Récolte 2016

PSI-Pasteur Mathématiques, oral 2016 1/32
1 Mines-Ponts
1.1 (Paul Béguin)
1. Soit f(x) = R+∞
xe−t
tdt.
(a) Montrer que fest définie et dérivable sur ]0,+∞[, puis donner expression de f0.
(b) Trouver un équivalent de f(x)quand xtend vers 0 , et quand xtend vers +∞.
(c) Montrer que fest intégrable et déterminer la valeur de R+∞
0f(x)dx.
2. Soit Eun espace euclidien.
(a) Démonstration de l’inégalité triangulaire, et cas d’égalité.
(b) Soient uet vdans On(E).
Montrer que si u(x) + v(x)=2xalors u(x) = xet v(x) = x.
(c) « Il y avait une troisième question. . . »
1.2 (Caroline Bettinger)
1. Soit fune application de classe Cnsur un intervalle I. Montrer que si fs’annule en n
points distincts de I, alors f(n−k)s’annule en au moins kpoints distincts de I. Que peut-on
en déduire concernant l’équation ex=P(x)où P∈R[X]?
2. Soit Eun espace euclidien et sun endomorphisme symétrique de E.
Montrer que sest k-lipschitzienne si et seulement si : ∀λ∈Sp(s),|λ|6k.
1.3 (Arielle Lohat)
1. Soit a < b ,α∈R, et n∈N. Convergence et calcul de Rb
a(b−t)α(t−a)ndt.
2. On considère des variables aléatoires indépendantes X1, . . . , Xn,suivant toutes la même
loi géométrique de paramètre p.
(a) Montrer que min16k6nXksuit une loi géométrique.
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence)
(b) « Il fallait en déduire une certaine probabilité »
1.4 (Vincent Martin)
1. Soit fn(x) = 3nx2n−x2n+1 .
(a) Étudier la convergence de fnsur [0,1] .
(b) Comparer lim
n→+∞Z1
0fn(x)dxet Z1 0lim
n→+∞fn(x)dx.
2. Pour P∈Rn[X], on pose ϕ(P)(X) = P(6 −X).
(a) Déterminer les valeurs propres de ϕ.
(b) ϕest-il diagonalisable ?

PSI-Pasteur Mathématiques, oral 2016 2/32
1.5 (Cyrat Megriche)
1. Soit f(x) = R+∞
xe−t
tdt.
(a) Montrer que fest définie et dérivable sur ]0,+∞[, puis donner expression de f0.
(b) Trouver un équivalent de f(x)quand xtend vers 0, et quand xtend vers +∞.
(c) Montrer que fest intégrable et donner une expression de R+∞
0f(x)dx.
2. Soit Eun espace euclidien, S(E)l’ensemble des endomorphismes symétriques de E, et
S+(E)l’ensemble des endomorphismes symétriques dont les valeurs propres sont toutes
positives.
(a) Soit f∈S(E). Montrer que E=Ker(f)⊕Im(f).
(b) Soit f∈S+(E). Montrer qu’il existe h∈S+(E)tel que h2=f.
(c) Soient fet gdans S+(E).
Montrer que Ker(f+g) = Ker(f)∩Ker(g)et Im(f+g) = Im(f) + Im(g).
1.6 (Pierre Michelet)
1. Soit bet cdeux réels strictement positifs, et (an)une suite de réels, telle que an=o(cn)
quand ntend vers l’infini. On pose f(x) = P+∞
n=0 |x−an|
bn.
(a) Trouver une condition sur bpour que fsoit définie sur un domaine Dnon vide.
(b) Étudier la continuité, puis la dérivabilité, de fsur D.
2. Soit Hl’ensemble des matrices de Mn(C)de trace nulle, et Nl’ensemble des matrices de
Mn(C)nilpotentes .
(a) Ces deux ensembles sont-ils des espaces vectoriels ?
(b) Montrer que l’espace engendré par Nest inclus dans H.
(c) L’inclusion ci-dessus est-elle une égalité ?
1.7 (Alban Planchat)
1. Soit A∈ Mn(R). On suppose que Aest symétrique positive, c’est-à-dire que pour tout
vecteur non nul X∈Rn,(tX A X)1,1>0. Soit λmla plus grande valeur propre de A.
Déterminer la limite de la suite définie par B0=1
λmInet Bp+1 =Bp(2 In−A Bp).
2. Donner le développement en série entière de (1+x)α, puis un équivalent quand ntend vers
l’infini de an=α(α−1)···(α−n+1)
n!.
1.8 (Floraline Richard)
1. Montrer que lim
n→+∞nZ+∞
0sin(tn)dt=Z+∞ 0
sin(t)
tdt.
2. Soit fet gdeux endomorphismes d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie, tels que
f2=g2=IdEet f◦g+g◦f= 0 . Montrer que fet gpeuvent être représentés, dans
une base adéquate de E, par In0
0−In!et 0In In0!.

PSI-Pasteur Mathématiques, oral 2016 3/32
1.9 (Axel Trollé)
1. Soit A∈ Mn(R)et B= A A
OnIn!.
Montrer que Best diagonalisable si et seulement si Aest diagonalisable et 1/∈Sp(A).
2. Soit un=ln(n+1)
ln(n)n.
(a) Déterminer la limite de unquand ntend vers l’infini.
(b) Quelle est la nature de Pun−1
n?
1.10 (Jean-Noël Tuccella)
1. Soit fet gdeux fonctions continues sur R, avec f◦gdécroissante.
Montrer que f◦get g◦fadmettent un unique point fixe.
2. a, b, c, étant des complexes non nuls, étudier la diagonalisabilté de 
0a b
1/a 0c
1/b 1/c 0
.
1.11 (Jeanne d’Albret)
1. Pour n∈N, soit pnle nombre de partitions de [[1, n]].
(a) Montrer qu’en posant p0= 1 on a : ∀n∈N∗, pn+1 =Pn
k=0 n
kpk.
(b) Montrer que f(x) = P+∞
n=0
pn
n!xna un rayon de convergence R>1.
(c) Trouver une expression de f(x)sur ]−R, R[.
2. Soit M=
a c . . . c
b.......
.
.
.
.
.......c
b . . . b a
∈ Mn(C), avec b c 6= 0 et b6=c.
(a) Calculer 
a+t c +t . . . c +t
b+t.......
.
.
.
.
.......c+t
b+t . . . b +t a +t
pour t∈C.
En déduire le polynôme caractéristique de M.
(b) Déterminer les valeurs propres de M.Mest-elle diagonalisable ?
2 Centrale 1
2.1 (Floriane Azar)
Pour tout n∈N∗on pose un=Pn
k=1 1
(n+k)α.
1. Montrer que untend vers 0 pour α > 1.
2. Déterminer la limite de unpour α= 1 .
3. Discuter selon αla nature de la série de terme général un.

PSI-Pasteur Mathématiques, oral 2016 4/32
2.2 (Tiffany Bec)
1. Donner une condition pour qu’une fonction soit développable en série entière en 0.
2. Soit a∈Ret fune application dérivable de Rdans Rvérifiant : ∀x∈R, f0(x) = f(ax).
(a) Montrer que fest de classe C∞et donner l’expression de f(n).
(b) Montrer que fn’est pas développable en série entière si |a|>1.
(c) Montrer que fest développable en série entière si |a|61.
Que dire plus particulièrement lorsque |a|= 1 ?
2.3 (Caroline Bettinger)
Soit n∈N. Pour tout k∈[[0, n]] on pose Pk= n
k!Xk(1 −X)n−k.
1. Montrer que (Pk)06k6nest une base de Rn[X].
2. Calculer Pn
k=0 k Pket Pn k=0 k2Pk.
3. Pour j∈[[0, n]] , exprimer Xjdans la base (Pk)06k6n.
2.4 (Camille Chadian)
On pose I(α) = Z+∞
0
sin(α x)
exp(x)−1dx.
1. Justifier l’existence de cette intégrale.
2. Exprimer I(α)comme somme d’une série.
3. Déterminer un équivalent de I(α)quand αtend vers +∞.
2.5 (Alexandre Cornic)
1. On réalise Nlancers d’une pièce équilibrée. Soit X(resp. Y) la variable aléatoire donnant
le nombre de "Face" (resp. de "Pile") obtenus.
(a) Rappeler la définition de la covariance.
(b) Calculer Cov(X, Y ).Xet Ysont-elles des variables aléatoires indépendantes ?
2. Maintenant Nest une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre 1/2.
(a) Calculer P(X= 0) .
(b) « Il y avait d’autres questions »
2.6 (Jean Cresp)
On considère F(x) = Z+∞
1
e−x t
√1 + t2dt.
1. Déterminer le domaine de définition Dde F.
2. Montrer que Fest de classe C∞sur D.
3. Montrer que Fest intégrable sur D.
4. Montrer que F(x)∼−ln(x)quand xtend vers 0.

PSI-Pasteur Mathématiques, oral 2016 5/32
2.7 (Cléo Deroo)
Soit a∈R∗et dnsa n-ième décimale.
1. Donnez le rayon de convergence de P+∞
n=0 dnxn.
2. Soit bn=Pn
k=0 dkdn−k. Donnez le rayon de convergence de P+∞ n=0 bnxn.
Que dire de P+∞
n=0 bn10−n?
3. Soit f:x7→ P+∞
n=0 dnxn.
Montrez que si dnest périodique à partir d’un certain rang, alors fest rationnelle.
2.8 (Sophia Ferrandier)
Soit a∈R. Pour n∈N∗et x > 0on pose fn(x) = naxe−n x.
1. Condition nécessaire et suffisante sur apour que Pfnconverge uniformément sur R∗
+?
2. Condition nécessaire et suffisante sur apour que Pfnconverge normalement sur R∗
+?
3. Montrer que, pour tout a,Pfnconverge simplement sur R∗
+, et que la somme est continue.
4. « Il y avait une dernière question »
2.9 (Arielle Lohat)
Soit y∈Rn,y6= 0 . On définit fsur Rnpar f(x) = Pn
i=0 (yix−xiy).
1. Montrer que Pn
i=0 yiest valeur propre de f, et donner l’espace propre associé.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur ypour que fsoit diagonalisable.
3. 
y1y1. . . y1
y2y2. . . y2
.
.
..
.
..
.
.
ynyn. . . yn
et 
0. . . 0 0
0. . . 0 0
.
.
..
.
..
.
.
0. . . 0Pn
i=0 yi
sont-elles semblables ?
2.10 (Cyrat Megriche)
Soit Γl’arc paramétré par 
x(t) = 1 + cos(t)cos(t)
y(t) = 1 + cos(t)sin(t)
z(t) = 4 sin t
2
1. Déterminer les points réguliers de Γ, et le vecteur tangent unitaire en ces points.
2. Montrer que ce vecteur tangent forme un angle constant avec l’axe (Oz).
3. Calculer la longueur de Γ.
4. Tracer les projetés orthogonaux de Γsur les plans (O, y, z),(O, z, x),(O, x, y).
2.11 (Thomas Perret)
1. Donner la définition d’une fonction génératrice.
2. Donner la loi de Poisson, son espérance, sa variance.
3. Donner la fonction génératrice de la loi de Poisson, et préciser son domaine de définition.
4. Montrer que si Xsuit une loi de Poisson de paramètre λ, alors P(X>2λ)6e
4λ.
5. Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev.