
par une certaine (mais oubliée) matrice 3 × 3 .
5.11
(Jean Khaled)
1. Pour tous polynômes P et Q de Rn [X] on pose (P |Q) =
Pn
k=0
P (k) (1)Q(k) (1) .
(a) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur Rn [X] .
(b) Soit E = {P ∈ Rn [X]|P (1) = 0} .
Montrer que E est un sous-espace de Rn [X] , et préciser sa dimension.
(c) Déterminer la distance du polynôme constant égal à 1 à E.
2. Pour tout n ∈ N , soit un =
n+2
n+1
2
e−nx .
(a) Étudier la convergence simple de un (x) sur R .
(b) Y a-t-il convergence uniforme sur [0, +∞[ ? sur [a, +∞[ pour a > 0 ?
5.12
(Anh Linh Le Van)
1. Trouver les extremums de la fonction f définie sur R2 par f (x, y) = x2 + x y + y 2 − 5 x − y .
2. Soit M ∈ Mn (C) vérifiant M 2 + M T = In .
(a) On suppose que M est symétrique.
Montrer que M est diagonalisable puis prouver que tr(M ) det(M ) 6= 0 .
(b) Montrer que M est diagonalisable même si elle n’est pas symétrique.
(c) Montrer que M est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de M .
PSI-Pasteur
5.13
Mathématiques, oral 2016
21/32
(Arielle Lohat)
1. (a) Soient a et b deux réels, avec a < b . On considère une fonction f continue de [a, b]
dans C telle que : R∀ x ∈ [a, b] , f (a R+ b − x) = f (x) .
b
Montrer qu’alors ab t f (t) dt = a+b
a f (t) dt .
2
(b) Calculer

6
2. Soit A = 
1
0
t ei t
dt .
−π 1 + cos2 t

−11
6
0
0

1
0
Z π
(a) Montrer que A est diagonalisable et donner ses éléments propres.
(b) On pose u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 5 , et un+3 = 6 un+2 − 11 un+1 + 6 un pour tout n ∈ N .
Trouver l’expression de un en fonction de n.
(c) « Il y avait une troisième question. »
5.14
(Cyprien Louët)
1. Rayon de convergence et calcul de
+∞
X
(n2 + n + 1) xn .
n=0
1 ...
.
 ..
0

.
..
2. Valeurs propres de 
.
 ..
.
.
.
0
1 ...

5.15
... ... 1
.
. . . 0 .. 

.. .. 
..
. . .

.. 

. . . 0 .

... ... 1
(Ariane Martin)

6 −11

0
1. Soit A = 1
0
1

6
0

0
(a) Montrer que A est diagonalisable et donner ses éléments propres.
(b) On pose u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 5 , et un+3 = 6 un+2 − 11 un+1 + 6 un pour tout n ∈ N .
Trouver l’expression de un en fonction de n.
2. (a) Montrer l’existence et l’unicité pour tout n ∈ N de xn tel que xn − exn = n .
(b) Montrer que xn ∈ [[n, n + 1]] .
(c) Trouver un équivalent de xn − n quand n tend vers l’infini.
5.16
(Pierre Michelet)
1. Donner les éléments
caractéristiques
de l’endomorphisme représenté dans la base canonique


2
2
1
1
2
de R3 par 1 −2
.
3
2 −1 −2
PSI-Pasteur
2. Soit X1 , X2 , . . . , Xn , . . . une suite de variables aléatoires indépendantes.
On suppose que Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre pi , et que
Montrer que : ∀ ε > 0 ,
5.17
22/32
Mathématiques, oral 2016
P
P n1 ni=1 Xi
− p
>ε
1
n
Pn
i=1
pi n→∞
→ p.
→ 0.
n→∞
(Thomas Perret)
1. Soit (An ) une suite d’événements mutuellement indépendants, et pn = P(An ) .
On suppose que la série de terme général pn est divergente.
(a) Montrer que la probabilité qu’aucun
des événements An , An+1 , . . . , An+p ne se produise
P
n+p
peut être majorée par exp − k=n pk .
(b) Montrer qu’il y a presque surement une infinité de An qui se produisent.


0 −a −b
0 −c 
2. Soit A = 
a
 avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0) ; et B = AT A .
b
c
0
(a) Montrer que A n’est pas inversible.
(b) Montrer que B est diagonalisable.
(c) Montrer que le spectre de B est constitué de réels positifs, et contient 0.
(d) Montrer que A et B commutent.
« Il y avait deux autres questions. »
5.18
(Clément Raffaitin)
1. Pour n ∈ N , soit In (α) =
R1 n
t (1 − t)α dt .
0
(a) Pour quelles valeurs de α cette suite est-elle définie ? convergente ?
(b) Pour quelles valeurs de α la série de terme général In (α) est-elle convergente ?
(c) Calculer la somme de la série lorsqu’elle converge.
2. Soit A ∈ Mn (C) telle que An 6= 0 , tr(A) = 0 , rg(A) = 2 .
Déterminer le polynôme caractéristique et le spectre de A. A est-elle diagonalisable ?
5.19
(Floraline Richard)
1. Soit an =
R 1 1+t2 n
0
2
dt .
(a) Montrer que la suite (an ) est convergente, et déterminer sa limite.
(b) Montrer que
(−1)n an est convergente.
P
(c) Montrer que : ∀ n ∈ N , an >= 1/(2n + 1) .
P
En déduire le rayon de convergence de an xn .
(d) Montrer que la somme de cette série vérifie une équation différentielle que l’on explicitera. (Indication : chercher une relation de récurrence entre les an )
2. Soit A ∈ Mn (C) telle que An 6= 0 , tr(A) = 0 , rg(A) = 2 .
Déterminer le polynôme caractéristique et le spectre de A. A est-elle diagonalisable ?
PSI-Pasteur
5.20
Mathématiques, oral 2016
23/32
(Maxime Rocca)
!
!
a b
−a
c
7→
.
c d
b −d
1. Soit f : M2 (R) → M2 (R) ;
(a) Montrer que f est un endomorphisme.
(b) Préciser les éléments propres de f .
(c) f est-il diagonalisable ? inversible ?
2. Pour t ∈ [0, 1] et n ∈ N∗ , on pose : gn (t) = (1 − nt )n et .
(a) Montrer que |gn0 (t)| 6
(b) En déduire que
(c) Soit In (x) =
Rx
0
et
n
.
(1 − nt )n et
− 1 6
t et
n
.
gn (t) dt . Étudier la convergence simple de In .
« Je me rappelle plus trop du reste. »
5.21
(Jean-Noël Tuccella)
1. (a) Comparer x et arctan(x) sur R .
(b) Convergence et limite d’une suite définie par un+1 = arctan(un ) .
(c) Déterminer les fonctions f continues de R dans R telles que f (x) = f (arctan(x)) .
2. On considère deux matrices de Mn (C), A et B, ayant au moins une valeur propre commune.
(a) Montrer qu’il existe α ∈ C et (X, Y ) ∈ C × C tels que AT X = α X et B Y = α Y .
(b) En déduire qu’il existe M ∈ Mn (C) tel que M A = B M .
1 2
(c) Trouver M pour A =
2 1
!
!
3 1
et B =
.
0 1
(d) On s’intéresse maintenant à la réciproque : on suppose qu’il existe M tq M A = B M .
i. Montrer que si M est inversible alors A et B ont une valeur propre commune.
ii. Montrer que pour tout P ∈ C[X] , M P (A) = P (B) M .
iii. Montrer que A et B ont au moins une valeur propre commune.
5.22
(Julian Wauquiez)
1. Déterminer la nature de
Z n
X
(−1)n Z +∞ −t2
2 2
e dt puis de
(−1)n
e−n t dt .
n
n2
0
k
2
(1 + α k) .
(2 k)!
X
2. Pour k ∈ N , soit pk = e−2
(a) Déterminer α pour que pk définisse une loi de probabilité.
(b) Soit T = Y + 1 où Y suit une loi de Poisson de paramètre 2. Que vaut P(T = k) ?
(c) Soit X une variable aléatoire telle que P(X = k) = pk . Que vaut E(X) ?
PSI-Pasteur
5.23
24/32
Mathématiques, oral 2016
(Jeanne d’Albret)
n
o
1. Soit A ∈ Mn (R) telle que tr(A) 6= 1 , et E = X ∈ Mn (R), X + X T = 2 tr(X) A .
(a) Montrer que E est un R-espace vectoriel.
(b) Déterminer la trace d’un élément de E.
(c) En déduire la dimension de E.
sh(x) − x
1
et f (x) =
pour x 6= 0 .
6
x3
(a) Montrer que f est continue sur R .
2. Soit f : R → R définie par f (0) =
(b) Montrer que f est de classe C ∞ sur R .
(c) Montrer que 1/f est de classe C ∞ sur R .
5.24
(Jeanne d’Albret)
1. Déterminer les matrices symétriques réelles vérifiant A3 + 4 A2 + 5 A = 0 .
Z α
√
2. On pose α = ln(1 + 2) et In =
shn (t) dt pour tout n ∈ N .
0
(a) Résoudre sur R l’équation sh(x) = 1 .
(b) Déterminer la limite de la suite In .
(c) Montrer que, pour tout x ∈ R , ch2 (x) − sh2 (x) = 1 .
(d) Montrer que, pour tout n > 2 , nIn + (n − 1)In−2 =
√
2.
(e) En déduire un équivalent de In lorsque n tend vers +∞ .
5.25
(Jeanne d’Albret)


a
c
b

1. Soit M =  c a + b c
.
a
c
b


0 1 0


(a) Diagonaliser la matrice K = 1 0 1.
0 1 0
(b) Exprimer M à l’aide des puissances de K.
(c) En déduire An .
2. Soit I =
R 1 ln(t) ln(1−t)
0
t
dt .
(a) Montrer que I converge.
(b) Montrer que I =
6
+∞
X
1
.
3
n=1 n
Mines-Télécoms
6.1
(Samy Akhrouf)
1. Soit j = e
2iπ
3
k
. Calculer 1 + jk + j̄ pour tout k ∈ N. En déduire une expression de
P+∞ x3n
n=0 (3n)!
.
PSI-Pasteur

2. Soit
(a)
(b)
(c)
6.2
25/32
Mathématiques, oral 2016
1 −1
2
a ∈ R et A = 
0
0
0
Déterminer le rang de A.
A est elle diagonalisable ?
Pour a = 1 , calculer An .

a
0
.
a
(Floriane Azar)


7
3 −3


1. Soit A = 6 −2 −15 .
4
2 −1
(a) Montrer que A n’est pas diagonalisable.


2 0 0


(b) Montrer que A peut se trigonaliser sous la forme d’une matrice T = 0 1 1 .
0 0 1
n
(c) Calcul de A pour n ∈ N .
« L’examinateur m’a coupée en plein milieu de ma question b). Quand j’ai commencé à
parler de bases il s’est exclamé “AH !” et il a commencé à me poser plein de questions
de cours sur les bases, les endomorphismes, les matrices, les polynômes caractéristiques et
annulateurs. . . »
R
2. Soit f (x) = 0+∞ e−xt arctan(t) dt .
(a) Montrer que f est définie sur ]0, +∞[.
R
e−xt
(b) Montrer que f (x) = x1 0+∞ 1+t
2 dt .
(c) Montrer de même qu’il existe g(x) telle que f (x) =
(d) Est-ce que f (x) ∼ x12 quand x tend vers +∞ ?
6.3
1
x2
−
1
x2
g(x) .
(Tiffany Bec)
1. Soit X et Y deux variables aléatoires, Y suivant une loi de Poisson de paramètre λ ,
et X sachant Y suivant une loi binomiale de paramètres (m, p) . Donner la loi de X.
√


1
−
2
1
√ 
1 √
2. Donner les éléments caractéristiques de
0 − 2.
 2
√
2
1
2
1
6.4
(Jules Benoit)
1. Soit
(a)
(b)
(c)
2. Soit
(a)
(b)
−un
(un ) définie par u0 ∈ R et un+1 = en+1 .
Déterminer la limite de un .
Déterminer la limite de n un .
P
P
Déterminer la nature de un , puis celle de (−1)n un .
M une matrice antisymétrique réelle.
Dans le cas où n est impair, montrer que det(M ) = 0 .
Peut-on en dire autant dans le cas où n est pair ?
PSI-Pasteur
6.5
Mathématiques, oral 2016
26/32
(Vicky Bholah)
1. Soit n > 2 et Dn l’ensemble des matrices M ∈ Mn (R) vérifiant :
(i) les coefficients diagonaux M1,1 , ..., Mn,n de la matrice M sont des valeurs propres de
M.
(ii) la matrice M n’a pas d’autres valeurs propres que les nombres M1,1 , ..., Mn,n .
(a) La matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 est-elle dans Dn ?
(b) Montrer que toute matrice triangulaire appartient à Dn .
(c) Montrer que si M ∈ Dn alors M + αIn ∈ Dn pour tout α ∈ R .
(d) L’ensemble Dn est-il un sous-espace vectoriel de Mn (R) ?
(e) Montrer que D2 ne contient que des matrices triangulaires.
(f) « Il y avait une dernière question calculatoire, que je n’ai pas eu le temps de traiter »
n+2 n
2. Soit S(x) = +∞
n=0 n+1 x . Déterminer le rayon de convergence de S(x), puis en donner
une expression avec des fonctions usuelles.
P
6.6
(Alice Buob)
1. Soit In =
R +∞
0
arctan(x) e−nx dx .
(a) Montrer que In existe pour tout n ∈ N∗ .
(b) Limite de In quand n tend vers l’infini ?
(c) Équivalent de In quand n tend vers l’infini ?
(d) Pour b ∈ N∗ , étudier
P b
I
n
et
(−1)n Inb .
P
2. Soit A ∈ Mn (R) définie par Ai,j = ji .
(a) Quel est le rang de A ? A est-elle diagonalisable ?
(b) Calculer Ap .
(c) Montrer qu’il existe U et V dans Mn,1 (R) tels que A = U V T .
(d) Montrer que det(A + In ) = 1 + tr(V T U ) .
(e) « Il y avait une autre question. »
6.7
(Alexandre Cornic)
1. Une urne contient initialement une boule blanche. On lance une pièce équilibrée. Si on
tombe sur pile, on rajoute une boule noire dans l’urne et on relance la pièce. Si on tombe
sur face, alors on tire une boule au hasard dans l’urne et le jeu s’arrête. Quelle est la
probabilité de tirer une boule blanche ?
2. Soit f (x) =
R 1 (1−t) tx
0
ln(t)
dt . « Il est possible qu’il y ait une légère erreur dans l’expression »
(a) Montrer que f est de classe C 1 sur ] − 1, +∞[.
(b) « M’en souviens plus trop, mais en gros c’était trouver une expression simplifiée de f ,
y’avait une histoire de constante d’intégration à déterminer en étudiant les limites. »
PSI-Pasteur
6.8
Mathématiques, oral 2016
27/32
(Maxime Couderc)
−t
√
1. Soit C(x) = 0+∞ e cos(xt)
dt . Montrer que C est définie et de classe C 1 sur R.
t
2. Dans l’espace euclidien usuel, on considère trois droites D1 , D2 , D3 ; et p1 , p2 , p3 , les projections orthogonales sur chacune de ces droites. Déterminer l’application f définie sur D1
par f (x) = p1 ◦ p2 ◦ p3 .
R
6.9
(Cléo Deroo)
1. Soit
(a)
(b)
(c)
2. Soit
(a)
(b)
6.10
f (x) = 0+∞ 1+tdt
3 +x3 .
Montrez que f est définie et continue sur R+ .
Calculez f (0). (On pourra poser u = 1/t )
Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +∞ .
E un espace euclidien muni d’une base orthonormée (e1 , e2 , . . . , en ).
Soit f un endomorphisme de E. Exprimez tr(f ) à l’aide des ei et de leurs images.
On suppose que f et g sont deux endomorphismes symétriques, et que leurs valeurs
propres sont positives ou nulles. Montrez que tr(f ◦ g) > 0 .
R
(Maelys Hugon)
−2t
1. Soit F (x) = 0+∞ ex+t dt .
(a) Montrer que F est définie et continue sur ]0, +∞[.
Indication : on peut se placer sur un segment [a, b]. . .
(b) Quelle est la limite de x F (x) quand x tend vers l’infini ?
(c) « Il y avait une troisième question. »
2. (a) Étudier les racines de X 3 − X − 1 .
(b) Soit A ∈ Mn (R) telle que A3 = A + In . Montrer que det(A) > 0 .
R
6.11
(Ariane Martin)
1. Une urne de grande capacité contient une proportion p de boules blanches et q de boules
noires (p + q = 1). On pioche N boules, N suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de boules blanches tirées.
(a) Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
(b) Question oubliée, non abordée.


0 0 ··· 0 2


0 0 · · · 0 2
2. Soit U = 
.. .. 
 .. ..
. Déterminer le rang de U et sa diagonalisabilité.
. .
. .
1 1 ···
6.12
1 0
(Thomas Perret)
1. Déterminer a et b pour que
P √
√
√
n + a n + 1 + b n + 2 soit convergente.
2. Soit A ∈ Mn (R) définie par Ai,j = i/j .
Cette matrice est elle diagonalisable ? Quelles sont ses valeurs propres ?
PSI-Pasteur
6.13
28/32
Mathématiques, oral 2016
(Maxime Rocca)
(
x+y+z+t=0
x−y+t−z =0
puis l’expression analytique de la projection orthogonale sur ce sous-espace.
4
1. Donner une base orthonormale du sous-espace de R défini par
2. Résoudre x2 (1 − x) y 00 − x (1 + x) y 0 + y = 0 avec une fonction développable en série entière.
6.14
(Vladimir Steiner)
1. (a) Factoriser X 6 − 1 sous forme irréductible.
R1
R 1 1+x2
1
1
0 1+x+x2 dx puis 0 1−x+x2 dx , en déduire 0 1+x2 +x4 dx .
P
1
Montrer que +∞
n=0 (6n+1)(6n+5) est définie et déterminer sa valeur.
6n+5
6n+1
Indication : un (x) = x6n+1 − x6n+5 .
(b) Calculer
(c)
R1
2. Soit E l’ensemble des endomorphismes de R[X], et F l’ensemble des f ∈ E tels que, pour
tout polynôme P , deg(f (P )) 6 deg(P ) . Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E
et donner sa dimension.
7
TPE-IVP
7.1
(Floriane Azar)
1. Soit M ∈ M3 (C). On suppose que M est semblable à i M .
(a) Montrer que si λ est valeur propre de M , i λ aussi.
(b) Montrer que M est nilpotente (c’est-à-dire qu’il existe k tel que M k = 0 ).
2. On définit une suite (un ) par u0 > 1 et, pour tout n ∈ N , un+1 = un + 1/un .
(a) Montrer que un diverge vers +∞ .
(b) Montrer que
1
u2n
6
(c) Montrer que un ∼
7.2
1
un
√
, en déduire que 2 6 u2n+1 − u2n 6 2 + un+1 − un .
2n.
(Tiffany Bec)


0 0 0


1. Soit N = 1 0 0.
0 1 0
(a) Déterminer les matrices qui commutent avec N .
(b) Existe-t-il X telle que X 2 = a I3 + N ?
2
2. Soit f (x) = e−x . On donne :
R +∞
−∞
f (x) dx =
√
π.
(a) Montrer que l’on peut écrire f (n) (x) = f (x) Pn (x) où Pn est un polynôme.
(b) Préciser le degré, et le coefficient dominant, de Pn .
(c) Existence puis calcul de
R +∞
−∞
f (x) Pn (x) Pm (x) dx .
PSI-Pasteur
7.3
29/32
Mathématiques, oral 2016
(Maxime Couderc)
A ∈ Mn (R) telle que A3 = A + I .
Montrer que A est inversible.
Montrer que det(A) > 0 .
l’équation différentielle (E) : y 00 + f (x) y = 0 , où f est continue et intégrable sur R.
Montrer que si y1 et y2 sont solutions de (E) alors y10 y2 − y20 y1 est constante sur R.
Montrer que si y est une solution de (E) bornée sur R alors y 0 (x) admet une limite
finie quand x tend vers +∞ , puis montrer que cette limite est forcément nulle.
(c) Montrer que (E) admet nécessairement une solution non bornée.
1. Soit
(a)
(b)
2. Soit
(a)
(b)
7.4
(Cléo Deroo et Ariane Martin)
1. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) telle que :
∀ k ∈ N∗ , P(X = k) = k−1
.
2k
P
(a) Vérifier par le calcul que +∞
k=1 P(X = k) = 1 .
(b) Donner la fonction génératrice de X. Quel est son rayon de convergence ?
(c) X admet-elle une espérance finie ? Si oui (ah ah ah) que vaut-elle ?
2. Soit A ∈ Sn (R) , et ϕ l’endomorphisme de Mn (R) défini par : ϕ(M ) = AM − M A .
Mn (R) est muni du produit scalaire usuel. . .
(a) Montrer qu’il existe une famille (X1 , . . . , Xn ) de vecteurs de Mn,1 (R) propres pour A
telle que : tXi Xj = (0) si i 6= j ; et tXi Xi = (1) .
(b) Pour 1 6 i 6 n et 1 6 i 6 n , on pose : Mi,j = Xi tXj .
Montrer que la famille des Mi,j est une base orthonormale de vecteurs propres pour
ϕ.
(c) Quel est le rang de ϕ ?
7.5
(Anh Linh Le Van)
1. (a) Écrire le développement en série entière de
√1
1−x
(b) En déduire le développement en série entière de
.
1
(1−x)3/2
.
(c) En utilisant un produit de Cauchy, montrer que : ∀ n ∈ N ,
1)
2n
n
1 2k
k=0 4k k
Pn
= (2n +
.
2. Soit (x1 , . . . , xr ) et (y1 , . . . , yr ) deux familles de vecteurs d’un espace euclidien E.
On note F et G les espaces respectivement engendrés par ces deux familles.
On suppose que : ∀ (i, j) ∈ [[1, r]]2 , (xi |xj ) = (yi |yj ) .
(a) Montrer que (x1 , . . . , xr ) est libre si et seulement si (y1 , . . . , yr ) est libre.
(b) En déduire que dim(F ) = dim(G) .
7.6
(Pierre Michelet)
1. Trouver les plans tangents à la surface d’équation z 2 = x y et passant par la droite
d’équations : x = 2 et y + z = 1 .
1
2. (a) Montrer que ch(x)+x
n e−x est, pour tout n ∈ N , intégrable sur [0, +∞[.
(b) Existence et valeur de limn→+∞
R +∞
0
1
ch(x)+xn e−x
dx .
PSI-Pasteur
7.7
30/32
Mathématiques, oral 2016
(Alban Planchat)


−2
2 −1

5 −3
1. Soit A = −4
.
2 −2 −1
(a) Déterminer les éléments propres de A. A est-elle diagonalisable ?


1 1 0


(b) Montrer que A est semblable à 0 1 1 .
0 0 1
2. Soit g une application continue sur [0, 1]. Pour x ∈ [0, 1] on pose : G(x) =
1 R1
2 0
|x−t| g(t) dt .
(a) Montrer que G est de classe C 2 et calculer G00 .
(b) En déduire l’existence de f (x) = G(x) + a x + b telle que f 00 = g et f (0) = f (1) = 0 .
Y a-t-il unicité de f ?
7.8
(Julian Wauquiez)


3 0 1

1. Soit A = 1 2 1
.
1 0 3
(a) Trouver un polynôme annulateur de A, P (X) .
(b) Trouver les valeurs propres de A.
(c) Quel est le reste de la division euclidienne de X n par P (X) ?
(d) En déduire An .
2. Pour n ∈ N , soit an =
(a) Comparer
1+t2
2
R 1 (t2 +1)n
0
2n
dt .
et t.
(b) Déterminer le rayon de convergence de
(c) Mettre
8
P+∞
n=0
P
an xn .
an xn sous forme d’intégrale.
ENSG-Télécoms
8.1
(Jean Khaled)




a b c
0 1 0




c
a
b
1. (sur 13 points) Soit a, b, c trois réels, A = 
, et J = 0 0 1.
b c a
1 0 0
(a) Exprimer A en fonction de J et J 2 .
(b) Diagonaliser J puis A.
x0 = a x + b y + c z
(c) Résoudre le système  y 0 = c x + a y + b z
 0
z = bx + cy + az



2. (sur 7 points) Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n, p).
Loi de X ? Espérance ? Variance ? Et une autre question, oubliée et non traitée.
PSI-Pasteur
9
31/32
Mathématiques, oral 2016
ENSEA
9.1
(Tiffany Bec)
1. Soit A ∈ Mn (R) définie par Ai,j = i j 2 .
(a) Déterminer les valeurs propres de A, sans utiliser le polynôme caractéristique.
(b) A est elle diagonalisable ?
(c) Donner une base de vecteurs propre de A.
2. Le nombre N de petits dans une portée de lapins, suit une loi de Poisson de paramètre
λ. La probabilité qu’un lapinot soit un mâle vaut p. Soit X le nombre de mâles dans la
portée, et Y le nombre de femelles.
(a) Montrer que P(X = k|N = n) =
n
k
pk q n−k
(b) Donner la loi conjointe de (N, X).
(c) Déterminer les lois de X et de Y .
9.2
(Maxime Couderc)
0
1
0
1. Soit A = 
3 0
0

3
1
0
0
0
2
2
0
0
0

.
1
3

(a) A est elle diagonalisable ?
(b) Déterminer la limite de An quand n tend vers l’infini.
2. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que f ∈ GL(E) si, et seulement si, pour tous sous-espaces A et B de E,
L
L
E = A B =⇒ E = f (A) f (B) .
Est-ce toujours vrai si l’on n’est plus en dimension finie ?
2
3. On pose f (x, t) =
e−t x
1+x2
sur R+ × R+ .
(a) Montrer que x 7→ f (x, t) est intégrable sur R+ .
(b) On pose F (x) = 0+∞ f (x, t) dt .
Montrer que F est continue sur R+ et de classe C 1 sur R∗+ .
R
(c) Exprimer F (x) en fonction de G(t) =
9.3
√2
π
R t −v2
e
0
dv .
(Cyrat Megriche)
!
0 In
Soit A ∈ Mn (R) admettant n valeurs propres positives, et B =
.
A 0
1. Chercher les valeurs propres de B.
2. A est-elle diagonalisable ?
3. B est-elle diagonalisable ?
PSI-Pasteur
10
10.1
Mathématiques, oral 2016
32/32
ESM Saint-Cyr
(Tiffany Bec)
1. Trouver une suite de fonctions (fn ) telle que :
(i) (fn ) converge simplement vers 0.
(ii) ∀ n ∈ N , ∀R x ∈ R , |fn (x)| 6 1
(iii) limn→+∞ 0+∞ fn (x) dx = 1
Plus une question sur le calcul numérique d’une intégrale (méthodes rectangle ou trapèze).
2. Soit f : R2 [X] → R3 ; P 7→ (P (1), P 0 (1), P 00 (1)) .
(a) Montrer que f est une application linéaire.
(b) Montrer que f est bijective.
(c) Déterminer les antécédents par f de la base canonique de R3 .
(d) Écrire un programme en Python prenant comme argument un triplet (a, b, c) et renvoyant les coefficients (d, e, f ) du polynôme P = d X 2 +e X +f antécédent de (a, b, c).
11
11.1
ICNA
(Thomas Perret)
1. Soit ξ(x) =
P+∞ 1
n=1 nx
.
(a) Donner l’ensemble de définition de ξ.
(b) Étudier la continuité et la dérivabilité de ξ.
(c) Montrer que
R +∞
2
(ξ(x) − 1) dx =
2. card On (R) ∩ (Mn (Z) ?
P+∞
1
n=2 n2 ln(n)
.