Devoir à la maison : Nombres complexes

Devoir à la maison : Nombres complexes
Exercice 1*
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O;−→ u;−→ v. On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. Proposition : Pour tout entier naturel n:
(1 + i)4n= (−4)n
2. Soit (E)l’équation (z−4)(z2−4z+8)=0 où zdésigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans C, de (E)sont les sommets d’un triangle d’aire 8.
3. Proposition :
Pour tout nombre réel α:1 + e2iα = 2·eiα·cos(α).
4. Soit Ale point d’affixe zA=1
2·1+iet Mnle point d’affixe (zA)noù ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Proposition : si n−1est divisible par 4, alors les points O,Aet Mnsont alignés.
5. Soit jle nombre complexe de module 1et d’argument 2π
3.
Proposition : 1 + j+j2= 0
Exercice 2*
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal O;−→ u;−→ v, on considère les points Met M0d’affixes respectives zet z0.
On pose :
(z=x+iy
z0=x0+iy0où x,x0,y,y0sont des nombres réels.
On rappelle que zdésigne le conjugué de zet que |z|désigne le module de z.
1. Montrer que les vecteur −−→ OM et −−−→ OM0sont orthogonaux si, et seulement si, Re(z0z)=0.
2. Montrer que les points O,Met M0sont alignés si, et seulement si, Im(z0z)=0.
Applications
3. Nest le point d’affixe z2−1. Quel est l’ensemble des points Mtels que les vecteurs −−→ OM et −−→ ON soient orthogonaux ?
4. On suppose znon nul. Pest le point d’affixe 1
z2−1.
On recherche l’ensemble des points Md’affixe ztels que les points O,Net Psoient alignés.
a. Montrer que : 1
z2−1z2−1=−z2·
1
z2−1
2
.
b. En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.