DS 1

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Correction du Devoir surveillé 28/09/11
Exercice 1 :
Soit les nombres complexes :
1. Ecrire Z sous forme algébrique.
2. Donner les modules et des arguments de z1, z2 et Z.
Les modules :
Les arguments :
3. En déduire 
 et  .
D’après les questions 1/ et 2/ on a :
Par identification on peut donc dire que :
4.
5. Ecrire sous la forme algébrique le nombre complexe Z2011.
Or la mesure principale de 2011/12 est -5/12 (à calculer). Ainsi :
Exercice 2 :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ,  ).
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
A tout point M d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe :
1. Soit E le point d’affixe zE = -i. Déterminer l’affixe du point E’ associé
à E.  
2. Déterminer l’ensemble des points M tels que M = M’. (On pourra
résoudre z = z’)

2
3. On note A et B des points d’affixes respectives 1 et -1.
Soit M un point distinct des points O, A et B.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1, -1, on
a : 
b. En déduire une expression de 
 en fonction de   puis une
expression de l’angle (  en fonction de l’angle ( .
4. Soit  la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point
de  distinct de O, alors M’ est un point de .
Si M appartient à  alors MA = MB et donc MB/MA = 1.
D’après la question précédente on a donc M’B/M’A = 1 et donc
M’B = M’A. Ainsi M’ appartient à .
5. Soit C le cercle de diamètre [A,B].
Montrer que si le point M appartient à C alors le point M’ appartient à
la droite (AB).
Si M appartient à C alors MAB est un triangle rectangle en M.
On peut donc dire que (  = 
 ()
Par conséquent, (  d’après la question
précédente.
On peut alors conclure que les points M’, A et B sont alignés.