TD3 - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1 Master de mathématiques
Année 2012-2013 Statistique mathématique
TD 3 – Maximum de vraisemblance
Exercice 1. Loi puissance
Soit (Rn
+,Q⊗n
θθ∈Θ)un modèle statistique tel que, pour tout θ∈Θ,Qθdésigne la loi de densité
fθ(x) = (1 + θ)xθ1I[0,1],
1. Quelles sont les valeurs admissibles pour θ?
2. Déterminer l’estimateur ˆ θndu maximum de vraisemblance pour θ. Que dire de ses propriétés
(biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?
Exercice 2. Lois de Poisson
Soit (Rn
+,{P(θ)⊗n}θ>0)un modèle statistique.
1. Calculer l’EMV de ce modèle.
2. Que dire de ses propriétés (biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?
Exercice 3.
Soit (Rn
+,Q⊗n
θθ>0)un modèle statistique tel que, pour tout θ > 0,Qθdésigne la loi de densité
θ2xe−θx1IR+(x).
1. Calculer l’EMV de ce modèle.
2. Que dire de ses propriétés (biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?
Exercice 4.
Dans la suite, λdésigne la mesure de Lebesgue sur R. Soit (Rd,Q⊗n
θθ>1)le modèle statistique où,
pour tout θ > 1,Qθpossède une densité par rapport à λ+δ1donnée par
fθ(x) = 1
1 + θ1I]0,θ](x).
1. Montrer que, pour tout θ > 1,fθest bien une densité de probabilité pour la mesure λ+δ1.
2. Calculer l’EMV ˆ θde θpour la mesure dominante (λ+δ1)⊗n.
3. Déterminer la fonction de répartition de ˆ θ.
4. En déduire que ˆ θest consistant. Préciser sa vitesse et sa loi limite.
5. Soit α∈]0,1[. Construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1−αpour θ.
Exercice 5.
Soient t1, t2, . . . , tndes réels non nuls connus. On considère le modèle statistique (Rn,{⊗n
i=1N(θi,1)}θ∈R).
1. Calculer l’EMV, noté ˆ θdans la suite.
2. Déterminer la loi de ˆ θ.
1

3. Étudier le biais et le risque quadratique de ˆ θ.
4. Soit α∈]0,1[. Construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 1−αpour θ.
5. On suppose que Pn
i=1 t2
itend vers c > 0lorsque n→ ∞. Montrer que ˆ
θest consistant.
Déterminer sa vitesse et sa loi limite.
Exercice 6.
Soit ([−1/2,1/2]n,Q⊗n
θθ>0)un modèle statistique tel que, pour tout θ∈[−1,1],Qθdésigne la loi
de densité
fθ(x) = (1 −θ)1I[−1/2,0[(x) + (1 + θ)1I[0,1/2[(x).
On note (X1, . . . , Xn)un échantillon de Q⊗n
θet s(x1, . . . , xn) = Pn
i=1 1I[0,1/2](xi).
1. Calculer la loi de s(X1, . . . , Xn).
2. Déterminer l’information du modèle.
3. Calculer l’EMV de θ.
4. Étudier ses propriétés : biais, risque quadratique, consistance, loi limite.
Exercice 7. Estimation d’un coefficient de mélange
On considère nobservations indépendantes (X1, . . . , Xn)de loi pU[0,a]+ (1 −p)U[0,b]. On suppose
que a<b, avec aet bconnus.
1. Déterminer la fonction de répartition et la densité de X1.
2. Soit Nala variable aléatoire égale au nombre d’individus Xicompris entre 0et a. Montrer que
la vraisemblance peut s’écrire :
L(x1, . . . , xn, p) = 
p
a+1−p bna1−p bn−na
si x1, . . . , xn∈[0, b],
0sinon,
où na=na(x1, . . . , xn)est le nombre d’observations comprises entre 0 et a.
3. En déduire l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆpdu paramètre pen fonction de la
variable aléatoire Na. Quel est son biais ?
4. Calculer E(X). Déterminez l’estimateur p∗du paramètre pobtenu par la méthode des moments
basée sur le moment d’ordre 1. Calculez le biais de cet estimateur.
5. Des deux estimateurs précédents, lequel est le meilleur en terme d’erreur quadratique moyenne ?
en terme de variance ?
Exercice 8.
Soit (Rn,nU⊗n
[θ,θ+l]oθ,l>0)un modèle statistique.
1. Calculer son EMV (ˆ θ, ˆ l). Prouver qu’il est consistant.
2. Déterminer la densité du couple 1max
1≤i≤nXi,min 1≤i≤nXi. En déduire la fonction de répartition
de ˆ l.
3. Soit α∈]0,1[. Construire un intervalle de confiance pour le paramètre lau niveau de confiance
1−α.
1. Si (Z1, Z2)est un couple de v.a.r. sur (Ω,A,P), sa fonction de répartition F:(z1, z2)7→ P(Z1≤z1, Z2≤z2),
est liée à sa densité f(si elle existe) par la relation f=∂2F/∂z1∂z2p.p.
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