Variables aléatoires sur un univers fini I Variable aléatoire

22 juin 2014
Variables aléatoires sur un univers fini
Dans tout le chapitre Ωest un ensemble fini.
I Variable aléatoire
I.A Définitions
Une variable aléatoire Xest une application de Ωdans un ensemble E.
Lorsque E⊂Ron dit que la variable aléatoire est réelle.
Comme Ωest un ensemble fini, avec Ω={ω1,ω2,...,ωn}, on notera X(Ω)={x1,x2,...,xn} l’ensemble des va-
leures prises par Xsur Ω.
Définition 1
Exemples 1 : Déterminer X(Ω) dans les cas suivants :
1. Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire, successivement et avec remise quatre boules.
On note Xla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées à l’issue de l’épreuve.
X(Ω)= 0,4
2. On lance trois fois un dé à 6 faces et l’on note le plus grand résultat obtenu.
X(Ω)= 1,6
3. On lance 50 fois une pièce de monnaie et l’on considère la variable aléatoire égale au rang du premier résultat
"Pile".
X(Ω)= 0,50
1. On note X−1(A)={X∈A} l’événement « Xprend une valeur de A»
2. Dans le cas d’une variable aléatoire réelle, on note {X=xk} l’événement « Xprend la valeur xk»
3. Dans le cas d’une variable aléatoire réelle, on note {XÉxk} l’événement « Xprend une valeur inférieure
ou égale à xk»
Définitions 2
Remarque 1 : En fait on a {X=xk}=X−1({xk}) ={ω∈Ω,X(ω)=xk}
Exemples 2 : Avec les mêmes exemples que ci-dessus :
1. Soit l’événement Fk={on obtient une boule rouge au k-ième tirage}, alors
(X=0) =F1∩F2∩F3∩F4
(X=4) =¯ F1∩¯ F2∩¯ F3∩¯ F4
2. Soit l’événement Ak={on obtient 6 au k-ième tirage}, alors
(X=6) =A1∪A2∪A3
3. Soit l’événement Bk={on obtient PILE au k-ième tirage}, alors
(XÉ3) =B1∪B2∪B3
I.B Loi de probabilité et fonction de répartition d’une variable aléatoire
I.B.1 Loi de probabilité sur un univers fini
Soit Xune variable aléatoire sur l’univers fini Ωd’un espace probabilisé (Ω,P(Ω),P).
On pose
PX:Ω→[0,1]
A7→ P({X∈A})
Alors l’application PXest une probabilité, appelée probabilité image de Ppar X
Proposition 1
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I.B Loi de probabilité et fonction de répartition d’une variable aléatoire 22 juin 2014
Démonstration. En effet, PX(Ω)=P(X∈X(Ω)) =1 et si Aet Bsont deux événements incompatibles, PX(A∪B)=P((X∈A)∪(X∈B)) =P(X∈
A)+P(X∈B)=PX(A)+PX(B) puisque les événements {X∈A} et {X∈B} sont incompatibles.
Donner la loi de probabilité de Xc’est donner l’application PXc’est à dire donner :
i) L’ensemble X(Ω)={x1,...,xn} des valeurs prises par X.
ii) les probabilités P({X=xi}) pour i∈ 1,n.
Définition 3
Remarque 2 : On a PX({xk}) =P({X=xk}).
Exemples 3 : Toujours avec le même premier exemple :
1. X(Ω)={0,1,2,3,4}
On démontre :
P(X=k)=Ã4
k!µ2
7¶kµ5 7¶4−k
D’où :
xk0 1 2 3 4
P(X=xk)625
2401
1000
2401
600
2401
160
2401
16
2401
2. X(Ω)= 1,6
(a) P(X=1) =µ1
6¶3
(b) pour k∈ 2,6,P(X=k)=
3.
I.B.2 Variable aléatoire Y=f(X)
Soient Xune variable aléatoire finie et f:X(Ω)←Rune application. On note f◦Xl’application composée. :
f(X) : Ω→R
ω7→ f({X(Ω)})
Définition 4
Exemple 4 : Si on considère la variable aléatoire définie par Y=2X+1
Si la loi de Xest donnée par le tableau suivant (celui du dernier exemple) :
xk01234
P(X=xk)625
2401
1000
2401
600
2401
160
2401
16
2401
Alors la loi de Yest :
yk1 3 5 7 9
P(Y=yk)625
2401
1000
2401
600
2401
160
2401
16
2401
De même pour la loi Z=X2...
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II Espérance
Soit Xune variable aléatoire, on note espérance de Xle réel noté E(X) définit par :
X
ω∈Ω
X(ω)P({ω})
Définition 5 (Espérance d’une variable aléatoire)
Exemple 5 : Toujours avec la variable aléatoire X:
xk01234
P(X=xk)625
2401
1000
2401
600
2401
160
2401
16
2401
E(X)=...
L’espérance vérifie les propriétés suivantes :
1. Linéarité : pour tout réel aet bon a E(aX +bY )=aE(X)+bE (Y)
2. Positivité : Si Xest à valeurs positives alors E(X)Ê0
Proposition 2 (Propriétés de l’espérance)
Soient Xune variable aléatoire et f:X(Ω)→Rune application alors l’espérance de la variable aléatoire f(X)
est :
E(f(X)) =X
x∈X(Ω)
f(x)P(X=x)
Théorème 1 (Théorème de transfert)
Remarques 3 : 1. En particulier : E(aX +b)=aE(X)+b
2. Donc il est inutile de connaître la loi de f(X) pour déterminer son espérance, la loi de Xsuffit.
3. L’inégalité triangulaire usuelle fornit :
4. |E(X)| É E(|X|)
III Variance et Écart type
Xétant une variable aléatoire, on appelle variance de Xle réel :
V(X)=E((X−E(X))2)
On appelle écart-type de Xle réel noté σ(X)=pV(X)
Définition 6 (Variance et écart-type)
Remarque 4 : La variance représente la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, c’est u indicateur de disper-
sion.
V(X)=E(X2)−(E(X))2
On en déduit (linéarité de l’espérance) que pour tout réel aet b:
V(aX +b)=a2V(X)
Proposition 3 (Formule de Kœnig-Huygens)
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On dit qu’une variable aléatoire est :
i) centrée si son espérance est nulle
ii) réduite si sa variance est égale à 1
iii) centrée réduite si elle est centrée et réduite
Définition 7
Pour tout réel λ>0.
P(|X−E(X)| Ê λ)ÉV(X)
λ2
Théorème 2 (Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev)
IV Lois usuelles
IV.A Loi certaine
On dit que Xest une variable aléatoire certaine, égale à c, si Xne prend que la valeur c∈R. On a alors P(X=
c)=1.
Définition 8
xkc
P(X=xk) 1
On a alors évidemment, E(X)=c
IV.B Loi uniforme
On dit que Xsuit la loi uniforme sur 1,net l’on note X∼U(1,n), si X(Ω)= 1,net si :
∀k∈ 1,n,P(X=k)=1
n
Définition 9
Exemple 6 : 1. dé à nfaces
2. urne avec nboules numérotées
Soit X∼U(1,n), alors :
E(X)=n+1
2et V(X)=n2−1 12
Proposition 4
Démonstration. E(X)=Xk
npar définition... une bonne occasion de revenir sur cette somme
et la suivante
E(X2)=Xk2
n
pour calculer V(X) à l’aide de la formule de Kœnig-Huygens
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IV.C Loi de Bernoulli 22 juin 2014
IV.C Loi de Bernoulli
On dit que Xsuit la loi de Bernoulli de paramètre p∈[0,1], et on note X∼B(p) si X(Ω)={0,1} et :
½P(X=1) =p
P(X=0) =1−p
Définition 10
xk0 1
P(X=xk) 1−p1
Soit X∼B¡p¢, alors :
E(X)=pet V(X)=p(1−p)
Proposition 5
Démonstration. à faire
Exemple 7 : 1. Une urne contient 5 boules blanches et 12 boules noires. On tire une boule au hasard. Soit X=1
si la boule est noire, X=0 sinon ...
2. On lance une pièce. X=1 si face, et P("F ACE") =p.
IV.D Loi Binomiale
On dit que Xsuit la loi binomiale de paramètre net p, et on note X∼B(n,p) si X(Ω)= 0,n
r r br acket et :
∀k∈ 0,nP(X=k)=Ãn
k!pk(1−p)nk
Définition 11
Remarques 5 : 1. XP(X=k)=1
2. La Loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale.
La loi de Bernoulli de paramètre pest la loi binomiale de paramètres n=1 et p=p
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès et échec. Soit p∈[0,1] la probabilité
du succès.
Si on réalise une succession de népreuves de Bernoulli indépendantes de probabilités de succès p, alors, la
variable aléatoire Xégale au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale B(n,p).
Proposition 6
Démonstration. L’événement {X=k} est la réunion d’événements deux à deux distincts correspondant à l’obtention de ksuccès et de n−kéchecs.
Il y a Ãn
k!de tels événements (on choisit les ksuccès parmi n, c’est bien une combinaison.
Chaque événement de ce type a pour probabilité pk(1 −p)n−kd’où le résultat..
Exemples 8 : 1. urne contient 5 boules blanches et 15 boules noires. On tire successivement et avec remise une
boule. Soit Xla VA « nombre de boules blanches tirées » après 10 épreuves. Alors X∼Bµ10, 1
4¶.
2. On lance 5 fois une pièce de monnaie et on considère X= « nombre de FACE » alors Xsuit B(5;0,5).
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