M2 GRFA-rappels Econométrie (DOC, 110 Ko)

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Université Paris X
Année 2007-2008
Master 2 GRFA et EIPMC
Cours : Introduction à l’économétrie
Professeur Catherine BRUNEAU
Chargé de TD : Selim MANKAI
TD 1 : Inférence statistique
Exercice 1
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a (variable aléatoire) X dont l’espérance est inconnue.
Montrez que l’estimateur
X
de appelé moyenne empirique et défini par :
n
1i i
X
n
1
X
, est sans biais.
Exercice 2
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X (donc i.i.d. de même loi que X) dont l’espérance et
la variance
2
sont inconnues.
 Montrez que l’estimateur
2
S
de
2
défini par
2
n
1i i
2XX
n
1
S
est biaisé.
 Proposez un estimateur sans biais de
2
.
Exercice 3
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X qui suit une loi de Poisson de paramètre inconnu.
Soit
1
A
et
2
A
deux estimateurs définis par :
n
1i i1 X
n
1
A
et
543212 XXXXX
5
1
A
 Analysez les propriétés de ces deux estimateurs (espérance, variance, convergence) et déduire le plus
efficace ( c’est-à-dire celui qui a la variance la plus petite).
 Pour quelle taille d’échantillon
n
les deux estimateur ont-ils le même niveau d’efficacité?
Exercice 4
Soit
321  ˆ
et
ˆ
,
ˆ
des estimateurs du paramètre . On sait par ailleurs que :
61012 2
321321  ˆ
E et
ˆ
E ,
ˆ
V ,
ˆ
E ,
ˆ
E
ˆ
E
.
 Analysez les propriétés des estimateurs de .
 Justifiez en faisant recours à l’erreur quadratique moyenne (MSE) l’estimateur à retenir ?
Exercice 5
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X qui suit une loi normale dont l’espérance et la
variance
2
sont inconnues.
Déterminez les estimations du maximum de vraisemblance de et
2
(c’est-à-dire les valeurs de et
2
qui maximisent la (log)-vraisemblance calculée en
1,, n
xx
).
Exercice 5
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X qui suit une binomiale
p,n
, où n est supposé connu
alors que p est inconnu.
Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de p ?

2
Exercice 6
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X qui suit une loi de Poisson de paramètre inconnu.
Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de .
Exercice 7
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X qui suit la loi exponentielle de paramètre inconnu: la
densité de cette loi est donnée par :
( ) exp( )f x x
sur
R
.
Vérifiez que cette fonction de densité définit bien une loi de probabilité sur
R
.
Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de .
Exercice 8
Soit un échantillon hasard
n1 X,,X 
de la v.a X qui suit une loi normale dont l’espérance est
inconnue et la variance
2
est égale à 100.
Déterminez la taille de l’échantillon nécessaire pour que la largeur de l’intervalle de confiance bilatéral à 95%
de soit égale à 5%?
Exercice 9
Le nombre d’articles produits par une usine en une semaine est une v.a d’espérance 500.
 Que peut-on dire de la probabilité pour que la production d’articles soit au moins égale à 1000?
 Si la variance de la production hebdomadaire est de 100, que peut-on dire de la probabilité pour que le
niveau de production soit compris entre 400 et 600?
N.B. Utilisez les inégalités de Markov et de Chebychev.
Exercice 10 Soit
1 100
,,XX
un échantillon hasard de v.a indépendantes et distribuées selon la loi
uniforme sur[0,1]. Déterminez la probabilité Prob
100
17
i
iX
, en utilisant le théorème central limite
Exercice 11 Soit
n1 X,,X 
un échantillon hasard de v.a indépendantes distribuées selon la loi de
Poisson de paramètre =4.
En utilisant le théorème central limite, déterminez la taille de l’échantillon assurant la condition :
Prob
1000X
n
1i i
=0.995.
Exercice 12 (Sur machine) Simulez (k=100) échantillons aléatoires
n1 X,,X 
de taille (n=10000) de la
v.a X et construisez la distribution de
K
1i iK XM
lorsque X suit respectivement :
 Une loi Binomiale (n=5, p=0.2)
 Une loi Student (v=9)
 Une loi de Poisson (λ=5)
 Une loi Khi (v=10)
 Une loi extrême
Construisez l’histogramme et estimez les valeurs des coefficients de kurtosis, de skweness ainsi que celles de
la statistique de Jarque-Bera. Commentez les résultats.