Logique et raisonnement 1 Démontrer que deux nombres sont

Logique et raisonnement
1 Démontrer que deux nombres sont égaux
Exercice 1
Il existe au moins trois techniques pour montrer que
deux nombres met nsont égaux :
– On transforme mjusqu’à ce qu’on trouve n.
– On transforme m, on transforme njusqu’à ce qu’on
tombe sur un même nombre r.
– On montre que m−n= 0.
Etablissez les égalités et identités suivantes :
1◦(1 + 2√3)2= 13 + 4√3.
2◦Pour tout nombre réel x, on a :
x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + 1 = (x2+ 3x+ 1)2.
3◦√5−√2
√3=√3 √5 + √2
4◦Pour tout nombre réel a:
a3−1 = (a−1)(a2+a+ 1).
5◦Pour tout nombre réel x, on a :
(x−3)(x2+ 3x−10) = (x+ 5)(x2−5x+ 6).
6◦Pour tout nombre réel x6= 1, on a :
2x2−5x−1
x−1= 2x−3−4 x−1.
7◦Pour tous nombres réels a,b,cet d, on a :
(ac +bd)2+ (ad −bc)2= (a2+b2)(c2+d2).
2 Négation
Exercice 2
Examinez dans chacun des cas suivants si la proposi-
tion qest la négation de la proposition p:
1◦p:nest un entier naturel pair.
q:nest un entier naturel impair.
2◦p:fest une fonction paire.
q:fest une fonction impaire.
3◦p: Pierre est luxembourgeois.
q: Pierre est français.
4◦p: Tous les élèves de la classe comprennent l’es-
pagnol.
q: Aucun élève de la classe ne comprend l’espa-
gnol.
5◦p: Certains élèves de notre classe habitent à Esch-
sur-Alzette.
q: Certains élèves de notre classe n’habitent pas
à Esch-sur-Alzette.
6◦p: Jean ne voyage jamais sans bagages.
q: Jean voyage toujours avec des bagages.
7◦p: Les figures F1et F2ont un seul point commun.
q: Les figures F1et F2ont plus d’un point com-
mun.
8◦p: Les lycéens n’ont jamais cours le samedi.
q: Les lycéens ont toujours cours le samedi.
9◦p:x > 3.
q:x < 3.
10◦p: Ce plat contient du thym et du poivre.
q: Ce plat ne contient ni du thym, ni du poivre.
11◦p: Les droites D1et D2sont parallèles.
q: Les droites D1et D2sont perpendiculaires.
12◦p: Tous les triangles de cette figure sont rec-
tangles.
q: Aucun triangle de cette figure n’est rectangle.
Exercice 3
Pour chacune des propositions suivantes, on demande :
– de dire si elle est vraie ou fausse ;
– de dire si sa négation est vraie ou fausse ;
– de formuler sa négation.
1◦Il existe un nombre réel xtel que x2<0.
2◦Il existe des triangles qui n’ont pas d’angle obtus.
3◦Pour tout réel x:x26=x.
4◦Pour tous réels aet bpositifs :
√a+b=√a+√b.
3 Implication
Exercice 4
Examinez dans chacun des cas suivants
– si pimplique q(p⇒q)
– si qimplique p(q⇒p)
1◦p:x≥3
q:x2≥4
2◦p:x2≥4
q:x≥2ou x≤ −2
3◦p:x=y
q:x2=y2
4◦p:y=x2
q:x=√y
5◦p:nest pair.
q:nest multiple de 6.
6◦p:Test un triangle équilatéral.
q:Test un triangle isocèle.
Remarques :
1◦si pimplique q, alors on dit que pest une condi-
tion suffisante pour q, ou que qest une condition
nécessaire pour p.
2◦si pimplique qet qimplique p, alors on dit que p
et qsont équivalentes. On note : p⇐⇒ q.
Fiche 4