Correction interrogation écrite
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CORRECTION INTERROGATION ECRITE 9 avril 2012 1 ̂. 1. Calcul de la mesure de l’angle 𝑩𝑶𝑪 D’une part on remarque que le triangle 𝑂𝐵𝐶 est isocèle de sommet principal 𝑂 . Donc les ̂ 𝑒𝑡 𝑂𝐵𝐶 ̂ sont égaux. angles 𝑂𝐶𝐵 D’autre part : On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. ̂ ) + 𝑚𝑒𝑠(𝑂𝐵𝐶 ̂) + On en déduit que : 𝑚𝑒𝑠(𝑂𝐶𝐵 ̂ ) = 180° 𝑚𝑒𝑠(𝐵𝑂𝐶 ̂ ) = 180 68 + 68 + 𝑚𝑒𝑠(𝐵𝑂𝐶 ̂ ) = 180 136 + 𝑚𝑒𝑠(𝐵𝑂𝐶 ̂ ) = 180 − 136 𝑚𝑒𝑠(𝐵𝑂𝐶 ̂ ) = 44° 𝑚𝑒𝑠(𝐵𝑂𝐶 ̂. 2. Calcul de la mesure de l’angle 𝑪𝑨𝑩 ̂ et l’angle inscrit 𝐶𝐴𝐵 ̂ interceptent le même arc 𝐶𝐵 ̂ . L’angle au centre 𝐶𝑂𝐵 ̂ = 2 × 𝐶𝐴𝐵 ̂. On en déduit que 𝐶𝑂𝐵 Par conséquent ̂) 44° = 2 × 𝑚𝑒𝑠(𝐶𝐴𝐵 44 ̂) = 𝑚𝑒𝑠(𝐶𝐴𝐵 2 ̂ 𝑚𝑒𝑠(𝐶𝐴𝐵) = 22° 2 On veut montrer que le triangle 𝑨𝑩𝑪 est rectangle. ̂ 𝑒𝑡 𝐴𝐸𝐶 ̂ sont deux angles inscrits qui interceptent le même 𝐴𝐵𝐶 ̂ , donc ils sont égaux. arc 𝐴𝐶 ̂ = 𝐴𝐸𝐶 ̂ = 50° 𝐴𝐵𝐶 ̂ 𝑒𝑡 𝐴𝐶𝐵 ̂ sont complémentaires. On en déduit que les angles : 𝐴𝐵𝐶 Un triangle est rectangle, si deux de ses angles sont complémentaires. Conclusion : 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en A. 3 a) La nature du triangle 𝑨𝑩𝑫. Par hypothèse, on sait que le point 𝐷 est diamétralement opposé au point 𝐵. Donc le côté [𝐵𝐷] du triangle 𝐴𝐵𝐷 est un diamètre du cercle circonscrit. Par conséquent : 𝐴𝐵𝐷 est un triangle rectangle en 𝐴. Les mathématiques au collège Page 1 CORRECTION INTERROGATION ECRITE 9 avril 2012 ̂. b) Calcul de la mesure de l’angle 𝑨𝑩𝑫 Par hypothèses on sait que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral. ̂ = 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 60°. Donc 𝐴𝐵𝐶 D’autre part, on a : ̂ = 𝐵𝐴𝐶 ̂ + 𝐶𝐴𝐷 ̂ 𝐵𝐴𝐷 ̂ 90° = 60° + 𝐶𝐴𝐷 ̂ = 90 − 60 𝐶𝐴𝐷 ̂ = 30° 𝐶𝐴𝐷 ̂ 𝑒𝑡 𝐶𝐴𝐷 ̂ interceptent le même Or les angles inscrits 𝐶𝐵𝐷 ̂ arc 𝐶𝐷. Donc ils sont égaux. ̂ + 𝐷𝐵𝐶 ̂ = 𝐴𝐵𝐶 ̂. Sachant que 𝐴𝐵𝐷 Donc ̂ + 30 = 60 𝐴𝐵𝐷 ̂ = 60 − 30 𝐴𝐵𝐷 ̂ = 30° 𝐴𝐵𝐷 Les mathématiques au collège Page 2
