M2 GRFA-rappels Econométrie (DOC, 110 Ko)

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Université Paris X
Année 2007-2008
Master 2 GRFA et EIPMC
Cours : Introduction à l’économétrie
Professeur Catherine BRUNEAU
Chargé de TD : Selim MANKAI
TD 1 : Inférence statistique
Exercice 1
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a (variable aléatoire) X dont l’espérance  est inconnue.
Montrez que l’estimateur X de  appelé moyenne empirique et défini par : X 
1 n
 X i , est sans biais.
n i 1
Exercice 2
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a X (donc i.i.d. de même loi que X) dont l’espérance  et
2
la variance  sont inconnues.

2
2
Montrez que l’estimateur S de  défini par S 2 

2
Proposez un estimateur sans biais de  .
2
1 n
 X i  X  est biaisé.
n i 1
Exercice 3
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a X qui suit une loi de Poisson de paramètre  inconnu.
Soit A1 et A2 deux estimateurs  définis par :
A1 
1 n
 Xi
n i 1
A2 
et
1
X 1  X 2  X 3  X 4  X 5 
5
 Analysez les propriétés de ces deux estimateurs (espérance, variance, convergence) et déduire le plus
efficace ( c’est-à-dire celui qui a la variance la plus petite).
 Pour quelle taille d’échantillon n  les deux estimateur ont-ils le même niveau d’efficacité?
Exercice 4
ˆ ,
ˆ et 
ˆ des estimateurs du paramètre  . On sait par ailleurs que :
Soit 
1
2
3
   
 
 
 

ˆ E
ˆ  , E 
ˆ  , V 
ˆ  12, E 
ˆ  10 et E 
ˆ 
E
1
2
3
1
2
3

2
6 .
 Analysez les propriétés des estimateurs de  .
 Justifiez en faisant recours à l’erreur quadratique moyenne (MSE) l’estimateur à retenir ?
Exercice 5
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a X qui suit une loi normale dont l’espérance  et la
2
variance  sont inconnues.
2
2
Déterminez les estimations du maximum de vraisemblance de  et  (c’est-à-dire les valeurs de  et 
qui maximisent la (log)-vraisemblance calculée en
 x1 ,
, xn  ).
Exercice 5
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a X qui suit une binomiale n , p  , où n est supposé connu
alors que p est inconnu.
Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de p ?
1
Exercice 6
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a X qui suit une loi de Poisson de paramètre  inconnu.
Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de  .
Exercice 7
Soit un échantillon hasard  X 1 , , X n  de la v.a X qui suit la loi exponentielle de paramètre  inconnu: la
densité de cette loi est donnée par : f ( x)   exp(  x) sur R .

Vérifiez que cette fonction de densité définit bien une loi de probabilité sur
R .
Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de  .
Exercice 8
Soit un échantillon hasard
 X 1 , , X n 
de la v.a X qui suit une loi normale dont l’espérance  est
inconnue et la variance  est égale à 100.
Déterminez la taille de l’échantillon nécessaire pour que la largeur de l’intervalle de confiance bilatéral à 95%
de  soit égale à 5%?
2
Exercice 9
Le nombre d’articles produits par une usine en une semaine est une v.a d’espérance 500.
 Que peut-on dire de la probabilité pour que la production d’articles soit au moins égale à 1000?
 Si la variance de la production hebdomadaire est de 100, que peut-on dire de la probabilité pour que le
niveau de production soit compris entre 400 et 600?
N.B. Utilisez les inégalités de Markov et de Chebychev.
Exercice 10 Soit
 X1 ,
, X100  un échantillon hasard de v.a indépendantes et distribuées selon la loi
 100
X

uniforme sur[0,1]. Déterminez la probabilité Prob 
i 1
i

 7  , en utilisant le théorème central limite

Exercice 11 Soit  X 1 , , X n  un échantillon hasard de v.a indépendantes distribuées selon la loi de
Poisson de paramètre  =4.
En utilisant le théorème central limite, déterminez la taille de l’échantillon assurant la condition :
n
 i 1


Prob   X i  1000 =0.995.
Exercice 12 (Sur machine) Simulez (k=100) échantillons aléatoires  X 1 , , X n  de taille (n=10000) de la
K
v.a X et construisez la distribution de M K   X i lorsque X suit respectivement :
i 1
 Une loi Binomiale (n=5, p=0.2)
 Une loi Student (v=9)
 Une loi de Poisson (λ=5)
 Une loi Khi (v=10)
 Une loi extrême

Construisez l’histogramme et estimez les valeurs des coefficients de kurtosis, de skweness ainsi que celles de
la statistique de Jarque-Bera. Commentez les résultats.
2
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