Logique et raisonnement 1 Démontrer que deux nombres sont

Logique et raisonnement
1
Démontrer que deux nombres sont égaux
Exercice 1
Il existe au moins trois techniques pour montrer que
deux nombres m et n sont égaux :
– On transforme m jusqu’à ce qu’on trouve n.
– On transforme m, on transforme n jusqu’à ce qu’on
tombe sur un même nombre r.
– On montre que m − n = 0.
Etablissez les égalités et identités suivantes :
√
√
1◦ (1 + 2 3)2 = 13 + 4 3.
2◦ Pour tout nombre réel x, on a :
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2 .
√
√
5− 2
3
√
√
=√
3
5+ 2
4◦ Pour tout nombre réel a :
√
3◦
a3 − 1 = (a − 1)(a2 + a + 1).
5◦ Pour tout nombre réel x, on a :
(x − 3)(x2 + 3x − 10) = (x + 5)(x2 − 5x + 6).
◦
6 Pour tout nombre réel x 6= 1, on a :
4
2x2 − 5x − 1
= 2x − 3 −
.
x−1
x−1
7◦ Pour tous nombres réels a,b, c et d, on a :
(ac + bd)2 + (ad − bc)2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ).
2
Négation
Exercice 2
Examinez dans chacun des cas suivants si la proposition q est la négation de la proposition p :
◦
1 p : n est un entier naturel pair.
q : n est un entier naturel impair.
2◦ p : f est une fonction paire.
q : f est une fonction impaire.
7◦ p : Les figures F1 et F2 ont un seul point commun.
q : Les figures F1 et F2 ont plus d’un point commun.
8◦ p : Les lycéens n’ont jamais cours le samedi.
q : Les lycéens ont toujours cours le samedi.
9◦ p :x > 3.
q :x < 3.
10◦ p : Ce plat contient du thym et du poivre.
q : Ce plat ne contient ni du thym, ni du poivre.
11◦ p : Les droites D1 et D2 sont parallèles.
q : Les droites D1 et D2 sont perpendiculaires.
12◦ p : Tous les triangles de cette figure sont rectangles.
q : Aucun triangle de cette figure n’est rectangle.
Exercice 3
Pour chacune des propositions suivantes, on demande :
– de dire si elle est vraie ou fausse ;
– de dire si sa négation est vraie ou fausse ;
– de formuler sa négation.
1◦ Il existe un nombre réel x tel que x2 < 0.
2◦ Il existe des triangles qui n’ont pas d’angle obtus.
3◦ Pour tout réel x : x2 6= x.
4◦ Pour tous réels a et b positifs :
√
√
√
a + b = a + b.
3
Implication
Exercice 4
Examinez dans chacun des cas suivants
– si p implique q (p ⇒ q)
– si q implique p (q ⇒ p)
1◦ p : x ≥ 3
q : x2 ≥ 4
2◦ p : x2 ≥ 4
q : x ≥ 2 ou x ≤ −2
3◦ p : x = y
q : x2 = y 2
◦
4◦ p : y = x2
√
q :x= y
◦
5◦ p : n est pair.
q : n est multiple de 6.
3 p : Pierre est luxembourgeois.
q : Pierre est français.
4 p : Tous les élèves de la classe comprennent l’espagnol.
q : Aucun élève de la classe ne comprend l’espagnol.
5◦ p : Certains élèves de notre classe habitent à Eschsur-Alzette.
q : Certains élèves de notre classe n’habitent pas
à Esch-sur-Alzette.
6◦ p : Jean ne voyage jamais sans bagages.
q : Jean voyage toujours avec des bagages.
Fiche 4
6◦ p : T est un triangle équilatéral.
q : T est un triangle isocèle.
Remarques :
1◦ si p implique q, alors on dit que p est une condition suffisante pour q, ou que q est une condition
nécessaire pour p.
2◦ si p implique q et q implique p, alors on dit que p
et q sont équivalentes. On note : p ⇐⇒ q.