Exercices de synthèse

Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 1
13
Les activités d’apprentissage de cet ouvrage visaient
à développer l’élément de compétence suivant :
UTILISER LE CALCUL DIFFÉRENTIEL
ET INTÉGRAL DANS LA MODÉLISATION
DE SITUATIONS PROPRES AUX TECHNIQUES.
Les composantes particulières de cette compétence sont :
Analyser des phénomènes divers à l’aide du taux de varia-
tion moyen.
Analyser des phénomènes divers à l’aide du taux de varia-
tion ponctuel.
Résoudre des problèmes faisant appel à la dérivée d’une
fonction polynomiale.
Résoudre des problèmes faisant appel à la dérivée d’un
produit ou d’un quotient mettant en cause des fonctions
diverses.
Faire l’analyse complète d’une fonction et construire sa
représentation graphique.
Trouver les valeurs optimales d’une situation modélisable
par une fonction algébrique ou transcendante.
Résoudre des problèmes faisant appel à la dérivée d’une
fonction composée.
Analyser le comportement d’un phénomène à partir de son
taux de variation.
Analyser des situations nécessitant le calcul de l’aire sous
une courbe en utilisant une somme de Riemann.
Utiliser l’intégrale indéfinie dans la modélisation de situa-
tions diverses.
Appliquer le théorème fondamental du calcul différentiel et
intégral dans des situations diverses.
Utiliser les équations différentielles à variables séparables
et l’intégration pour modéliser des situations diverses.
Auto-évaluation
Exercices
de synthèse

2 Auto-évaluation- Exercices de synthèse
EXERCICE 13.1
Dériver les fonctions suivantes :
a)f(x) = x3 + 2x – 4 b)
fx x
x
()=+
2
2
4
c)q(t) = 36 e–2td)
fx x
x
() cos
=2
e)pt t
et
()=250
2f)v(t) = 12 sin(2πt + π/2)
g)f(x) = x2 cos(2x)h)s(t) = e–0,5t sin(2πt)
EXERCICE 13.2
Effectuer les intégrales indéfinies suivantes :
a)
()122 −
∫xdx
b)
edt
t−
∫05,
c)
sin( )120 2π+π
∫tdt
d)
dt t12−
∫
e)
sin2π
∫tdt
f)
xxdx
2
2
1−
∫
EXERCICE 13.3
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a)
dy
dx x=−23
b)
dy
dx x
=+
2
23
c)
dy
dx xy=
d)x2 dy = 3y dx
e)dy = e–2t dt f)dy
dx yx=sin
EXERCICE 13.4
Effectuer les intégrales définies suivantes :
a)
edx
x2
0
1
∫
b)
cos2
0
2
xdx
π
∫
EXERCICE 13.5
Calculer l’aire sous la courbe de la fonction f dans
l’intervalle donné.
a)f(x) = e–0,5x dans l’intervalle [0; 4]
b)p(t) = sin(t) dans l’intervalle [0; π/2]
EXERCICE 13.6
Dériver par rapport à t et isoler le taux de variation
demandé dans les expressions suivantes :
a)x2 + y2 = 2, trouver dy/dt
b)V = πh3, trouver dh/dt
c)
sinθ=6
x
, trouver dθ/dt
d)
cosθ= x
4
, trouver dθ/dt
EXERCICE 13.7
La position d’un mobile en déplacement rectiligne par
rapport à un point fixe est donnée par :
s(t) = 2t3 – 18t2 + 48t + 20 m.
a)Calculer la position du mobile au temps 0.
b)Trouver la fonction décrivant la vitesse du mobile
au temps t.
c)Trouver la fonction décrivant l’accélération du
mobile au temps t.
d) Quelle est la vitesse du mobile au temps 0? Quelle
est son accélération?
e)À quels moments le mobile est-il arrêté? Indiquer
sa position et son accélération à ces instants.
f)Pourquoi le mobile change-t-il de position entre
ces deux instants, puisque sa vitesse est nulle?
g)À quel moment l’accélération du mobile est-elle
nulle? Indiquer la position et la vitesse du mobile
à cet instant.
h)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la position du mobile, la fonction décrivant sa
vitesse et la fonction décrivant son accélération
dans l’intervalle [0; 6].
i)Décrire le comportement du mobile dans l’inter-
valle de temps [0; 6].
EXERCICE 13.8
D’après les spécifications du fabri-
cant, la fréquence de rotation de la
roue d’inertie d’un appareil t minutes
après la mise sous tension est décrite
par :ω(t) = 500(1 – e–0,4t) t/min
a)Déterminer la valeur stable de cette situation.
b)À l’aide de la fonction dérivée, évaluer l’accéléra-
tion instantanée de la roue à l’instant de la mise
sous tension.
c)Si, à partir de la mise sous tension, l’accélération
demeurait constante, à quel moment la fréquence
de rotation de la roue atteindrait-elle la valeur
stable?
d)Évaluer l’accélération instantanée de la roue deux
minutes après la mise sous tension.
e)L’accélération est-elle croissante ou décroissante?
f)Représenter graphiquement la fréquence de rota-
tion de la roue à partir de la mise sous tension.

Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 3
g)Représenter graphiquement l’accélération de la roue
à partir de la mise sous tension.
La vitesse de la roue, après la mise hors tension de
l’appareil est décrite par :
ω(t) = 500e–0,4t t/min.
h)Déterminer la valeur stable de cette situation.
i)À l’aide de la fonction dérivée, évaluer l’accéléra-
tion instantanée de la roue à l’instant de la mise
hors tension.
j)Si, à partir de la coupure de l’alimentation, l’accé-
lération demeurait constante, à quel moment la
fréquence de rotation de la roue atteindrait-elle la
valeur stable?
k)Évaluer l’accélération instantanée de la roue deux
minutes après la mise hors tension.
l)L’accélération est-elle croissante ou décroissante?
m)Représenter graphiquement la fréquence de rota-
tion de la roue à partir de la coupure de l’alimen-
tation.
n)Représenter graphiquement l’accélération de la roue
à partir de la coupure de l’alimentation.
EXERCICE 13.9
Un mobile, initialement au repos, a une accélération
constante de 0,25 m/s2.
a)Représenter graphiquement l’accélération en fonc-
tion du temps t.
b)Représenter graphiquement et déterminer la vi-
tesse de ce mobile après trois secondes.
c)Représenter graphiquement et déterminer la vi-
tesse de ce mobile en fonction du temps t.
d)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la vitesse au temps t.
e)Représenter graphiquement et déterminer la posi-
tion après trois secondes.
f)Représenter graphiquement et déterminer la posi-
tion de ce mobile en fonction du temps t.
g)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la position au temps t.
EXERCICE 13.10
On lance un projectile verticalement à partir du sol
avec une vitesse initiale de 49 m/s.
a)Quel est le modèle mathématique décrivant la vi-
tesse du projectile au temps t?
b)Quelle est la vitesse à trois secondes?
c)Quelle est la fonction décrivant la position par
rapport au sol au temps t?
d)Quelle est la position par rapport au sol (hauteur)
du projectile à trois secondes?
e)Quelle sera la hauteur maximale atteinte par le
projectile?
f)Combien de temps après avoir été lancé le projec-
tile retombera-t-il au sol?
g)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la vitesse et la fonction décrivant la hauteur du
projectile dans l’intervalle de validité des modèles.
EXERCICE 13.11
Un réservoir cylindrique initiale-
ment vide est alimenté par une
conduite dont le débit est réglé par
un mécanisme d’horlogerie. Ce
mécanisme se déclenche lorsque
le niveau atteint un seuil critique
prédéterminé. Initialement,
l’ouverture de la vanne permet un
débit de 200 litres par minute du-
rant une minute puis le mécanisme
d’horlogerie prend la relève et di-
minue progressivement l’ouver-
ture de la vanne de telle sorte que
le débit est par la suite inverse-
ment proportionnel au temps. Le mécanisme ferme
complètement la valve d’entrée après dix minutes.
a)Décrire mathématiquement et représenter graphi-
quement le débit de liquide en fonction du temps
après le déclenchement du mécanisme.
b)En prenant un pas unitaire et à l’aide de la diffé-
rentielle, déterminer approximativement la varia-
tion du volume après l’ouverture automatique de
la valve.
c)Calculer la valeur exacte de la variation de volume
durant l’intervalle [0;10].
d)Déterminer un modèle mathématique décrivant la
variation de volume en fonction du temps.
e)Représenter graphiquement ce modèle.
EXERCICE 13.12
L’eau d’un récipient est portée à ébulli-
tion puis on laisse refroidir le liquide en
mesurant la température durant la pé-
riode de refroidissement. On a déterminé
que le taux de variation de la température
est proportionnelle à la différence entre
la température de l’eau dans le récipient
et la température ambiante de 22°C. En
considérant la minute comme unité de mesure du temps,
on a établi que la constante de proportionnalité était de
–0,1.
Débit positif
Débit négatif

4 Auto-évaluation- Exercices de synthèse
a)À l’aide d’une équation différentielle, modéliser
mathématiquement cette situation.
b)Déterminer le modèle décrivant la température du
liquide au temps t.
c)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la température du liquide au temps t.
d)Identifier un changement que l’on pourrait appor-
ter au système et qui modifierait la valeur de la
constante de proportionnalité.
EXERCICE 13.13
Le réservoir d’un cabinet de toilette mesure 40 cm de
largeur, 20 cm d’épaisseur et 40 cm de hauteur. Ce
réservoir est muni d’un mécanisme qui, par le biais
d’un flotteur, contrôle l’ouverture de la valve d’entrée
d’eau au fur et à mesure que le niveau s’élève dans le
réservoir. La valve se ferme lorsque le niveau d’eau est
de 30 cm et, lorsqu’on actionne la chasse, le niveau
descend à 5 cm avant que le clapet ne se ferme et que le
mécanisme ne se déclenche. Lorsque la valve est ouverte
au maximum, le débit est de 1 litre par seconde.
(1 litre = 1 000 cm3).
a)Décrire cette situation physique par une équation
différentielle.
b)Déterminer la fonction décrivant le niveau de li-
quide en fonction du temps.
EXERCICE 13.14
La position initiale d’un mobile est à 40 m d’un point
fixe et a une vitesse de 64 m/s. Il subit durant 12
secondes une accélération décrite en fonction du temps t
par : a(t) = 4t – 24 m/s2.
a)Représenter graphiquement la fonction décrivant
l’accélération durant l’intervalle de temps [0; 12].
b)Décrire mathématiquement la vitesse du mobile en
fonction du temps durant cet intervalle de temps.
c)Quelle doit être la constante d’intégration pour
décrire cette situation? Justifier.
d)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la vitesse durant l’intervalle de temps [0; 12].
e)Décrire mathématiquement la position du mobile
en fonction du temps.
f)Représenter graphiquement la fonction décrivant
la position durant l’intervalle de temps [0; 12].
EXERCICE 13.15
Un corps de 1 kg, initialement au repos, subit pendant
12 secondes une accélération décrite par :
a(t) = 12 – t m/s2.
a)Sachant que l’énergie cinétique d’un corps en
mouvement est donnée par Emv
c=1
22, trouver la
fonction décrivant l’énergie cinétique de ce corps
en fonction du temps.
b)Calculer l’énergie cinétique à 0 s, 2 s, 8 s.
c)Trouver la fonction décrivant le taux de variation
de l’énergie cinétique durant ces 12 secondes.
d)Calculer le taux de variation de l’énergie cinétique
à 0 s, 2 s, 8 s.
EXERCICE 13.16
Soit la fonction définie par la règle de correspondance :
f(x) = 3x2 – 36x + 96.
a)Trouver sa fonction dérivée.
b)Calculer la pente de la tangente à la fonction f aux
points d’abscisse 0, 2 et 8.
c)Trouver en quels points la tangente est horizon-
tale.
d)Trouver dans quels intervalles la fonction est crois-
sante, décroissante.
e)Représenter graphiquement la fonction.
EXERCICE 13.17
Soit la fonction f(x) = x2 – 4x + 5.
a)Trouver l’équation de la sécante passant par les
points d’abscisses x = 2 et x = 3.
b)Trouver l’équation de la droite tangente au graphi-
que de la fonction au point d’abscisse x = 3.
c)Trouver l’équation de la droite normale au graphi-
que de la fonction au point d’abscisse x = 3.
d)Représenter graphiquement la fonction, la sécante,
la tangente et la normale obtenues précédemment.
EXERCICE 13.18
La position par rapport à un point fixe d’une particule
excitée électriquement est donnée par :
s(t) = t3 – 15t2 + 72t m,
où t est mesuré en secondes.
a)Trouver la fonction décrivant la vitesse de la par-
ticule au temps t.
b)Calculer la vitesse à t = 0 s, t = 1 s et t = 5 s.
c)Trouver la fonction décrivant l’accélération de la
particule au temps t.
d)Calculer l’accélération à t = 0 s, t = 1 s et t = 5 s.
e)Décrire la trajectoire de la particule et représenter
graphiquement les fonctions décrivant la position,
la vitesse et l’accélération de la particule.

Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 5
EXERCICE 13.19
Soit la fonction définie par : f(x) = ex cos x.
a)Trouver la fonction dérivée.
b)Trouver l’équation de la droite tangente au graphi-
que au point d’abscisse x = π/2.
c)Trouver en quel(s) point(s) la tangente est horizon-
tale.
d)Identifier les intervalles de croissance et de dé-
croissance de la fonction dans l’intervalle [0; 2π].
EXERCICE 13.20
Une tige de cuivre mesure 240 cm à 0°C.
a)Déterminer la longueur de la tige en fonction de la
température.
b)Calculer la longueur de la tige à 50°C.
c)Utiliser la différentielle pour calculer la dilatation
d’une tige de 3,8 m qui subit une élévation de
température de 30°C.
EXERCICE 13.21
On estime que la puissance requise pour opérer un
appareil durant la période transitoire qui suit sa mise en
marche est décrite en fonction du temps par :
Pt t
et
()=900 2 W
,
où P est en watts (W) et le temps t est en minutes. Cette
période transitoire dure 8 minutes, après quoi la puis-
sance requise demeure constante.
a)Trouver la dérivée de cette fonction.
b)Déterminer les intervalles de croissance et de dé-
croissance de la fonction.
c)Déterminer les intervalles de concavité vers le haut
et vers le bas et les points d’inflexion de la fonc-
tion.
d)Déterminer le domaine de la fonction mathémati-
que et le domaine de validité du modèle.
e)Déterminer les asymptotes et esquisser le graphi-
que de la puissance en fonction du temps.
EXERCICE 13.22
Un ressort est étiré de 5 cm et pour le maintenir dans
cette position, il faut exercer une force de 60 N.
60 N
a)Quel a été le travail effectué pour étirer le ressort à
cette longueur?
b)Quel travail supplémentaire faudrait-il effectuer
pour étirer le ressort de 3 cm de plus?
c)Quel travail faudrait-il effectuer pour étirer le res-
sort de 10 cm à partir de sa position d’équilibre?
d)Quel travail faudrait-il effectuer pour comprimer
le ressort de 8 cm à partir de sa position d’équili-
bre?
EXERCICE 13.23
Le polonium-210 a une demi-vie de 140 jours.
a)Un échantillon de 400 mg de polonium-210 vient
d’être produit. Décrire la quantité restante en fonc-
tion du temps t.
b) Calculer la masse restante 90 jours après la pro-
duction de cet échantillon.
c)Dans combien de temps la masse restante sera-t-
elle de 40 mg?
d)On dispose de deux échantillons de polonium-210.
La masse du premier est de 120 mg et celle du
second de 450 mg. Utiliser la différentielle pour
estimer la diminution de masse de chacun de ces
échantillons pour les 30 prochains jours.
EXERCICE 13.24
On a établi expérimentalement qu’en réalisant la réac-
tion chimique : 2N2O5 → 4NO2 + O2
à 45°, le taux de variation de la concentration du
pentoxyde d’azote est proportionnel à sa concentration
en mol/L et est défini par :
dNO dt
NO
25
25
1
0 0005
[]
[]
=− − , s
,
le temps étant mesuré en secondes.
a)En résolvant cette équation différentielle, cons-
truire un modèle mathématique décrivant la con-
centration du pentoxyde d’azote en fonction du
temps en secondes.
b)Utiliser ce modèle pour calculer après combien de
temps la concentration de pentoxyde d’azote sera
les 3/5 de la concentration initiale.
EXERCICE 13.25
La loi de Newton établit que le taux de
variation de la température d’un objet
est proportionnel à la différence de tem-
pérature entre cet objet et le milieu