Exercices pour le TP du 18 mars

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #8, 18 mars
Exercice 1. Soit Vun espace vectoriel non-nul sur un corps F.
(a) Montrez que Vpossède une base comme indiqué au cours.
(b) Soit Set Tdeux bases de V. Si |S|<∞, alors montrez que |T|=|S|.
[Indice : Montrez que si Eest une base de Vet X={x1, . . . , xn} ⊂ Vest un ensemble
linéairement indépendant, alors on peut remplacer néléments de Epar x1, . . . , xnet
trouvez une nouvelle base de Vqui a la même cardinalité avec E. (En particulier, E
contient au mois néléments.)]
(c) Si Vest de type fini comme un F-module, alors montrez que chaque base de Fa la
même cardinalité finie. (Cette cardinalité est appelée la dimension de Vet elle est
dénotée par dim(V).)
(d) Montrez que dim(Fn) = net concluez que Fn∼
=Fmsi et seulement si n=m.
Exercice 2. Soit Aun anneau avec unité 16= 0.
(a) (ex. 5, p. 343) Si Iest un idéal de Aet Mun A-module, on pose
IM =(n
X
j=1
ijmj:n∈N, i1, . . . , in∈I, m1, . . . , mn∈M).
Montrez que IM est un sous-module de M.
(b) (ex. 12, p. 350) Montrez que IAn=Inet concluez que An/IAn∼
=(A/I)ncomme
A-modules.
(c) (ex. 2, p. 356) Si Aest commutatif, alors An∼
=Amsi et seulement si n=m. (Donc, le
rang d’un A-module libre est bien défini.)
[Indice : Si ϕ:An→Amest un isomorphisme de A-modules et Iest un idéal de A,
alors montrez que x∈IAnsi et seulement si ϕ(x)∈IAm.]
(d) En supposant que Mest noethérien et qu’il est libre sur un ensemble S⊂M, montrez
que |S|<∞.
Exercice 3 (ex. 27, p. 358).Soit M=Z×Z× · · · , qui est un Z-module. On considère son
anneau d’endomorphismes A= EndZ(M). On définit ϕ1, ϕ2∈Apar
ϕ1(a1, a2, a3, . . . ) = (a1, a3, a5, . . . )et ϕ2(a1, a2, a3, . . . ) = (a2, a4, a6, . . . ).
(a) Montrez que {ϕ1, ϕ2}est une base du A-module A.
[Indice : Définissez les applications ψ1et ψ2par ψ1(a1, a2, . . . ) = (a1,0, a2,0, . . . )et
ψ2(a1, a2, . . . ) = (0, a1,0, a2, . . . ). Vérifiez que ϕ1◦ψ1=1=ϕ2◦ψ2,ϕ1◦ψ2=0=ϕ2◦ψ1
et ψ1◦ϕ1+ψ2◦ϕ2= 1. Utiliser ces relations pour montrer que ϕ1, ϕ2sont indépendants
et engendrent Acomme un A-module.]
(b) Utiliser la partie (a) pour montrer que A∼
=A2et déduisez que A∼ =Anpour tout
n∈N. (Donc le rang d’un module sur un anneau non-commutatif n’est pas toujours
bien-défini.)
Exercice 4. Soient Aun commutatif et unitaire et Mun A-module libre de rang n≥1. Soit
aussi S={s1, . . . , sn}un sous-ensemble de Mqui l’engendre. Montrez que Sest linéairement
indépendant comme suivant :
1

2
(i) Soit e1, . . . , enune base de M. On peut écrire si=ui,1e1+· · · +ui,nenpour tout
i∈ {1, . . . , n}, où les coefficients ui,j appartiennent à A. De même, on peut écrire
ei=vi,1s1+· · · +vi,nsnpour tout i∈ {1, . . . , n}, où les coefficients vi,j appartiennent
àA. Montrez que V U =I, où Uet Vsont les matrices carrés de taille n×ndont les
coefficients sont ui,j et vi,j , respectivement, et Iest la matrice carré unitaire de taille
n×n.
(ii) Étante donnée une matrice C= (ci,j )1≤i≤n
1≤j≤n
∈Mn×n(A), on définit son déterminant
det(C) := X
σ∈Sn
sgn(σ)c1,σ(1)c2,σ(2) · · · cn,σ(n),
où Sndénote l’ensemble des permutations de {1, . . . , n}et sgn(σ)le signe de la per-
mutation σ. Montrez que :
—det(CD) = det(C) det(D), où Dest aussi dans Mn×n(A);
— si c1,...,cnsont les lignes de Cet on remplace cipar Pn
j=1 ajcj, où a1, . . . , an∈A,
alors le déterminant de la nouvelle matrice est égal à aidet(C).
(iii) Si on a que a1s1+· · · +ansn= 0 pour quelques a1...,an∈A, alors montrez que
ajdet(U)=0pour chaque j∈ {1, . . . , n}, où Uest la matrice définie à la partie
(a). Déduisez que aj= 0 pour chaque j∈ {1, . . . , n}, c’est-à-dire Sest linéairement
indépendant.