II. Probabilités conditionnelles

Probabilités élémentaires :
)()()()( BAPBPAPBAP 
si A et B compatible
)()()( BPAPBAP 
si A et B incompatible (
BA
)
)(1)( APAP 
Probabilités conditionnelles :
)( )(
)( AP ABP
A
B
P
)( )(
)( AP BP
A
B
P
si B inclus dans A
)()( AP
B
A
P
si A et B indépendants
Variables aléatoires :
Variables aléatoires discrète :
fonction de répartition
 xx j
j
pxXPXF )()(
fonction de répartition :
0)(lim 
xF x
1)(lim 
xF x
espérance
mathématique
n
i
iixpXE 1 )(
Variance
)²(²)()( XEXEXV 
Variables aléatoires continue
fonction de répartition
)()()( aFbFbXaP 
densité de probabilité
)(')( xFxf 
 b
a
dxxfaFbFbXaP )()()()(
espérance
mathématique
dxxxfXE )()(
Variance
²)())²(()( xdxxfxExXV
Opérations sur les variables aléatoires
espérance mathématique
bXEbXE  )()(
)()( XaEaXE
)()()( YEXEYXE 
v.a. indépendantes ou non
)()()( YEXEYXE 
v.a. indépendantes
Variance
)var(
1
)var( 2 Xi
n
X
)var()var( XbX 
)var(²)var( XaaX 
),cov(2)var()var()var( YXYXYX 
)var()var()var( YXYX 
X et Y indépendants
Covariance
c YEXEXYEYEYXEXEYX )()()())]())(([(),cov( 
coefficient de corrélation :
cYX
x²),cov(
)()( XaaX

Lois usuelles
Loi de Bernoulli :
X= 1 et P(X=1)=p
0 et P(X=0)=1-p
Loi Binomiale :
knkk
nqpCkxP 
 )(
Loi Hypergéométrique :
n
N
kn kN k
n
C
CC
kxP   )(
Loi de Poisson :
 e
k
kxP k
!
)(
avec  param. >0
Loi multinominale :
nk
k
nn
kk pppnNnNnNP ...),...,,( 2
2
1
1
12211 
Lois continues :
Loi uniforme (sur l’intervalle [a,b]) :
Densité :
ab
xf  1 )(
Fonction de répartition
ab ax
xF  )(
Espérance
2
)( ba xE 
Variance
12)²(
)( ab xV 
Loi exponentielle :
Densité f(x)=0 si x<0
f(x)=
x
e
1
sinon
Fonction de répartition
x
exF 1)(
si x>0
Espérance
1
)( xE
Variance
²
1
)( xV
Loi normale ( de paramètre (m,
) ):
2
2)²(
2
1
)(
mx
exf
mxE )(
2
)( xV
Loi de X² :
Si on a n variables aléatoires indépendantes et
suivant la loi normale N(0,1).
n
ii
XX 1
2

I. Convergences
Convergence presque sure :
0
et
Aw
0))()((  wXwXP n
Convergence en probabilité :
0
1)(lim  XXP n
n
Convergence en loi :
)()(lim xFxFn
n
Loi des grands nombres :
Dans L1 :
)( nn XEX 
Dans L2 :
XXn
Statistiques descriptives
Moyenne empirique :
n
ii
X
n
x1
1
Variation empirique :
 n
iixx
n
S1
2
22 )(
1
Distribution empirique :
n
i
iCkkxn 1 )(!1
1!A (x) = 1 si x A
0 sinon
Quantiles :
Q(u) = inf {x , F(x)  u } u  ]0,1[
Estimation paramétrique
Convergence d’un estimateur Tn :
0)(lim  n
nTP
Erreur quadratique de Tn par rapport à :
EQ[Tn, ] = E[(Tn- )²]
Biais d’un estimateur :
B(Tn, ) = E[Tn- ]
E[(Tn- )²] = Var(Tn) + B²(Tn, )
Test d’hypothèses
Test de Fischer :
2
2
2
2
*
1
*
1
y
y
y
y
x
x
x
x
S
nn
S
nn
T
Test de student :
y
y
x
x
yx
n
S
n
S
YX
T2
2*
)()(