TD 8 – Espérance conditionnelle 1 Propriétés élémentaires des

Processus aléatoires ENS Paris, 2013/2014
Bastien Mallein
Bureau V2
TD 8 – Espérance conditionnelle
25 mars 2014
Dans toute la suite, (Ω,F,P)représente un espace de probabilité.
1 Propriétés élémentaires des espérances conditionnelles
Exercice 1 (Positivité de l’espérance conditionnelle).Soient Gune sous-tribu de Fet Xune variable
aléatoire positive sur Ω. Montrer que {E[X|G]>0}est le plus petit ensemble G-mesurable (aux ensembles
négligeables près) qui contient {X > 0}.
Exercice 2 (Indépendance des espérances conditionnelles).1. Soient Xet Ydeux variables aléatoires
indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p, q ∈(0,1). On pose Z=1{X+Y >0}et G=σ(Z).
Calculer E[X|G]et E[Y|G]. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
2. Soient U, T des variables aléatoires à valeurs dans des espaces mesurables quelconques (E, A)et (F, B)
telles que pour toute sous-tribu Gde F, pour toutes fonctions (f, g) : E×F→R2mesurables bornées,
E[f(U)|G]et E[g(T)|G]sont indépendantes. Montrer que Uou Test constante.
Exercice 3 (Symétrie par rapport au pipe).On se donne deux variables aléatoires réelles positives Xet Y,
et on suppose que E[X|Y] = Yet E[Y|X] = X.
1. Montrer que si Xet Ysont dans L2, alors X=Yp.s.
2. Montrer que pour toute variable aléatoire positive Zet tout a≥0,
E[Z|Z∧a]∧a=Z∧a.
3. Montrer que le couple (X∧a, Y ∧a)vérifie les mêmes hypothèses que le couple (X, Y ), et en déduire
que X=Yp.s.
2 Calculs d’espérances conditionnelles
Exercice 4 (Un calcul de loi conditionnelle).On se donne deux réels aet bstrictement positifs, et (X, Y )
une variable aléatoire à valeurs dans N×R+dont la loi est caractérisée par
P(X=n, Y ≤t) = bZt
0
(ay)n
n!exp(−(a+b)y)dy.
Déterminer, pour toute fonction hmesurable bornée, E[h(Y)|X], et en déduire E[Y
(X+1) ]. Calculer ensuite
E[1{X=n}|Y]et enfin E[X|Y].
1

Exercice 5 (Espérance conditionnelle de variables aléatoires exponentielles).Soient X1, . . . , Xndes variables
aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ. On note T=X1+. . . +Xn. Calculer
E[h(X1)|T]pour toute fonction h:R→Rborélienne bornée. Que remarque-t-on lorsque n= 2 ?
En déduire que, pour tout t > 0,
E[h(X1, X1+X2,...X1+· · · +Xn−1)|T=t] = Ehh(tU(1), . . . tU (n−1)i,
avec U(1),...U(n−1) le réordonnement de U1,...Un−1des variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0,1].
Exercice 6 (Convergence conditionnelle).On se donne (Xi)i≥1et (Fi)i≥1une suite de variables aléatoires
positives et une suite de sous-tribus de F. On suppose que E[Xi| Fi]converge en probabilité vers 0.
1. Montrer que (Xi)i≥1converge en probabilité vers 0.
2. Montrer que la réciproque est fausse.
3 Pour aller plus loin
Exercice 7 (Indépendance conditionnelle).On dit que deux variables aléatoires Xet Ysont indépendantes
conditionnellement à Gsi pour toutes fonctions fet gde Rdans Rmesurables positives,
E[f(X)g(Y)|G] = E[f(X)|G]E[g(Y)|G].
1. Que signifie ceci si G={∅,Ω}? Si G=F?
2. Montrer que la définition précédente équivaut à : pour toute variable aléatoire G-mesurable positive Z,
pour toutes fonctions fet gde Rdans Rmesurables positives,
E[f(X)g(Y)Z] = E[f(X)ZE[g(Y)|G]],
et aussi à : pour toute fonction gde Rdans Rmesurable positive,
E[g(Y)|G ∨ σ(X)] = E[g(Y)|G].
Exercice 8 (Convergence L2de martingale rétrograde).Soit (Fn, n ≥0) une suite décroissante de sous-tribus
de F, avec F0=F. Soit Xune variable aléatoire de carré intégrable.
1. Montrer que les variables E[X|Fn]−E[X|Fn+1]sont orthogonales dans L2, et que la série
X
n≥0
(E[X|Fn]−E[X|Fn+1])
converge dans L2.
2. Montrer que si F∞=Tn≥0Fn, on a
lim
n→∞
E[X|Fn] = E[X|F∞]dans L2.
Exercice 9 (Biais par la taille conditionnel).Soit Xune variable aléatoire strictement positive p.s. telle que
E(X)=1. On définit la mesure de probabilité b Ppar
∀A∈ F,b P(A) = E(1AX).
Soit Gune sous-tribu de F, montrer que pour toute variable aléatoire intégrable Y,
E[X|G]b E[Y|G] = E[XY |G] p.s.
En déduire une condition pour que P(·|G) = b P(·|G).
2