Variables aléatoires sur un univers fini I Variable aléatoire

22 juin 2014
Variables aléatoires sur un univers fini
Dans tout le chapitre Ω est un ensemble fini.
I
Variable aléatoire
I.A Définitions
Définition 1
Une variable aléatoire X est une application de Ω dans un ensemble E .
Lorsque E ⊂ R on dit que la variable aléatoire est réelle.
Comme Ω est un ensemble fini, avec Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }, on notera X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn } l’ensemble des valeures prises par X sur Ω.
Exemples 1 :
Déterminer X (Ω) dans les cas suivants :
1. Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire, successivement et avec remise quatre boules.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées à l’issue de l’épreuve.
X (Ω) = ‚0, 4ƒ
2. On lance trois fois un dé à 6 faces et l’on note le plus grand résultat obtenu.
X (Ω) = ‚1, 6ƒ
3. On lance 50 fois une pièce de monnaie et l’on considère la variable aléatoire égale au rang du premier résultat
"Pile".
X (Ω) = ‚0, 50ƒ
Définitions 2
1. On note X −1 (A) = {X ∈ A} l’événement « X prend une valeur de A »
2. Dans le cas d’une variable aléatoire réelle, on note {X = xk } l’événement « X prend la valeur xk »
3. Dans le cas d’une variable aléatoire réelle, on note {X É xk } l’événement « X prend une valeur inférieure
ou égale à xk »
Remarque 1 :
Exemples 2 :
En fait on a {X = xk } = X −1 ({xk }) = {ω ∈ Ω, X (ω) = xk }
Avec les mêmes exemples que ci-dessus :
1. Soit l’événement F k = {on obtient une boule rouge au k-ième tirage}, alors
(X = 0) = F 1 ∩ F 2 ∩ F 3 ∩ F 4
(X = 4) = F¯1 ∩ F¯2 ∩ F¯3 ∩ F¯4
2. Soit l’événement A k = {on obtient 6 au k-ième tirage}, alors
(X = 6) = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3
3. Soit l’événement B k = {on obtient PILE au k-ième tirage}, alors
(X É 3) = B 1 ∪ B 2 ∪ B 3
I.B Loi de probabilité et fonction de répartition d’une variable aléatoire
I.B.1 Loi de probabilité sur un univers fini
Proposition 1
Soit X une variable aléatoire sur l’univers fini Ω d’un espace probabilisé (Ω, P (Ω), P ).
On pose
P X : Ω → [0, 1]
A 7→ P ({X ∈ A})
Alors l’application P X est une probabilité, appelée probabilité image de P par X
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I.B Loi de probabilité et fonction de répartition d’une variable aléatoire
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Démonstration. En effet, P X (Ω) = P (X ∈ X (Ω)) = 1 et si A et B sont deux événements incompatibles, P X (A ∪ B ) = P ((X ∈ A) ∪ (X ∈ B )) = P (X ∈
A) + P (X ∈ B ) = P X (A) + P X (B ) puisque les événements {X ∈ A} et {X ∈ B } sont incompatibles.
Définition 3
Donner la loi de probabilité de X c’est donner l’application P X c’est à dire donner :
i) L’ensemble X (Ω) = {x1 , . . . , xn } des valeurs prises par X .
ii) les probabilités P ({X = xi }) pour i ∈ ‚1, nƒ.
Remarque 2 :
Exemples 3 :
On a P X ({xk }) = P ({X = xk }).
Toujours avec le même premier exemple :
1. X (Ω) = {0, 1, 2, 3, 4}
On démontre
à !: µ ¶ µ ¶
4 2 k 5 4−k
P (X = k) =
k 7
7
D’où :
xk
P (X = xk )
0
625
2401
1
1000
2401
2
600
2401
3
160
2401
4
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2. X (Ω) = ‚1, 6ƒ
µ ¶3
1
6
(b) pour k ∈ ‚2, 6ƒ, P (X = k) =
(a) P (X = 1) =
3.
I.B.2 Variable aléatoire Y = f (X )
Définition 4
Soient X une variable aléatoire finie et f : X (Ω) ← R une application. On note f ◦ X l’application composée. :
f (X ) :
Ω→
ω 7→
R
f ({X (Ω)})
Exemple 4 : Si on considère la variable aléatoire définie par Y = 2X + 1
Si la loi de X est donnée par le tableau suivant (celui du dernier exemple) :
xk
P (X = xk )
0
625
2401
1
1000
2401
2
600
2401
3
160
2401
4
1
625
2401
3
1000
2401
5
600
2401
7
160
2401
9
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Alors la loi de Y est :
yk
P (Y = y k )
De même pour la loi Z = X 2 ...
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II Espérance
Définition 5 (Espérance d’une variable aléatoire)
Soit X une variable aléatoire, on note espérance de X le réel noté E (X ) définit par :
X
X (ω)P ({ω})
ω∈Ω
Exemple 5 :
Toujours avec la variable aléatoire X :
xk
P (X = xk )
0
625
2401
1
1000
2401
2
600
2401
3
160
2401
4
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E (X ) = ...
Proposition 2 (Propriétés de l’espérance)
L’espérance vérifie les propriétés suivantes :
1. Linéarité : pour tout réel a et b on a E (aX + bY ) = aE (X ) + bE (Y )
2. Positivité : Si X est à valeurs positives alors E (X ) Ê 0
Théorème 1 (Théorème de transfert)
Soient X une variable aléatoire et f : X (Ω) → R une application alors l’espérance de la variable aléatoire f (X )
est :
X
E ( f (X )) =
f (x)P (X = x)
x∈X (Ω)
Remarques 3 :
1. En particulier : E (aX + b) = aE (X ) + b
2. Donc il est inutile de connaître la loi de f (X ) pour déterminer son espérance, la loi de X suffit.
3. L’inégalité triangulaire usuelle fornit :
4. |E (X )| É E (|X |)
III Variance et Écart type
Définition 6 (Variance et écart-type)
X étant une variable aléatoire, on appelle variance de X le réel :
V (X ) = E ((X − E (X ))2 )
p
On appelle écart-type de X le réel noté σ(X ) = V (X )
Remarque 4 :
sion.
La variance représente la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, c’est u indicateur de disper-
Proposition 3 (Formule de Kœnig-Huygens)
V (X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2
On en déduit (linéarité de l’espérance) que pour tout réel a et b :
V (aX + b) = a 2V (X )
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Définition 7
On dit qu’une variable aléatoire est :
i) centrée si son espérance est nulle
ii) réduite si sa variance est égale à 1
iii) centrée réduite si elle est centrée et réduite
Théorème 2 (Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev)
Pour tout réel λ > 0.
P (|X − E (X )| Ê λ) É
V (X )
λ2
IV Lois usuelles
IV.A Loi certaine
Définition 8
On dit que X est une variable aléatoire certaine, égale à c, si X ne prend que la valeur c ∈ R. On a alors P (X =
c) = 1.
xk
P (X = xk )
c
1
On a alors évidemment, E (X ) = c
IV.B Loi uniforme
Définition 9
On dit que X suit la loi uniforme sur ‚1, nƒ et l’on note X ∼ U (‚1, nƒ), si X (Ω) = ‚1, nƒ et si :
∀k ∈ ‚1, nƒ, P (X = k) =
Exemple 6 :
1
n
1. dé à n faces
2. urne avec n boules numérotées
Proposition 4
Soit X ∼ U (‚1, nƒ), alors :
E (X ) =
Démonstration. E(X ) =
n +1
n2 − 1
et V (X ) =
2
12
Xk
par définition... une bonne occasion de revenir sur cette somme
n
et la suivante
X k2
E(X 2 ) =
n
pour calculer V (X ) à l’aide de la formule de Kœnig-Huygens
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IV.C Loi de Bernoulli
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IV.C Loi de Bernoulli
Définition 10
On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1], et on note X ∼ B(p) si X (Ω) = {0, 1} et :
½
P (X = 1) = p
P (X = 0) = 1 − p
xk
P (X = xk )
0
1−p
1
1
Proposition 5
¡ ¢
Soit X ∼ B p , alors :
E (X ) = p et V (X ) = p(1 − p)
Démonstration. à faire
Exemple 7 :
1. Une urne contient 5 boules blanches et 12 boules noires. On tire une boule au hasard. Soit X = 1
si la boule est noire, X = 0 sinon ...
2. On lance une pièce. X = 1 si face, et P ("F AC E ") = p.
IV.D Loi Binomiale
Définition 11
On dit que X suit la loi binomiale de paramètre n et p, et on note X ∼ B(n, p) si X (Ω) = ‚0, n
r r br acket et :
à !
n k
∀k ∈ ‚0, nƒ P (X = k) =
p (1 − p)nk
k
Remarques 5 :
1.
X
P (X = k) = 1
2. La Loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale.
La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi binomiale de paramètres n = 1 et p = p
Proposition 6
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès et échec. Soit p ∈ [0, 1] la probabilité
du succès.
Si on réalise une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilités de succès p, alors, la
variable aléatoire X égale au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale B(n, p).
Démonstration.
L’événement {X = k} est la réunion d’événements deux à deux distincts correspondant à l’obtention de k succès et de n −k échecs.
à !
n
Il y a
de tels événements (on choisit les k succès parmi n, c’est bien une combinaison.
k
Chaque événement de ce type a pour probabilité p k (1 − p)n−k d’où le résultat..
Exemples 8 :
1. urne contient 5 boules blanches et 15 boules noires. On tire successivement
et¶ avec remise une
µ
1
boule. Soit X la VA « nombre de boules blanches tirées » après 10 épreuves. Alors X ∼ B 10, .
4
2. On lance 5 fois une pièce de monnaie et on considère X = « nombre de FACE » alors X suit B(5; 0, 5).
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IV.D Loi Binomiale
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3. Un joueur achète un billet de tombola par jour. Il a une chance sur 10000 de gagner chaque jour. Si on note T le
9999
nombre de billets gagnant et R le nombre de billets perdants achetés en une semaine alors : R ∼ B(7,
) et
10000
1
).
T ∼ B(7,
10000
Proposition 7
Si X ∼ B(n, p) alors :
E (X ) = np et V (X ) = np(1 − p)
Démonstration.
à !
n k
p (1 − p)( n − k)
k
k=0
Ã
!
k=n
X
n −1 k
=
n
p (1 − p)( n − k)
k −1
k=1
Ã
!
k=n
X n −1 k
=n
p (1 − p)( n − k)
k=1 k − 1
Ã
!
k=n−1
X n − 1 k+1
=n
p
(1 − p)( n − k − 1)
k
k=0
Ã
!
k=n−1
X n −1 k
= np
p (1 − p)k
k=0 k − 1
E(X ) =
k=n
X
k
= np(p + (1 − p))n−1 = np
De même
à !
n k
p (1 − p)( n − k)
k
k=0
Ã
!
k=n
X
n −1 k
=n
k
p (1 − p)( n − k)
k −1
k=1
Ã
Ã
!
!
k=n
k=n
X
X n −1 k
n −1 k
(
=n
(k − 1)
p (1 − p) n − k) + n
p (1 − p)( n − k)
k −1
k=1
k=1 k − 1
Ã
!
Ã
!
k=n−1
k=n−1
X
X n −1 k
n −1 k
= np
k
p (1 − p)( n − k − 1) + np
p (1 − p)( n − k − 1)
k
k
k=0
k=0
E(X 2 ) =
k=n
X
k2
= n(n − 1)p 2 + np
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TABLE DES MATIÈRES
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Table des matières
I
Variable aléatoire
I.A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Loi de probabilité et fonction de répartition d’une variable aléatoire
I.B.1 Loi de probabilité sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . .
I.B.2 Variable aléatoire Y = f (X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
1
2
II Espérance
3
III Variance et Écart type
3
IV Lois usuelles
IV.A Loi certaine . .
IV.B Loi uniforme . .
IV.C Loi de Bernoulli
IV.D Loi Binomiale .
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4
4
4
5
5