Calculs de trajectoires

Calculs de trajectoires
Dans un premier temps étudions le déplacement d’un objet sur un ligne droite, l’axe des
x. On repère la position du mobile par x, sa vitesse par vxet son accélération par ax.
Si on connait la force Fxqui s’exerce sur le mobile, la 2e loi de Newton nous dit
Fx=m·axou aussi ax=Fx
m(1)
Si on connaît l’accélération et la vitesse à un temps t, alors on peut connaître la vitesse au
temps t+ ∆t. En effet :
ax(t)=vx(t+ ∆t)−vx(t)
∆t(2)
nous donne :
vx(t+ ∆t)=vx(t)+ax(t)·∆t(3)
∆test un petit intervalle de temps, par exemple ∆t=0.1sou mieux encore ∆t=0.01s.
De même, si on connaît la vitesse vx(t) et la position x(t) au temps t, on peut calculer la
position au temps t+ ∆t. En effet :
vx(t)=x(t+ ∆t)−x(t)
∆t(4)
nous donne :
x(t+ ∆t)=x(t)+vx(t)·∆t(5)
Prenons un exemple avec ∆t=0.1s. Si nous connaissons la position et la vitesse en t=0s
(conditions initiales) alors l’équation (5) nous permet de calculer la position au temps
t=0.1s. L’équation (3) nous donne la vitesse en t=0.1s. Alors on peut maintenant
calculer la position en t=0.2sen utilisant de nouveau (5). Puis la vitesse en t=0.2set
ainsi de suite.
En deux dimensions, la position est un vecteur à deux composantes :
~
r= x
y!(6)
De même pour les vecteurs vitesse
~
v= vx
vy!(7)

et accélération
~
a= ax
ay!(8)
On a des équations analogues à (5) et (3) :
y(t+ ∆t)=y(t)+vy(t)·∆t(9)
vy(t+ ∆t)=vy(t)+ay(t)·∆t(10)
On suppose qu’on connait à chaque instant les forces qui s’ exercent sur le mobile et donc,
d’après Newton, l’accélération.
Considérons maintenant un objet qu’on lance. Si on néglige le frottement, la seule force est
le poids (force de pesanteur) ~ p=m·~ goù mest la masse du mobile en kg et ~ gl’accélération
de pesanteur
~
g= 0
−9.81m/s2!(11)
Ce qui signifie que ax=0 et ay=−9.81m/s2.
En itérant les équations (5), (9) et (3), (10), on peut déterminer la trajectoire.