Exercices pour le TP du 18 mars

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #8, 18 mars
Exercice 1. Soit V un espace vectoriel non-nul sur un corps F .
(a) Montrez que V possède une base comme indiqué au cours.
(b) Soit S et T deux bases de V . Si |S| < ∞, alors montrez que |T | = |S|.
[Indice : Montrez que si E est une base de V et X = {x1 , . . . , xn } ⊂ V est un ensemble
linéairement indépendant, alors on peut remplacer n éléments de E par x1 , . . . , xn et
trouvez une nouvelle base de V qui a la même cardinalité avec E. (En particulier, E
contient au mois n éléments.)]
(c) Si V est de type fini comme un F -module, alors montrez que chaque base de F a la
même cardinalité finie. (Cette cardinalité est appelée la dimension de V et elle est
dénotée par dim(V ).)
(d) Montrez que dim(F n ) = n et concluez que F n ∼
= F m si et seulement si n = m.
Exercice 2. Soit A un anneau avec unité 1 6= 0.
(a) (ex. 5, p. 343) Si I est un idéal de A et M un A-module, on pose
( n
)
X
IM =
ij mj : n ∈ N, i1 , . . . , in ∈ I, m1 , . . . , mn ∈ M .
j=1
Montrez que IM est un sous-module de M .
(b) (ex. 12, p. 350) Montrez que IAn = I n et concluez que An /IAn ∼
= (A/I)n comme
A-modules.
(c) (ex. 2, p. 356) Si A est commutatif, alors An ∼
= Am si et seulement si n = m. (Donc, le
rang d’un A-module libre est bien défini.)
[Indice : Si ϕ : An → Am est un isomorphisme de A-modules et I est un idéal de A,
alors montrez que x ∈ IAn si et seulement si ϕ(x) ∈ IAm .]
(d) En supposant que M est noethérien et qu’il est libre sur un ensemble S ⊂ M , montrez
que |S| < ∞.
Exercice 3 (ex. 27, p. 358). Soit M = Z × Z × · · · , qui est un Z-module. On considère son
anneau d’endomorphismes A = EndZ (M ). On définit ϕ1 , ϕ2 ∈ A par
ϕ1 (a1 , a2 , a3 , . . . ) = (a1 , a3 , a5 , . . . ) et ϕ2 (a1 , a2 , a3 , . . . ) = (a2 , a4 , a6 , . . . ).
(a) Montrez que {ϕ1 , ϕ2 } est une base du A-module A.
[Indice : Définissez les applications ψ1 et ψ2 par ψ1 (a1 , a2 , . . . ) = (a1 , 0, a2 , 0, . . . ) et
ψ2 (a1 , a2 , . . . ) = (0, a1 , 0, a2 , . . . ). Vérifiez que ϕ1 ◦ψ1 = 1 = ϕ2 ◦ψ2 , ϕ1 ◦ψ2 = 0 = ϕ2 ◦ψ1
et ψ1 ◦ϕ1 +ψ2 ◦ϕ2 = 1. Utiliser ces relations pour montrer que ϕ1 , ϕ2 sont indépendants
et engendrent A comme un A-module.]
(b) Utiliser la partie (a) pour montrer que A ∼
= A2 et déduisez que A ∼
= An pour tout
n ∈ N. (Donc le rang d’un module sur un anneau non-commutatif n’est pas toujours
bien-défini.)
Exercice 4. Soient A un commutatif et unitaire et M un A-module libre de rang n ≥ 1. Soit
aussi S = {s1 , . . . , sn } un sous-ensemble de M qui l’engendre. Montrez que S est linéairement
indépendant comme suivant :
1
2
(i) Soit e1 , . . . , en une base de M . On peut écrire si = ui,1 e1 + · · · + ui,n en pour tout
i ∈ {1, . . . , n}, où les coefficients ui,j appartiennent à A. De même, on peut écrire
ei = vi,1 s1 + · · · + vi,n sn pour tout i ∈ {1, . . . , n}, où les coefficients vi,j appartiennent
à A. Montrez que V U = I, où U et V sont les matrices carrés de taille n × n dont les
coefficients sont ui,j et vi,j , respectivement, et I est la matrice carré unitaire de taille
n × n.
(ii) Étante donnée une matrice C = (ci,j ) 1≤i≤n ∈ Mn×n (A), on définit son déterminant
1≤j≤n
X
det(C) :=
sgn(σ)c1,σ(1) c2,σ(2) · · · cn,σ(n) ,
σ∈Sn
où Sn dénote l’ensemble des permutations de {1, . . . , n} et sgn(σ) le signe de la permutation σ. Montrez que :
— det(CD) = det(C) det(D), où D est aussi dans Mn×n (A)
P ;
— si c1 , . . . , cn sont les lignes de C et on remplace ci par nj=1 aj cj , où a1 , . . . , an ∈ A,
alors le déterminant de la nouvelle matrice est égal à ai det(C).
(iii) Si on a que a1 s1 + · · · + an sn = 0 pour quelques a1 . . . , an ∈ A, alors montrez que
aj det(U ) = 0 pour chaque j ∈ {1, . . . , n}, où U est la matrice définie à la partie
(a). Déduisez que aj = 0 pour chaque j ∈ {1, . . . , n}, c’est-à-dire S est linéairement
indépendant.