Lois de probabilités discrètes Loi Loi uniforme P(X=k)= avec k = 1, 2, …, n. Notation U(1 ;n) Modèle propriétés Si X ˷ U (1 ; n) alors : E(X) = Var (X) = Loi de bernouilli P(X=k) = p si k=1 q=1-p si k=0 Loi binomiale P(X=k)= Avec k = 0, 1,2,…, n. X ˷ B (1,p) X ˷ B (n,p) modélise le résultat d’une expérience de Bernoulli, c’est-à-dire pouvant avoir uniquement 2 issues dénommées succès (k=1) et échec (k=0) modélise le nombre de succès au cours de n répétitions indépendantes d’une même expérience de Bernoulli dont la probabilité de succès est p. Si X ˷ B (1,p) alors : E(X) = p Var(X)= pq Si n= 1 alors cela suit une loi de Bernouilli Si X ˷ B (n,p) alors =1 Si X ˷ B (n,p) alors E(X)= np et Var (X) = npq. Si X ˷ B (n,p) alors P(X=k+1)= P(X=k) x Loi de poisson P(X=k) = Avec k = 0,1, …. X ˷ P(λ) Loi associée aux succès des évènements rares. (peut être utilisé comme approximation d’une autre loi). Si X et Y sont indépendants X X ˷ B (n1,p) et Y ˷ B (n2,p) alors X+Y ˷ B ( n1+ n2,p) Peut prendre un nombre infini de valeurs Si X ˷ P(λ) alors Si X ˷ P(λ) alors E(X) = λ et Var(X) = λ Si X ˷ P(λ) alors P(X=k+1)=P(x=k) Lois de probabilité continues Loi Loi uniforme f(x)= si a≤x≤b 0 sinon Notation X U [a ; b] avec b>a Modèle Propriétés Si X U [a ; b] alors : 0 si x ≤ a F(x)= si a<x≤b 1 si x > b E(X) = Loi exponentielle Loi normale f(x)= f(x)= si x≥ 0 0 sinon * cette formule n’est pas à connaître) X E( ) X N (µ ;σ) µdéfini la position et σ défini la largeur. Loi du chi2 E ( ) alors : P(X ≤x) = F(x)=1 E(X) = Est notamment utilisée pour une variable aléatoire X décrivant des évènements aléatoires évoluant dans le temps. Si X Est notamment utilisée pour une variable aléatoire X décrivant des évènements aléatoires divers comme des mesures mais aussi utile comme loi d’erreurs. Soit X N (µ ; σ) alors : σ>0 E(X)= µ Var(X) = σ² U= N (0 ; 1) χ²n= Avec Xi indépendants T T (n) T= si x > 0 Var (X) = E (χ²n) = n Var (χ²n) = 2n Pour 2 lois du χ² indépendantes à n et p ddl : χ²n + χ²p = χ²n+p P(X²≤u) = P (- ≤X≤ + )= π ( ) – π ) E (T (n)) =0 E (F (n ; p)) = Loi de student Var(X) = Avec U N (0 ; 1) et V χ²n Loi de fischer Z F (n ;p) Z= X = v.a.r de Fischer à n et p ddl χ²n et Y χ²p pour p>2 B (n,p) n≥30 np>5 nq>5 np = = N (µ; σ) n>20 p<0,5 = λ λ≥20 P(λ) = np Correction de continuité =