Université Paris X Année 2007-2008 Master 2 GRFA et EIPMC Cours : Introduction à l’économétrie Professeur Catherine BRUNEAU Chargé de TD : Selim MANKAI TD 1 : Inférence statistique Exercice 1 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a (variable aléatoire) X dont l’espérance est inconnue. Montrez que l’estimateur X de appelé moyenne empirique et défini par : X 1 n X i , est sans biais. n i 1 Exercice 2 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X (donc i.i.d. de même loi que X) dont l’espérance et 2 la variance sont inconnues. 2 2 Montrez que l’estimateur S de défini par S 2 2 Proposez un estimateur sans biais de . 2 1 n X i X est biaisé. n i 1 Exercice 3 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X qui suit une loi de Poisson de paramètre inconnu. Soit A1 et A2 deux estimateurs définis par : A1 1 n Xi n i 1 A2 et 1 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 5 Analysez les propriétés de ces deux estimateurs (espérance, variance, convergence) et déduire le plus efficace ( c’est-à-dire celui qui a la variance la plus petite). Pour quelle taille d’échantillon n les deux estimateur ont-ils le même niveau d’efficacité? Exercice 4 ˆ , ˆ et ˆ des estimateurs du paramètre . On sait par ailleurs que : Soit 1 2 3 ˆ E ˆ , E ˆ , V ˆ 12, E ˆ 10 et E ˆ E 1 2 3 1 2 3 2 6 . Analysez les propriétés des estimateurs de . Justifiez en faisant recours à l’erreur quadratique moyenne (MSE) l’estimateur à retenir ? Exercice 5 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X qui suit une loi normale dont l’espérance et la 2 variance sont inconnues. 2 2 Déterminez les estimations du maximum de vraisemblance de et (c’est-à-dire les valeurs de et qui maximisent la (log)-vraisemblance calculée en x1 , , xn ). Exercice 5 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X qui suit une binomiale n , p , où n est supposé connu alors que p est inconnu. Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de p ? 1 Exercice 6 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X qui suit une loi de Poisson de paramètre inconnu. Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de . Exercice 7 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X qui suit la loi exponentielle de paramètre inconnu: la densité de cette loi est donnée par : f ( x) exp( x) sur R . Vérifiez que cette fonction de densité définit bien une loi de probabilité sur R . Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de . Exercice 8 Soit un échantillon hasard X 1 , , X n de la v.a X qui suit une loi normale dont l’espérance est inconnue et la variance est égale à 100. Déterminez la taille de l’échantillon nécessaire pour que la largeur de l’intervalle de confiance bilatéral à 95% de soit égale à 5%? 2 Exercice 9 Le nombre d’articles produits par une usine en une semaine est une v.a d’espérance 500. Que peut-on dire de la probabilité pour que la production d’articles soit au moins égale à 1000? Si la variance de la production hebdomadaire est de 100, que peut-on dire de la probabilité pour que le niveau de production soit compris entre 400 et 600? N.B. Utilisez les inégalités de Markov et de Chebychev. Exercice 10 Soit X1 , , X100 un échantillon hasard de v.a indépendantes et distribuées selon la loi 100 X uniforme sur[0,1]. Déterminez la probabilité Prob i 1 i 7 , en utilisant le théorème central limite Exercice 11 Soit X 1 , , X n un échantillon hasard de v.a indépendantes distribuées selon la loi de Poisson de paramètre =4. En utilisant le théorème central limite, déterminez la taille de l’échantillon assurant la condition : n i 1 Prob X i 1000 =0.995. Exercice 12 (Sur machine) Simulez (k=100) échantillons aléatoires X 1 , , X n de taille (n=10000) de la K v.a X et construisez la distribution de M K X i lorsque X suit respectivement : i 1 Une loi Binomiale (n=5, p=0.2) Une loi Student (v=9) Une loi de Poisson (λ=5) Une loi Khi (v=10) Une loi extrême Construisez l’histogramme et estimez les valeurs des coefficients de kurtosis, de skweness ainsi que celles de la statistique de Jarque-Bera. Commentez les résultats. 2