Exercices de synthèse

Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 1
Auto-évaluation
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Exercices
de synthèse
Les activités d’apprentissage de cet ouvrage visaient
à développer l’élément de compétence suivant :
UTILISER LE CALCUL DIFFÉRENTIEL
ET INTÉGRAL DANS LA MODÉLISATION
DE SITUATIONS PROPRES AUX TECHNIQUES.
Les composantes particulières de cette compétence sont :
Analyser des phénomènes divers à l’aide du taux de variation moyen.
Analyser des phénomènes divers à l’aide du taux de variation ponctuel.
Résoudre des problèmes faisant appel à la dérivée d’une
fonction polynomiale.
Résoudre des problèmes faisant appel à la dérivée d’un
produit ou d’un quotient mettant en cause des fonctions
diverses.
Faire l’analyse complète d’une fonction et construire sa
représentation graphique.
Trouver les valeurs optimales d’une situation modélisable
par une fonction algébrique ou transcendante.
Résoudre des problèmes faisant appel à la dérivée d’une
fonction composée.
Analyser le comportement d’un phénomène à partir de son
taux de variation.
Analyser des situations nécessitant le calcul de l’aire sous
une courbe en utilisant une somme de Riemann.
Utiliser l’intégrale indéfinie dans la modélisation de situations diverses.
Appliquer le théorème fondamental du calcul différentiel et
intégral dans des situations diverses.
Utiliser les équations différentielles à variables séparables
et l’intégration pour modéliser des situations diverses.
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Auto-évaluation- Exercices de synthèse
EXERCICE 13.1
Dériver les fonctions suivantes :
a) f(x) = x3 + 2x – 4
b) f ( x ) =
x2
x2 + 4
c) q(t) = 36 e–2t
d) f ( x ) =
cos x
x2
250 t
e) p( t) = 2 t
e
g) f(x) = x2 cos(2x)
f) v(t) = 12 sin(2πt + π/2)
h) s(t) = e–0,5t sin(2πt)
EXERCICE 13.2
Effectuer les intégrales indéfinies suivantes :
a)
∫ (1 − 2 x ) 2 dx
b)
∫ e −0,5t dt
c)
∫ sin(120πt + π 2) dt
d)
∫ 1 − 2t
e)
∫ sin2πt dt
f)
∫
dt
x2 −1
dx
x2
EXERCICE 13.3
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a)
dy
= 2x − 3
dx
b)
c)
dy
= xy
dx
d) x2 dy = 3y dx
e) dy = e–2t dt
f)
dy
2
=
dx 2 x + 3
dy
= y sin x
dx
EXERCICE 13.4
Effectuer les intégrales définies suivantes :
a)
1
∫0 e 2x dx
b)
π2
∫0
6
, trouver dθ/dt
x
x
d) cos θ = , trouver dθ/dt
4
c) sinθ =
cos 2 x dx
EXERCICE 13.5
Calculer l’aire sous la courbe de la fonction f dans
l’intervalle donné.
a) f(x) = e–0,5x dans l’intervalle [0; 4]
b) p(t) = sin(t) dans l’intervalle [0; π/2]
EXERCICE 13.6
Dériver par rapport à t et isoler le taux de variation
demandé dans les expressions suivantes :
a) x2 + y2 = 2, trouver dy/dt
b) V = πh3, trouver dh/dt
EXERCICE 13.7
La position d’un mobile en déplacement rectiligne par
rapport à un point fixe est donnée par :
s(t) = 2t3 – 18t2 + 48t + 20 m.
a) Calculer la position du mobile au temps 0.
b) Trouver la fonction décrivant la vitesse du mobile
au temps t.
c) Trouver la fonction décrivant l’accélération du
mobile au temps t.
d) Quelle est la vitesse du mobile au temps 0? Quelle
est son accélération?
e) À quels moments le mobile est-il arrêté? Indiquer
sa position et son accélération à ces instants.
f) Pourquoi le mobile change-t-il de position entre
ces deux instants, puisque sa vitesse est nulle?
g) À quel moment l’accélération du mobile est-elle
nulle? Indiquer la position et la vitesse du mobile
à cet instant.
h) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la position du mobile, la fonction décrivant sa
vitesse et la fonction décrivant son accélération
dans l’intervalle [0; 6].
i) Décrire le comportement du mobile dans l’intervalle de temps [0; 6].
EXERCICE 13.8
D’après les spécifications du fabricant, la fréquence de rotation de la
roue d’inertie d’un appareil t minutes
après la mise sous tension est décrite
par :
ω(t) = 500(1 – e–0,4t) t/min
a) Déterminer la valeur stable de cette situation.
b) À l’aide de la fonction dérivée, évaluer l’accélération instantanée de la roue à l’instant de la mise
sous tension.
c) Si, à partir de la mise sous tension, l’accélération
demeurait constante, à quel moment la fréquence
de rotation de la roue atteindrait-elle la valeur
stable?
d) Évaluer l’accélération instantanée de la roue deux
minutes après la mise sous tension.
e) L’accélération est-elle croissante ou décroissante?
f) Représenter graphiquement la fréquence de rotation de la roue à partir de la mise sous tension.
Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 3
g) Représenter graphiquement l’accélération de la roue
à partir de la mise sous tension.
La vitesse de la roue, après la mise hors tension de
l’appareil est décrite par :
ω(t) = 500e–0,4t t/min.
h) Déterminer la valeur stable de cette situation.
i) À l’aide de la fonction dérivée, évaluer l’accélération instantanée de la roue à l’instant de la mise
hors tension.
j) Si, à partir de la coupure de l’alimentation, l’accélération demeurait constante, à quel moment la
fréquence de rotation de la roue atteindrait-elle la
valeur stable?
k) Évaluer l’accélération instantanée de la roue deux
minutes après la mise hors tension.
l) L’accélération est-elle croissante ou décroissante?
m) Représenter graphiquement la fréquence de rotation de la roue à partir de la coupure de l’alimentation.
n) Représenter graphiquement l’accélération de la roue
à partir de la coupure de l’alimentation.
EXERCICE 13.9
Un mobile, initialement au repos, a une accélération
constante de 0,25 m/s2.
a) Représenter graphiquement l’accélération en fonction du temps t.
b) Représenter graphiquement et déterminer la vitesse de ce mobile après trois secondes.
c) Représenter graphiquement et déterminer la vitesse de ce mobile en fonction du temps t.
d) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la vitesse au temps t.
e) Représenter graphiquement et déterminer la position après trois secondes.
f) Représenter graphiquement et déterminer la position de ce mobile en fonction du temps t.
g) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la position au temps t.
EXERCICE 13.10
On lance un projectile verticalement à partir du sol
avec une vitesse initiale de 49 m/s.
a) Quel est le modèle mathématique décrivant la vitesse du projectile au temps t?
b) Quelle est la vitesse à trois secondes?
c) Quelle est la fonction décrivant la position par
rapport au sol au temps t?
d) Quelle est la position par rapport au sol (hauteur)
du projectile à trois secondes?
e) Quelle sera la hauteur maximale atteinte par le
projectile?
f) Combien de temps après avoir été lancé le projectile retombera-t-il au sol?
g) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la vitesse et la fonction décrivant la hauteur du
projectile dans l’intervalle de validité des modèles.
EXERCICE 13.11
Un réservoir cylindrique initialeDébit positif
ment vide est alimenté par une
conduite dont le débit est réglé par
un mécanisme d’horlogerie. Ce
mécanisme se déclenche lorsque
le niveau atteint un seuil critique
prédéterminé. Initialement,
l’ouverture de la vanne permet un
débit de 200 litres par minute durant une minute puis le mécanisme
d’horlogerie prend la relève et diminue progressivement l’ouverture de la vanne de telle sorte que
Débit négatif
le débit est par la suite inversement proportionnel au temps. Le mécanisme ferme
complètement la valve d’entrée après dix minutes.
a) Décrire mathématiquement et représenter graphiquement le débit de liquide en fonction du temps
après le déclenchement du mécanisme.
b) En prenant un pas unitaire et à l’aide de la différentielle, déterminer approximativement la variation du volume après l’ouverture automatique de
la valve.
c) Calculer la valeur exacte de la variation de volume
durant l’intervalle [0;10].
d) Déterminer un modèle mathématique décrivant la
variation de volume en fonction du temps.
e) Représenter graphiquement ce modèle.
EXERCICE 13.12
L’eau d’un récipient est portée à ébullition puis on laisse refroidir le liquide en
mesurant la température durant la période de refroidissement. On a déterminé
que le taux de variation de la température
est proportionnelle à la différence entre
la température de l’eau dans le récipient
et la température ambiante de 22°C. En
considérant la minute comme unité de mesure du temps,
on a établi que la constante de proportionnalité était de
–0,1.
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Auto-évaluation- Exercices de synthèse
a) À l’aide d’une équation différentielle, modéliser
mathématiquement cette situation.
b) Déterminer le modèle décrivant la température du
liquide au temps t.
c) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la température du liquide au temps t.
d) Identifier un changement que l’on pourrait apporter au système et qui modifierait la valeur de la
constante de proportionnalité.
EXERCICE 13.13
Le réservoir d’un cabinet de toilette mesure 40 cm de
largeur, 20 cm d’épaisseur et 40 cm de hauteur. Ce
réservoir est muni d’un mécanisme qui, par le biais
d’un flotteur, contrôle l’ouverture de la valve d’entrée
d’eau au fur et à mesure que le niveau s’élève dans le
réservoir. La valve se ferme lorsque le niveau d’eau est
de 30 cm et, lorsqu’on actionne la chasse, le niveau
descend à 5 cm avant que le clapet ne se ferme et que le
mécanisme ne se déclenche. Lorsque la valve est ouverte
au maximum, le débit est de 1 litre par seconde.
(1 litre = 1 000 cm3).
a) Décrire cette situation physique par une équation
différentielle.
b) Déterminer la fonction décrivant le niveau de liquide en fonction du temps.
EXERCICE 13.14
La position initiale d’un mobile est à 40 m d’un point
fixe et a une vitesse de 64 m/s. Il subit durant 12
secondes une accélération décrite en fonction du temps t
par :
a(t) = 4t – 24 m/s2.
a) Représenter graphiquement la fonction décrivant
l’accélération durant l’intervalle de temps [0; 12].
b) Décrire mathématiquement la vitesse du mobile en
fonction du temps durant cet intervalle de temps.
c) Quelle doit être la constante d’intégration pour
décrire cette situation? Justifier.
d) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la vitesse durant l’intervalle de temps [0; 12].
e) Décrire mathématiquement la position du mobile
en fonction du temps.
f) Représenter graphiquement la fonction décrivant
la position durant l’intervalle de temps [0; 12].
EXERCICE 13.15
Un corps de 1 kg, initialement au repos, subit pendant
12 secondes une accélération décrite par :
a(t) = 12 – t m/s2.
a) Sachant que l’énergie cinétique d’un corps en
1
mv 2 , trouver la
2
fonction décrivant l’énergie cinétique de ce corps
en fonction du temps.
b) Calculer l’énergie cinétique à 0 s, 2 s, 8 s.
c) Trouver la fonction décrivant le taux de variation
de l’énergie cinétique durant ces 12 secondes.
d) Calculer le taux de variation de l’énergie cinétique
à 0 s, 2 s, 8 s.
mouvement est donnée par Ec =
EXERCICE 13.16
Soit la fonction définie par la règle de correspondance :
f(x) = 3x2 – 36x + 96.
a) Trouver sa fonction dérivée.
b) Calculer la pente de la tangente à la fonction f aux
points d’abscisse 0, 2 et 8.
c) Trouver en quels points la tangente est horizontale.
d) Trouver dans quels intervalles la fonction est croissante, décroissante.
e) Représenter graphiquement la fonction.
EXERCICE 13.17
Soit la fonction f(x) = x2 – 4x + 5.
a) Trouver l’équation de la sécante passant par les
points d’abscisses x = 2 et x = 3.
b) Trouver l’équation de la droite tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse x = 3.
c) Trouver l’équation de la droite normale au graphique de la fonction au point d’abscisse x = 3.
d) Représenter graphiquement la fonction, la sécante,
la tangente et la normale obtenues précédemment.
EXERCICE 13.18
La position par rapport à un point fixe d’une particule
excitée électriquement est donnée par :
s(t) = t3 – 15t2 + 72t m,
où t est mesuré en secondes.
a) Trouver la fonction décrivant la vitesse de la particule au temps t.
b) Calculer la vitesse à t = 0 s, t = 1 s et t = 5 s.
c) Trouver la fonction décrivant l’accélération de la
particule au temps t.
d) Calculer l’accélération à t = 0 s, t = 1 s et t = 5 s.
e) Décrire la trajectoire de la particule et représenter
graphiquement les fonctions décrivant la position,
la vitesse et l’accélération de la particule.
Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 5
EXERCICE 13.19
Soit la fonction définie par : f(x) = ex cos x.
a) Trouver la fonction dérivée.
b) Trouver l’équation de la droite tangente au graphique au point d’abscisse x = π/2.
c) Trouver en quel(s) point(s) la tangente est horizontale.
d) Identifier les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction dans l’intervalle [0; 2π].
a) Quel a été le travail effectué pour étirer le ressort à
cette longueur?
b) Quel travail supplémentaire faudrait-il effectuer
pour étirer le ressort de 3 cm de plus?
c) Quel travail faudrait-il effectuer pour étirer le ressort de 10 cm à partir de sa position d’équilibre?
d) Quel travail faudrait-il effectuer pour comprimer
le ressort de 8 cm à partir de sa position d’équilibre?
EXERCICE 13.20
EXERCICE 13.23
Une tige de cuivre mesure 240 cm à 0°C.
a) Déterminer la longueur de la tige en fonction de la
température.
b) Calculer la longueur de la tige à 50°C.
c) Utiliser la différentielle pour calculer la dilatation
d’une tige de 3,8 m qui subit une élévation de
température de 30°C.
Le polonium-210 a une demi-vie de 140 jours.
a) Un échantillon de 400 mg de polonium-210 vient
d’être produit. Décrire la quantité restante en fonction du temps t.
b) Calculer la masse restante 90 jours après la production de cet échantillon.
c) Dans combien de temps la masse restante sera-telle de 40 mg?
d) On dispose de deux échantillons de polonium-210.
La masse du premier est de 120 mg et celle du
second de 450 mg. Utiliser la différentielle pour
estimer la diminution de masse de chacun de ces
échantillons pour les 30 prochains jours.
EXERCICE 13.21
On estime que la puissance requise pour opérer un
appareil durant la période transitoire qui suit sa mise en
marche est décrite en fonction du temps par :
900 t 2
W,
et
où P est en watts (W) et le temps t est en minutes. Cette
période transitoire dure 8 minutes, après quoi la puissance requise demeure constante.
a) Trouver la dérivée de cette fonction.
b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction.
c) Déterminer les intervalles de concavité vers le haut
et vers le bas et les points d’inflexion de la fonction.
d) Déterminer le domaine de la fonction mathématique et le domaine de validité du modèle.
e) Déterminer les asymptotes et esquisser le graphique de la puissance en fonction du temps.
P( t ) =
EXERCICE 13.22
Un ressort est étiré de 5 cm et pour le maintenir dans
cette position, il faut exercer une force de 60 N.
EXERCICE 13.24
On a établi expérimentalement qu’en réalisant la réaction chimique :
2N2O5 → 4NO2 + O2
à 45°, le taux de variation de la concentration du
pentoxyde d’azote est proportionnel à sa concentration
en mol/L et est défini par :
d [ N 2O5 ] dt
= −0,0005 s −1,
[ N 2O5 ]
le temps étant mesuré en secondes.
a) En résolvant cette équation différentielle, construire un modèle mathématique décrivant la concentration du pentoxyde d’azote en fonction du
temps en secondes.
b) Utiliser ce modèle pour calculer après combien de
temps la concentration de pentoxyde d’azote sera
les 3/5 de la concentration initiale.
EXERCICE 13.25
60 N
La loi de Newton établit que le taux de
variation de la température d’un objet
est proportionnel à la différence de température entre cet objet et le milieu
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Auto-évaluation- Exercices de synthèse
ambiant. On prend un thermomètre à la température
ambiante de 20°C et on le plonge dans un seau contenant de l’eau portée et tenue à ébullition.
a) À l’aide d’une équation différentielle, modéliser
mathématiquement cette situation.
b) Après deux minutes, le thermomètre indique 54°C.
Déterminer le modèle décrivant la température
indiquée par le thermomètre au temps t.
c) Au bout de combien de temps le thermomètre
donnera-t-il une lecture de 80°C.
d) Lorsque le thermomètre indique 80°C, on le retire
du seau d’eau en ébullition et on le plonge dans un
seau d’eau et de glace pilée. Déterminer le modèle
décrivant la température indiquée par le thermomètre au temps t.
e) Après combien de temps le thermomètre indiquerat-il 20°C?
EXERCICE 13.26
Un réservoir d’air comprimé de 800 litres a une fuite
qui lui fait perdre une partie de son contenu à chaque
jour. On estime que le taux de variation relatif de la
pression est –0,008/min où le temps est mesuré en
minutes. Pour vérifier cette hypothèse, on emplit le
réservoir jusqu’à ce que la pression soit de 8 MPa.
constante de l’équation de vitesse.
b) Montrer que le temps de demi-réaction d’une réac− ln 0,5 0,693
=
,
a
a
où a est la constante de l’équation de vitesse.
c) Montrer que le temps de demi-réaction d’une réaction chimique d’ordre 1 est t1 2 =
1
tion chimique d’ordre 2 est t1 2 = a A , où a est
[ ]0
la constante de l’équation de vitesse.
EXERCICE 13.28
Une usine fabrique des isolateurs de porcelaine qui
sont cuits à très haute température et sortis du four
lorsque la température est redescendue à 350°C. Le
refroidissement se poursuit à l’air libre dont la température ambiante est de 20°C.
a) On constate que 15 minutes après avoir été exposés à l’air libre, la température des isolateurs est de
270°C. Construire un modèle décrivant la température des isolateurs en fonction du temps écoulé
depuis la sortie du four.
b) Les isolateurs doivent être empaquetés manuellement et les règles de sécurité interdisent de les
manipuler lorsque leur température est supérieure
à 35°C. Calculer la durée du refroidissement pour
que les règles de sécurité soient respectées.
EXERCICE 13.29
a) Construire un modèle mathématique décrivant la
pression dans le réservoir en fonction du temps en
supposant que l’hypothèse sur le taux relatif de la
pression est vraie.
b) Vingt-quatre minutes après avoir augmenté la pression, le manomètre donne une lecture de 7,2 MPa.
À l’aide de cette lecture vérifier si l’hypothèse est
conforme à la réalité et, si besoin est, modifier le
modèle en conséquence.
c) À ce rythme, à quel moment la pression aura-t-elle
diminué de moitié?
d) Le système de compression se déclenche automatiquement lorsque la pression est de 1 MPa. Si on
augmente à nouveau la pression à 8 MPa, dans
combien de temps le système se mettra-t-il en
marche?
EXERCICE 13.27
a) Montrer que le temps de demi-réaction d’une réaction chimique d’ordre 0 est t1 2 =
[ A] 0
2a
, où a est la
Représenter graphiquement la région décrite, déterminer la différentielle d’aire et effectuer le calcul de l’aire
entre les courbes.
a)
f ( x) =
x2 − 8x + 4
5− x
, g( x ) =
2
x +4
5
b)
f ( x) =
4x
x3
,
g
(
x
)
=
x2 + 4
8
c)
f ( x) =
20 x
, g( x ) = x
x2 + 4
EXERCICE 13.30
Dans les situations suivantes, calculer l’aire délimitée
par les courbes données.
a) y = (x – 3)2, y = 1 et x = 0, selon la variable x
b) y = (x – 3)2, y = 1 et x = 0, selon la variable y
c) y = (x – 3)2 et y = 9 – 3x selon la variable x
d) y = (x – 3)2 et y = 9 – 3x selon la variable y
e) y = (x – 3)2, y = 9 – 3x et y = 9 selon la variable x
Auto-évaluation– Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 7
f)
y = (x + 2)2, y = 9 – 3x et y = 9 selon la variable y
g)
y = 9 − x2, y = 3−
h)
y = 16 − x 2 , y = 8 −
x2
2
i)
y = 16 − x 2 , y = 4 −
x2
4
j)
y = 8−
k)
l)
m)
n)
y
y
y
y
x2
3
x2
x2
, y = 4−
2
4
= sin x et y = –cos x sur [–π/4; 3π/4]
= x2 + 1, y = ex dans l’intervalle [0; 3]
= ex et y = sin x dans l’intervalle [0; π/2]
= ex et y = e–x dans l’intervalle [0; 2]
3
o) y = x2 et y = x 2 dans l’intervalle [0; 2]
EXERCICE 13.31
Déterminer l’aire du triangle formé par l’intersection
des droites données.
a) y = x + 2, y = –4 – x, y = 6x – 18
b) x – 3y + 8 = 0, 5x + 4y + 21 = 0, 8x – 5y = 12
EXERCICE 13.32
Déterminer l’aire du triangle dont les sommets sont
donnés.
a) (–4; 2), (3; 5) et (6; –2)
b) (–4; 2), (2; 6) et (4; –5)