Calculs de trajectoires

Calculs de trajectoires
Dans un premier temps étudions le déplacement d’un objet sur un ligne droite, l’axe des
x. On repère la position du mobile par x, sa vitesse par v x et son accélération par a x .
Si on connait la force F x qui s’exerce sur le mobile, la 2e loi de Newton nous dit
F x = m · a x ou aussi ax =
Fx
m
(1)
Si on connaît l’accélération et la vitesse à un temps t, alors on peut connaître la vitesse au
temps t + ∆t. En effet :
v x (t + ∆t) − v x (t)
∆t
a x (t) =
(2)
nous donne :
v x (t + ∆t) = v x (t) + a x (t) · ∆t
(3)
∆t est un petit intervalle de temps, par exemple ∆t = 0.1s ou mieux encore ∆t = 0.01s.
De même, si on connaît la vitesse v x (t) et la position x(t) au temps t, on peut calculer la
position au temps t + ∆t. En effet :
v x (t) =
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
(4)
nous donne :
x(t + ∆t) = x(t) + v x (t) · ∆t
(5)
Prenons un exemple avec ∆t = 0.1s. Si nous connaissons la position et la vitesse en t = 0s
(conditions initiales) alors l’équation (5) nous permet de calculer la position au temps
t = 0.1s. L’équation (3) nous donne la vitesse en t = 0.1s. Alors on peut maintenant
calculer la position en t = 0.2s en utilisant de nouveau (5). Puis la vitesse en t = 0.2s et
ainsi de suite.
En deux dimensions, la position est un vecteur à deux composantes :
!
x
~r =
(6)
y
De même pour les vecteurs vitesse
~v =
vx
vy
!
(7)
et accélération
~a =
ax
ay
!
(8)
On a des équations analogues à (5) et (3) :
y(t + ∆t) = y(t) + vy (t) · ∆t
(9)
vy (t + ∆t) = vy (t) + ay (t) · ∆t
(10)
On suppose qu’on connait à chaque instant les forces qui s’ exercent sur le mobile et donc,
d’après Newton, l’accélération.
Considérons maintenant un objet qu’on lance. Si on néglige le frottement, la seule force est
le poids (force de pesanteur) ~p = m·~g où m est la masse du mobile en kg et ~g l’accélération
de pesanteur
!
0
~g =
(11)
−9.81m/s2
Ce qui signifie que a x = 0 et ay = −9.81m/s2 .
En itérant les équations (5), (9) et (3), (10), on peut déterminer la trajectoire.