Travail proposé en Mathématiques

Synergie STI – Physique-­‐Chimie – Mathématiques Programme de mathématiques en 1ère STI2D • Equation du second degré, discriminant ; • Nombre dérivé d’une fonction en un point ; • Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point où elle dérivable ; • Fonction dérivée ; • Lien entre signe de la dérivée et sens de variation ; • Extremum d’une fonction. Problématique : A partir des relevés obtenus et de modélisations par des fonctions, comment déterminer la vitesse à partir d’une modélisation du déplacement et l’accélération à partir d’une modélisation de la vitesse de la voiture. 1ère partie : Vitesse et tangente Pour mener une étude mathématique de la distance parcourue entre 1 s et 4 s, on modélise sur cet intervalle de temps la distance par une fonction 𝑑 définie par : 𝑑 𝑡 = −0,423 𝑡 ! + 3,29𝑡 ! − 2,43𝑡 pour 1 ≤ 𝑡 ≤ 4 La distance parcourue est exprimée en mètres. 1. Avec le logiciel Géogébra, tracer la représentation graphique de la fonction 𝑑 sur l’intervalle [1; 4]. Placer le point A d’abscisse 2 appartenant à la courbe représentant la fonction 𝑑. 2. Construire un curseur 𝑐1 prenant des valeurs de −1 à 1 avec un incrément de 0,01. Placer le point 𝐵 d’abscisse 2 + 𝑐1 appartenant à la courbe de la fonction 𝑑. Tracer la droite (𝐴𝐵). 3. Calculer 𝑑 (2) et 𝑑 (2,5). Que représentent ces nombres ? ! !,! !!(!)
4. Calculer le nombre !,!!! . Positionner 𝑐1 sur la valeur 0,5. Que représente ce nombre pour la droite (𝐴𝐵) ? En donner une interprétation physique pour la voiture. ! !,!" !!(!)
5. Calculer le nombre !,!"!! . Interpréter géométriquement ce nombre et en donner une interprétation physique. 6. Dans la fenêtre Calcul formel du logiciel Géogébra, exprimer le quotient 𝑑 2 + ℎ − 𝑑(2)
ℎ
en fonction de ℎ. Page 1 sur 6 Lorsque ℎ se prend des valeurs de plus en plus proche de 0, quelle valeur prend le quotient : 𝑑 2 + ℎ − 𝑑(2)
ℎ
Ce nombre est appelé nombre dérivé de la fonction 𝒅 en 𝟐. En terme concret, cette valeur correspond à la vitesse instantanée de la voiture à l’instant 𝒕 = 𝟐. 7. Faire varier le curseur 𝑐1 pour le rapprocher de 0. Quelle position prend la droite (𝐴𝐵) ? Quel est son coefficient directeur ? 8. Comparer les résultats des deux questions précédentes. Le nombre dérivé de la fonction 𝒅 en 𝟐 est égal coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la fonction 𝒅 au point d’abscisse 𝟐. 9. De la même manière, déterminer graphiquement le nombre dérivé de la fonction 𝑑 en 3. En déduire la vitesse instantanée de la voiture à l’instant 𝑡 = 3. 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70 3,00 3,30 3,60 3,90 2ème partie : Modélisation de la vitesse. Pour mener une étude mathématique de la vitesse entre 0 s et 4 s, on modélise sur cet intervalle de temps la vitesse par une fonction 𝑣 définie de la manière suivante : 𝑣 𝑡 = −1,27 𝑡 ! + 6,57𝑡 − 2,43 pour 0,6 ≤ 𝑡 ≤ 4 La vitesse est exprimée en m.s-­‐1. 7,0 1. A l’aide du logiciel Géogébra, tracer la 6,0 courbe représentant la fonction 𝑣 sur 5,0 l’intervalle [0,6; 4]. 4,0 3,0 2. Déterminer la vitesse maximale 𝑣!"# 2,0 atteinte par le véhicule dans cet Vitesse intervalle de temps et préciser au bout de 1,0 0,0 combien de temps elle est atteinte. Courbe obtenue avec un tableur 3. Retrouver ces résultats par le calcul. 4. Sur quel intervalle de temps la vitesse est-­‐elle supérieure à 4 m.s-­‐1 ? On notera 𝑡! sa borne inférieure et 𝑡! sa borne supérieure. Combien de temps la vitesse reste-­‐t-­‐elle supérieure à 4 m.s-­‐1 ? Vérifier graphiquement. Page 2 sur 6 3ème partie : Une nouvelle fonction : la fonction dérivée. On a vu que qu’entre 0,6 et 4 secondes, la vitesse peut être modélisée par la fonction : 𝑣 𝑡 = −1,27 𝑡 ! + 6,57𝑡 − 2,43 pour 0,6 ≤ 𝑡 ≤ 4 La vitesse est obtenue comme la variation du déplacement sur un intervalle de temps. De la même manière, l’accélération est obtenue comme la variation de la vitesse sur un intervalle de temps. 1. Créer un curseur 𝑐2 prenant des valeurs de 0,6 à 4 avec un incrément de 0,01. Placer le point 𝑀 de coordonnées 𝑐2, 𝑣(𝑐2) Tracer la tangente au point 𝑀 à la courbe représentant 𝑣 et définir sa pente. Renommer la pente 𝑝. 2. A l’aide du logiciel Géogébra, a. déterminer graphiquement la vitesse à 𝑡 = 2 s. b. déterminer graphiquement l’accélération à 𝑡 = 2 s. c. déterminer graphiquement l’accélération lorsque la vitesse est de 4 m.s-­‐1 c’est-­‐à-­‐dire pour 𝑡! et 𝑡! obtenus précédemment. Que remarque-­‐t-­‐on ? Comment peut-­‐on le justifier ? On s’intéresse maintenant à la fonction qui à 𝒕 associe l’accélération de la voiture à cet instant, c’est-­‐à-­‐dire à la fonction qui à t associe le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la vitesse. 3. Placer le point 𝐴 de coordonnées (𝑐2, 𝑝) de la tangente et activer la trace du point 𝐴. 4. Faire varier les valeurs prises par le curseur 𝑐2 et observer la fenêtre graphique : la courbe qui apparaît est la courbe de la fonction accélération. En mathématique, cette fonction est appelée fonction dérivée. La fonction accélération est la dérivée de la fonction vitesse. 4ème partie : Sens de variation de la fonction et signe de la fonction dérivée. 1. Déterminer graphiquement la valeur de l’accélération lorsque la vitesse est maximale. 2. Dresser le tableau de variation de la fonction vitesse sur l’intervalle [0,6; 4]. 3. Dresser le tableau de signes de la fonction accélération sur l’intervalle [0,6; 4]. Figure réalisée avec Géogébra 4. Peut-­‐on établir un lien entre ces deux résultats ? Argumenter la réponse. Page 3 sur 6 5ème partie : Retour aux données enregistrées sur la carte SD. Voici deux graphiques obtenus à partir des données de la feuille de calcul. 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 vitesse 0,0 -­‐1,0 0,3 0,9 1,5 2,1 2,7 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,3 9,9 10,5 11,1 11,7 12,3 12,9 13,5 14,1 1,0 accélération -­‐2,0 -­‐3,0 -­‐4,0 1.
2.
3.
4.
Repérer les phases d’accélération, de décélération… Dresser le tableau des variations de la fonction vitesse. Dresser le tableau de signes de la fonction accélération. Les résultats sont-­‐ils cohérents ? Page 4 sur 6 Annexe 1 brut
brut
brut
brut
brut
brut
brut
Force
ACC
ACC
s
m
m/s
Km/h
m.s-²
Dist
Ualim
Upile
Ubat
Ialim
Ipile
Ibat
F
X
Y
Temps
Distance
Vitesse
Vitesse
Accé
0,0
0
0
0 946 736 948 511 508 522 0 320 329 0,1 0,00 0,0 0,0 0,0 0 950 696 949 510 514 519 0 316 330 0,2 0,00 0,0 0,0 0,0 0 950 696 949 510 514 519 0 318 330 0,3 0,00 0,0 0,0 0,0 0 951 696 950 511 514 517 0 315 328 0,4 0,00 0,0 0,0 0,5 0 950 696 951 510 513 518 0 318 331 0,5 0,00 0,0 0,0 2,1 2 531 486 590 884 521 904 0 430 329 0,6 0,03 0,3 1,0 3,7 10 542 489 606 911 516 915 0 449 355 0,7 0,13 1,1 3,8 5,3 24 597 512 632 919 528 902 0 431 345 0,8 0,32 1,9 6,7 5,9 44 634 532 673 890 527 861 0 416 341 0,9 0,59 2,7 9,6 6,4 66 672 552 703 843 524 819 0 393 346 1,0 0,88 2,9 10,5 5,9 92 703 566 727 796 524 784 0 390 363 1,1 1,22 3,5 12,4 4,8 122 730 580 752 763 522 750 0 379 380 1,2 1,62 4,0 14,4 4,3 154 747 591 769 738 522 733 0 368 370 1,3 2,05 4,3 15,3 3,7 190 767 600 787 712 519 708 0 349 290 1,4 2,53 4,8 17,2 3,2 226 779 608 797 703 521 694 0 344 254 1,5 3,01 4,8 17,2 2,1 264 792 614 810 688 519 679 0 344 251 1,6 3,51 5,1 18,2 2,1 302 802 620 819 671 519 667 0 339 215 1,7 4,02 5,1 18,2 1,6 342 806 621 820 669 519 663 0 346 278 1,8 4,55 5,3 19,2 1,1 384 819 627 831 653 519 648 0 352 354 1,9 5,11 5,6 20,1 1,6 424 824 631 836 644 519 644 0 330 379 2,0 5,64 5,3 19,2 1,6 468 830 635 844 638 518 634 0 336 402 2,1 6,22 5,9 21,1 1,1 512 838 640 849 629 519 627 0 326 397 2,2 6,81 5,9 21,1 0,5 556 841 640 853 626 517 624 0 330 373 2,3 7,39 5,9 21,1 1,6 600 847 644 859 614 516 614 0 334 390 2,4 7,98 5,9 21,1 0,5 646 855 646 863 610 518 608 0 321 416 2,5 8,59 6,1 22,0 0,0 692 884 661 889 562 516 566 0 320 382 2,6 9,20 6,1 22,0 0,0 736 924 681 925 511 513 516 0 310 386 2,7 9,79 5,9 21,1 0,0 780 933 687 932 511 515 515 0 288 371 2,8 10,37 5,9 21,1 -­‐1,1 824 935 690 934 510 515 516 0 284 324 2,9 10,96 5,9 21,1 -­‐1,1 866 930 687 933 510 514 522 0 283 307 3,0 11,52 5,6 20,1 -­‐0,5 908 937 687 934 511 515 516 0 288 293 3,1 12,08 5,6 20,1 -­‐1,6 950 934 689 933 513 515 519 0 280 261 3,2 12,64 5,6 20,1 -­‐1,6 988 935 690 937 511 514 517 0 286 226 3,3 13,14 5,1 18,2 -­‐1,6 1026 937 690 939 511 514 516 0 284 216 3,4 13,65 5,1 18,2 -­‐1,6 1062 938 691 939 510 515 517 0 275 218 3,5 14,12 4,8 17,2 -­‐2,1 1098 938 691 939 509 514 517 0 283 214 3,6 14,60 4,8 17,2 -­‐1,6 1132 933 689 935 519 514 522 0 284 197 3,7 15,06 4,5 16,3 -­‐2,1 1164 934 690 936 515 515 522 0 285 206 3,8 15,48 4,3 15,3 -­‐1,6 1194 937 691 936 515 516 521 0 293 207 3,9 15,88 4,0 14,4 -­‐2,7 1224 939 691 939 512 514 520 0 286 449 4,0 16,28 4,0 14,4 -­‐2,1 Page 5 sur 6 Annexe 2 Attention, dans le logiciel Géogébra, la variable 𝒕 doit être remplacée par 𝒙. Partie Questions 1 2 1 3 6 1 2 4 2 Commandes Gégébra Fonction[-­‐0.423x^3+3.29x^2-­‐2.43x,1,4] Renommer cette fonction 𝑑 . Placer le point A : 𝑨 = (𝟐, 𝒅(𝟐)) Créer un curseur :
Placer le point B : 𝑩 = (𝟐 + 𝒄𝟏 ; 𝒅(𝟐 + 𝒄𝟏)) Cliquer sur l’icône puis sur les points A et B. Affichage > Calcul formel Dans la fenêtre Calcul formel : 𝒅(𝟐) puis valider 𝒅(𝟐. 𝟓) puis valider Dans la fenêtre Calcul formel : (𝒅 𝟐 + 𝒉 − 𝒅 𝟐 )/𝒉 puis valider Fonction[-­‐1.27x^2+6.57x-­‐2.43,0.6,4] Renommer cette fonction 𝑣. Dans la barre de saisie : Max[v(x), 0.6, 4 ] et observer les coordonnées du point affiché. On pourra le renommer 𝑆. Tracer la droite d’équation 𝒚 = ⋯ Définir les points d’intersection de cette droite et de la courbe en cliquant sur accessible en cliquant sur le coin bas/droite de puis sur la droite et enfin sur la courbe. Renommer les points d’intersection 𝑇! et 𝑇! . Définir le segment 𝑇! 𝑇! avec l’icône cliquant sur le coin bas/droite de 1 Tracer la tangente en cliquant sur accessible en et lire sa longueur. accessible en cliquant sur le coin bas/droite de : cliquer sur le point 𝑀 puis sur la courbe représentant 𝑣. 3 Définir la pente de la tangente en cliquant sur 3 accessible en cliquant sur le coin bas/droite de Pour activer la trace du point A, dans la fenêtre Algèbre, faire un clic droit puis cocher Trace activée Page 6 sur 6