DS Mercredi 28 septembre 2016. BTS CM n°1 : On a tracé la courbe

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Mercredi 28 septembre 2016.
BTS CM
n°1 : On a tracé la courbe d'une fonction f et ses tangentes en 1 et en – 2 et la courbe
d'une fonction g et ses tangentes en –1 et en 3.
n°3 : On considère la fonction g(x) = 1 + 3x – 5x2
a. Calculer la fonction dérivée de g.
b. Etudier le signe de g '(x) dans un tableau.
c. En déduire le tableau de variation de g.
d. Calculer g(0) et g '(0) ;
en déduire une équation de la tangente en 0 à la courbe de g.
Rappel du cours : la tangente en a à la courbe de g a pour équation :
y = g '(a)( x – a) + g(a).
n°4 : Calculer la fonction dérivée de f, simplifier au maximum.
a. f(x) =
3
4+5𝑥
b. f(x) =
a. Lire graphiquement : f( –2) ; f(0) ; g( –1) et g(3).
b. Dire à quoi correspond le nombre dérivé de f graphiquement.
c. Lire graphiquement : f '( –2) ; f ' (0) ; g ' ( –1) et g ' (3).
n°2 : On considère la fonction f(x) = x3 – 3 x2 – 45 x – 2. ( x un nombre réel)
2+5𝑥
c. f(x) =
1−3𝑥
𝑈
Rappel du cours : la dérivée de 𝑉 est égale à
𝑥2
2−3𝑥
𝑈 ′ 𝑉−𝑈𝑉 ′
𝑉2
Barème :
n°1 : a. 1 b. 0,5 c. 2 Total : 3,5 points
a. Calculer la fonction dérivée de f.
b. Etudier le signe de la dérivée de f dans un tableau de signe.
c. En déduire le tableau de variations de f et le compléter.
d. Tracer sur votre calculatrice la courbe de f
avec une fenêtre variant de
– 10 à 10 en abscisse
et de – 200 à 100 en ordonnée.
Recopier l'allure obtenue ci-contre.
e. Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 ?
Donner un encadrement à 0,1 près de chaque solution.
n°2 : a. 1 b. 2 c. 1 d. 0,5
n°3 : a. 1 b. 1,5
c. 1
n°4 : a. 1,5 b. 1,5 c. 2
TOTAL sur 20 points :
e. 0,5 + 1,5
d. 1,5
Total : 6,5 points
Total : 5 points
Total : 5 points
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Mercredi 28 septembre 2016.
Correction
BTS CM
n°1 : On a tracé la courbe d'une fonction f et ses tangentes en 1 et en – 2 et la courbe
d'une fonction g et ses tangentes en –1 et en 3.
d.
e. L'équation f(x) = 0 admet 3 solutions.
une entre – 6 et – 5
une entre – 1 et 0 et une entre 8 et 9.
Encadrement à 0,1 près de chaque solution :
– 5,4 < x1 < – 5,3 ; – 0,1 < x1 < 0 ; 8,3 < x1 < 8,4
n°3 : On considère la fonction g(x) = 1 + 3x – 5x2
a. g '(x) = 3 – 10 x
b. et c. on résout g '(x) = 0 ⇔ 3 – 10 x = 0 ⇔ 3 = 10 x ⇔
a. f( –2) = 4 ; f(0) = 1 ; g( –1) = – 2 et g(3) = 5.
b. Le nombre dérivé de f en a correspond au coefficient directeur de la tangente en a.
3
2
1
x
signe de g '(x)
–∞
+
1
c. Lire graphiquement : f '( –2) = 1 = 3 ; f ' (0) = − 3 ; g ' ( –1) = − 5 et g ' (3) = 2
n°2 : On considère la fonction f(x) = x3 – 3 x2 – 45 x – 2. ( x un nombre réel)
a. f '(x) = 3𝑥 2 − 6𝑥 − 45
b.et c. on résout f '(x) = 0 ⇔ 3𝑥 2 − 6𝑥 − 45 = 0
0,3
0
1,45
3
10
𝑜𝑢 0,3 = 𝑥
+∞
–
signe de a = -10 à
droite de zéro
variations
de g
g(0,3) = 1 + 3 × 0,3 – 5 × 0,3² = 1,45
polynôme du second degré :  = b² – 4ac = (-6)² – 4×3×(-45) = 36 + 540 = 576
√576 = 24 deux solutions x =
−𝑏− √Δ
ou x =
x
signe de f '(x)
–∞
+
2𝑎
−𝑏+√Δ
2𝑎
6−24
=
=
–3
0
79
=−
6
6+24
6
=
18
6
30
6
–
variations
de f
d. g(0) =1 + 3×0 – 5×0² = 1 et et g '(0) = 3 – 10×0 = 3
Tangente en 0 à la courbe de g : y = g '(0)(x – 0) + g(0)
= −3
= 5
n°4 : a. f(x) =
5
0
3
4+5𝑥
+∞
+
b. f(x) =
c. f(x) =
2+5𝑥
1−3𝑥
𝑥2
2−3𝑥
:
y=3x+1
15
f '(x) = − (4+5𝑥)2
11
f '(x) = (1−3𝑥)2
f '(x) =
−3𝑥 2 +4𝑥
(2−3𝑥) 2
– 177
pour le n°4 : il faut détailler le calcul, ce que je n'ai pas fait ici ‼!
f(-3) = 33 – 3×3² – 45×3 – 2 = 79 et f(5) = … = – 177