correction détaillée - Lycée Jacques Feyder

Devoir commun
Seconde
CORRECTION DÉTAILLÉE
Exercice 1 : (7 points)
1. L’ensemble de définition de f est l’intervalle [−5 ; 4].
2. L’image de −5 est 2.
3. On recherche les abscisses éventuelles des points d’ordonnée −3,5 : −3,5 admet deux
antécédents par la fonction f qui sont −3 et −1.
4. f admet un minimum qui vaut −4. Il est atteint en −2.
5. Voici le tableau des variations de f :
−5
2
x
−2
3
4
4
f
−4
2
6. L’ensemble des valeurs prises par f est l’intervalle [−4 ; 4].
7. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessus de
l’axe des abscisses : f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ [−5 ; −4,3[ ∪ ]1,8 ; 4].
Exercice 2 : (4 points)
1. La population étudiée est l’ensemble des modèles de voiture de marque “Mobile”. La
variable étudiée (ou le caractère étudié) est la consommation.
2. La moyenne de la série est d’environ 10,26.
3. L’effectif de la série est de 16 (nombre pair). La médiane Me est donc la moyenne entre la
huitième et la neuvième valeur de la série, dans l’ordre croissant. Ainsi, M e = 9,1.
4. 8 modèles de voiture sur 16 consomment plus de 9 litres aux 100 kilomètres ce qui
correspond à 50 % des modèles. Celui qui affirme que plus de 60 % des modèles de voiture
consomment plus de 9 litres aux 100 kilomètres a donc tort.
Exercice 3 : (10 points)
1. (a) On applique l’algorithme vu en cours :
7605
2535
845
169
13
1
273 3
91 7
13 13
1
3
3
5
13
13
On en déduit que 273 = 3 × 7 × 13 et 7605 = 32 × 5 × 132 .
(b) Ainsi,
7605
32 × 5 × 132
3 × 5 × 13
195
=
=
=
.
273
3 × 7 × 13
7
7
De plus,
p
√
√
√
√
√
√
7605 = 32 × 5 × 132 = 32 × 132 × 5 = 3 × 13 × 5 = 39 5.
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2. (a) |x + 3| = 4 ⇐⇒ |x − (−3)| = 4. On peut s’aider de la droite des réels :
4
4
|
|
|
−7
−3
1
Ainsi peut-on écrire :
|x + 3| = 4 ⇐⇒ x ∈ {−7 ; 1}.
|x + 3| ≤ 4 ⇐⇒ |x − (−3)| ≤ 4. On peut s’aider du graphe précédent :
4
4
|
|
|
−7
−3
1
Ainsi peut-on écrire :
√
|x + 3| ≤ 4 ⇐⇒ x ∈ [−7 ; 1].
√
(b) Comme 3 − 2 < 0 et 3 + 2 > 0, on peut écrire :
¯ ¯√
¯
¯√
´ ³√
´
³√
√
√
¯ ¯
¯
¯
3−2 +
3 + 2 = − 3 + 2 + 3 + 2 = 4.
¯ 3 − 2¯ + ¯ 3 + 2¯ = −
3. (a) Les diviseurs naturels de 6 sont 1, 2, 3 et 6 et la somme de ses diviseurs propres est :
1 + 2 + 3 = 6.
On peut décomposer 496 en produit de facteurs premiers : 496 = 2 4 × 31.
Les diviseurs naturels de 496 sont donc 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et 496 et la
somme de ses diviseurs propres est :
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
(b) Simplifions :
=
=
=
1 1 1 1
1
1
+ + + +
+
1 2 4 7 14 28
7
4
2
1
28 14
+
+
+
+
+
28 28 28 28 28 28
28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1
28
56
28
= 2
(c) De même,
1 1 1 1
+ + +
1 2 3 6
=
=
=
6 3 2 1
+ + +
6 6 6 6
6+3+2+1
6
12
6
= 2
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Poursuivons avec ce calcul :
=
=
=
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
+ + + +
+
+
+
+
+
1 2 4 8 16 31 62 124 248 496
496 248 124
62
31
16
8
4
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
496 496 496 496 496 496 496 496 496 496
496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
496
992
496
= 2
(d) L’observation des résultats précédents nous conduit à conjecturer que la somme des
inverses des diviseurs naturels d’un nombre parfait est égale à 2.
Exercice 4 : (8 points)
1. On obtient la figure suivante :
A
M
B
I
O
P
D
C
\.
2. Soit I le point d’intersection des droites (CM ) et (BP ). Notons α l’angle BCM
\ mesure 90 − α.
Le triangle CIB étant rectangle en I, l’angle CBP
\ est droit donc ABP
\ mesure 90 − (90 − α) = α.
De plus, l’angle ABC
\ = ABP
\.
On en déduit que BCM
3. Dans les triangles M CB et ABP :
– AB = BC car ABCD est un carré
\ = BCM
\ d’après la question précédente
– ABP
\
\ car ABCD est un carré
– M
BC = BAP
Or, deux triangles ayant un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux
sont isométriques : les triangles M CB et ABP sont donc isométriques.
\
\
Leurs trois angles sont respectivement égaux donc nécessairement, CM
B = BP
A.
De plus, leurs trois côtés sont respectivement égaux. Les côtés compris entre des angles
respectivement égaux sont de même longueur.
Le côté M B du triangle M CB et le côté AP du triangle ABP sont compris entre les
\
\
\ et BP
\
angles M
BC et CM
B d’une part, et BAP
A d’autre part, clairement
respectivement égaux.
On en déduit que M B = AP .
4. Comme ABCD est un carré, les diagonales [AD] et [BC] se coupent en leur milieu, sont
perpendiculaires et de même longueur.
Ainsi, les triangles OAB, OCD, OAD et OBC sont rectangles isocèles en O ce qui
\ et OAD
\ mesurent 45 degrés.
prouve, en particulier, que OA = OB et que les angles OAB
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Dans les triangles OM B et OP A :
– M B = AP d’après la question précédente
– OB = OA d’après la remarque précédente
\ = OAP
[ d’après la remarque précédente
– OBM
Or, deux triangles ayant un angle égal adjacent à deux côtés respectivement égaux sont
isométriques : les triangles OM B et OP A sont donc isométriques.
5. Les triangles OM B et OP A étant isométriques, leurs trois côtés sont respectivement
égaux donc, nécessairement, OP = OM .
De plus, leurs trois angles sont respectivement égaux. Les angles adjacents à des côtés
respectivement égaux ont la même mesure.
\
L’angle P[
OA du triangle OP A et l’angle M
OB du triangle OM B sont adjacents aux
côtés OP et OA d’une part, et OM et OB d’autre part, clairement respectivement égaux.
\
On en déduit que P[
OA = M
OB.
Aussi a-t-on les égalités :
P\
OM
\
= P[
OA + AOM
\
\
= M
OB + AOM
\ +M
\
= AOM
OB
\
= AOB
\ étant un angle droit, on en déduit que P\
AOB
OM mesure 90 degrés.
Le triangle P OM est donc bien rectangle isocèle.
Exercice 5 : (11 points)
1. Le triangle BCE est rectangle en C. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
BE 2 = BC 2 + CE 2
= 32 + 42
= 25
BE étant une distance, on en déduit que BE = 5 cm.
Ainsi, il est clair que x varie dans l’intervalle [0 ; 5].
2. (a) Les droites (M H) et (BC) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même
droite (DE).
Ainsi, on peut appliquer le théorème de Thalès dans le triangle BEC :
EM
MH
=
EB
BC
On en déduit que M H =
soit
x
MH
=
.
5
3
soit
x
EH
=
.
5
4
3
x.
5
De même, on a :
EM
EH
=
EB
EC
On en déduit que EH =
4
x.
5
4
(b) On en déduit que DH = 7 − x.
5
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3. Le quadrilatère ADHM est un trapèze de petite base M H, de grande base AD et de
hauteur DH.
Ainsi, on a :
M H + AD
× DH
2
µ
¶ µ
¶
4
1 3
x+3 × 7− x
=
2 5
5
¶ µ
µ
¶
3
4
3
× 7− x
=
x+
10
2
5
A(x) =
3
3
4
3
3 4
x×7− x× x+ ×7− × x
10
10
5
2
2 5
6
21 6
21
x − x2 +
− x
=
10
25
2
5
9
21
6
= − x2 + x +
25
10
2
=
= −0,24x2 + 0,9x + 10,5
4. (a) D’après la question 1., l’ensemble de définition de f est l’intervalle [0 ; 5].
(b) Voici le tableau de valeurs compléter :
0
4,5
5
f (x) 10,5 10,89 11,16 11,31 11,34 11,25 11,04 10,71 10,26 9,69
9
x
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
(c) Voici l’allure de la courbe représentative de f :
12
11
10
9
8
−1
1
2
3
4
5
6
(d) D’après le graphique, la fonction f atteint son maximum en 1,9 environ. L’aire du
quadrilatère ADHM est donc maximale pour une valeur de x d’environ 1,9.
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(e) Pour tout réel x,
¡
¢
−0,24(x − 1,875)2 + 11,34375 = −0,24 x2 − 3,75x + 1,8752 + 11,34375
¡
¢
= −0,24 x2 − 3,75x + 3,515625 + 11,34375
= −0,24x2 + 0,9x − 0,84375 + 11,34375
= −0,24x2 + 0,9x − 0,84375 + 10,5
= f (x)
Un carré étant toujours positif, la quantité (x − 1,875) 2 est toujours positive donc la
quantité −0,24(x − 1,875)2 est toujours négative. Elle vaut au maximum 0, et ce
lorsque x = 1,875.
On en déduit que l’expression f (x) vaut au maximum 11,34375, et ce lorsque
x = 1,875.
La valeur exacte du maximum de la fonction f est donc 11,34375.
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