Processus stochastiques – Feuille d`exercices 2 Espérance

UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES
D. Piau, L. Coquille
Année 2015-2016
M1 – MAT414
Processus stochastiques – Feuille d’exercices 2
Espérance conditionnelle
1
Propriétés de l’espérance conditionnelle
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, F, P) telle que E(|X|) < ∞, et G une sous-tribu de F.
Démontrer les propriétés suivantes de l’espérance conditionnelle :
1. (TCM conditionnel) Si 0 ≤ Xn ↑ X alors E(Xn |G) ↑ E(X|G) p.s.
p.s.
2. (Fatou conditionnel) Si Xn ≥ 0 alors E(lim inf Xn |G) ≤ lim inf E(Xn |G)
p.s.
3. Si Z est G-mesurable et bornée, alors E(ZX|G) = ZE(X|G).
Même chose si X ∈ Lp (Ω, F, P) et Z ∈ Lq (Ω, G, P), avec 1/p + 1/q = 1.
2
Variance conditionnelle
Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité et A une sous-tribu de F. Pour toute variable aléatoire
X ∈ L2 (Ω, F, P), on définit la variance conditionnelle Var(X|A) par :
Var(X|A) = E (X − E[X|A])2 |A .
1. Montrer que Var(X|A) = E(X 2 |A) − E (X|A)2 .
En particulier, E (X|A)2 ≤ E(X 2 |A).
2. Montrer que Var(X) = E [Var(X|A)] + Var [E(X|A)].
En particulier, Var [E(X|A)] ≤ Var(X). Discuter le cas d’égalité.
3
Variables aléatoires échangeables
On dit que n variables aléatoires réelles X1 , . . . , Xn sont échangeables si pour toute permutation σ
de {1, . . . , n} les variables aléatoires (X1 , . . . , Xn ) et (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ) ont même loi.
1. Montrer que des variables aléatoires échangeables ont toutes même loi.
2. Montrer que des variables aléatoires i.i.d. sont échangeables.
3. Soit X1 une variables aléatoires de loi uniforme sur [0, 1] et X2 = 1 − X1 . Montrer que X1 et
X2 sont échangeables. Préciser si X1 et X2 sont indépendantes.
4. Soit (Xk )k≥1 une suite i.i.d. de variables aléatoires intégrables et Sn = X1 + ... + Xn . Montrer
que E(Xk |Sn ) = Sn /n pour tout k ≤ n.
4
Calculs d’espérance conditionnelle
Question 4.1. Soient X et Y deux variables aléatoires de densité conjointe fX,Y (x, y) = 12 ·I{x≥y}∩[0,1]2 .
Le but de cet exercice est de montrer que E(X|Y = y0 ) a un sens bien que l’événement sur lequel on
conditionne soit de probabilité nulle.
1
y0 + /2
y0
y0 − /2
0
1
1. Intuitivement, donner la valeur de E(X|Y = y0 ).
2. Calculer lim→0 E(X|Y ∈ B ), où B est la bande horizontale de largeur située autour de la
hauteur y0 .
3. Vérifier sur cet exemple que E(E(X|Y )) = E(X)
Question 4.2. Soit (X, Y ) uniforme sur le disque unité, calculer E(X 2 |Y ).
Question 4.3. Soit (X, Y ) de loi uniforme sur le cercle unité, calculer E(X|Y ).