EX 1 : ( 2 points ) 1. Écrire les nombres suivants sous forme

EX1 : ( 2 points )
1. Écrire les nombres suivants sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
z1=1+ip3
p3−i=¡1+ip3¢¡p3+i¢
4=4i 4=i=eiπ
2
z1=i sous forme algébrique et z1=eiπ
2sous forme exponentielle
z2=µ1−i
1+i¶2
=(1−i)2
(1+i)2=−2i
2i =−1=eiπ
z2=−1 sous forme algébrique et z2=eiπsous forme exponentielle
z3=i+1
i=i−i 1=0
z3=0 sous forme algébrique
et comme le nombre 0 n’a pas d’argument, je ne peux pas l’écrire sous forme exponentielle
2. Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
On a z=x+iydonc z2=¡x+iy¢2=x2−y2+2ix y
z=x−iy
Les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué vérifient l’égalité : x2−y2+2ix y =x−iy
En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, j’obtiens : (x2−y2=x
2xy =−y
l’égalité entre les parties imaginaires donne y=0 ou x=−1
2puis grâce à l’égalité entre les parties réelles j’obtiens
respectivement (x2=x
y=0ou 
x=−1
2
y2=3
4
soit quatre possibilités :
(x=0
y=0ou (x=1
y=0ou 
x=−1
2
y=p3
2
ou 
x=−1
2
y=−p3
2
Il s’agit donc des quatre nombres complexes de la forme z=0 ou z=1 ou z=−1
2+ip3 2ou z=−1 2−ip3 2
EX2 : ( 2 points ) Soit (E)l’équation z3−5z2+19z+25 =0.
1. Montrer que −1est une solution de (E),
puis déterminer le réel a tel que pour tout z ∈Con ait z3−5z2+19z+25 =(z+1)(z2+az +25)
(−1)3−5×(−1)2−19×(−1)+25 =−25+25 =0 le nombre −1 est bien solution de l’équation (E).
On cherche atel que pour tout z∈Con ait z3−5z2+19z+25 =(z+1)(z2+az +25)
z3−5z2+19z+25 =z3+(a+1)z2+(a+25)z+25
Par identification ½a+1=−5
a+25 =19 ⇐⇒½a=−5−1
a=19−25 d’où a=−6.
2. Résoudre l’équation (E)dans C.
z3−5z2+19z+25 =0
(z+1)(z2−6z+25) =0
z1=−1 ou z2−6z+25 =0 ; ∆=−64 =(8i)2
z2=6−8i
2=3−4i ou z3=z2=3+4i
S={−1; 3−4i; 3+4i}
TS. Évaluation 6.10 - Correction ♣

EX3 : ( 6 points ) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ³O,−→ u,−→ v´(unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1+i,3−iet 2.
À tout point M d’affixe z, on associe le point M′d’affixe z′telle que z′=z2−4z. Le point M′est appelé l’image de M.
1. Faire une figure et compléter cette figure tout au long de l’exercice.
−→
u
π
3
E
J
A
+
A′
+
B′
I
B
+
F
E′
2π
3
2. Calculer les affixes des points A′et B′, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
z′
A=z2 A−4zA=(1+i)2−4(1+i) =−4−2i.
z′
B=z2 B−4zB=(3−i)2−4(3−i) =−4−2i. Les images des points A et B sont confondues.
3. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe −5.
Je résous l’équation z′=z2−4z=−5⇐⇒ z2−4z+5=0 ; ∆=−4=(2i)2
z1=4−2i
2=2−i ou z2=z1=2+iS={2−i; 2 +i}
4. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z′+4=(z−2)2.
z′+4=z2−4z+4=(z−2)2
b. En déduire une relation entre ¯¯z′+4¯¯et |z−2|et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg¡z′+4¢et arg
(z−2).
¯¯z′+4¯¯=|(z−2)2|=|z−2|2
et lorsque zest différent de 2, arg ¡z′+4¢= arg (z−2)2=2 arg (z−2) [2π]
c. Que peut-on dire du point M′lorsque M décrit le cercle Cde centre I et de rayon 2?
Lorsque Mdécrit le cercle Cde centre I et de rayon 2, on a IM=2=|z−2|donc |z′+4|=22=4 donc JM′=4
M′décrit le cercle de centre J(−4) et de rayon 4.
5. Soient E le point d’affixe 2+2eiπ
3, J le point d’affixe −4et E′l’image de E.
a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angle ³−→
u;−→ IE ´.
IE=|z−→
IE |=|zE−zI|=|2+2eiπ
3−2|=|2eiπ 3|=2|eiπ 3|=2³−→
u;−→ IE ´=arg³z−→
IE ´=arg³2eiπ
3´=π
3[2π]
b. Calculer la distance JE′et une mesure en radians de l’angle ³−→
u;−→ JE′´.
JE′=|z−→
JE′|=|zE′+4|=|zE−2|2=I E2=4
³−→
u;−→ JE′´=arg³z−→
JE′´=arg (zE′+4)= 2×arg (zE−2)=2׳−→
u;−→ IE ´=2×π
3=2π 3[2π]
c. Construire à la règle et au compas le point E′; on laissera apparents les traits de construction.
TS. Évaluation 6.10 - Correction ♣