Correction du Devoir surveillé 28/09/11 Exercice 1 : Par identification on peut donc dire que : Soit les nombres complexes : 1. Ecrire Z sous forme algébrique. 2. Donner les modules et des arguments de z1, z2 et Z. Les modules : 4. 5. Ecrire sous la forme algébrique le nombre complexe Z2011. Or la mesure principale de 2011π/12 est -5π/12 (à calculer). Ainsi : Les arguments : Exercice 2 : Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ). On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. A tout point M d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe : 1. Soit E le point d’affixe zE = -i. Déterminer l’affixe du point E’ associé à E. 3. En déduire et . D’après les questions 1/ et 2/ on a : 1 2. Déterminer l’ensemble des points M tels que M = M’. (On pourra résoudre z = z’) On peut donc dire que ( 3. On note A et B des points d’affixes respectives 1 et -1. Soit M un point distinct des points O, A et B. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1, -1, on a: b. En déduire une expression de expression de l’angle ( en fonction de puis une en fonction de l’angle ( . 4. Soit ∆ la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de ∆ distinct de O, alors M’ est un point de ∆. Si M appartient à ∆ alors MA = MB et donc MB/MA = 1. D’après la question précédente on a donc M’B/M’A = 1 et donc M’B = M’A. Ainsi M’ appartient à ∆. 5. Soit C le cercle de diamètre [A,B]. Montrer que si le point M appartient à C alors le point M’ appartient à la droite (AB). Si M appartient à C alors MAB est un triangle rectangle en M. 2 = (π) Par conséquent, ( π π d’après la question précédente. On peut alors conclure que les points M’, A et B sont alignés.