Lois de probabilités discrètes Loi Notation Modèle propriétés Loi

Lois de probabilités discrètes
Loi
Notation
Modèle
propriétés
Loi uniforme
P(X=k)=
 avec k = 1, 2, …, n.
U(1 ;n)
Si X ˷ U (1 ; n) alors :
E(X) = 
Var (X) = 
Loi de bernouilli
P(X=k) = p si k=1
q=1-p si k=0
X ˷ B (1,p)
modélise le résultat d’une expérience de Bernoulli,
c’est-à-dire pouvant avoir uniquement 2 issues
dénommées succès (k=1) et échec (k=0)
Si X ˷ B (1,p) alors :
E(X) = p
Var(X)= pq
Loi binomiale
P(X=k)= 
Avec k = 0, 1,2,…, n.
X ˷ B (n,p)
modélise le nombre de succès au cours de n
répétitions indépendantes d’une même expérience
de Bernoulli dont la probabilité de succès est p.
 Si n= 1 alors cela suit une loi de
Bernouilli
 Si X ˷ B (n,p) alors  
=1
 Si X ˷ B (n,p) alors E(X)= np et
Var (X) = npq.
 Si X ˷ B (n,p) alors P(X=k+1)=
P(X=k) x 
 Si X et Y sont indépendants X X
˷ B (n1,p) et Y ˷ B (n2,p) alors
X+Y ˷ B ( n1+ n2,p)
Loi de poisson
P(X=k) = 
Avec k = 0,1, ….
X ˷ P(λ)
Loi associée aux succès des évènements rares. (peut
être utilisé comme approximation d’une autre loi).
 Peut prendre un nombre infini
de valeurs
 Si X ˷ P(λ) alors
 Si X ˷ P(λ) alors E(X) = λ et
Var(X) = λ
 Si X ˷ P(λ) alors
P(X=k+1)=P(x=k) 

Lois de probabilité continues
Loi
Notation
Modèle
Propriétés
Loi uniforme
 si a≤x≤b
f(x)= 0 sinon
X  U [a ; b]
avec b>a
Si X  U [a ; b] alors :
0 si x ≤ a
 F(x)= 
 si a<x≤b
1 si x > b
 E(X) = 
 Var(X) = 
Loi
exponentielle
f(x)=  si x≥ 0
0 sinon
X  E ()
Est notamment utilisée pour une
variable aléatoire X décrivant des
évènements aléatoires évoluant dans
le temps.
Si X  E () alors :
 P(X ≤x) = F(x)=1- si x > 0
 E(X) = 
 Var (X) = 
Loi normale
f(x)= 
 *
connaître)
X  N (µ ;σ)
µdéfini la position et σ
défini la largeur.
Est notamment utilisée pour une
variable aléatoire X décrivant des
évènements aléatoires divers comme
des mesures mais aussi utile comme
loi d’erreurs.
Soit X  N (µ ; σ) alors :
 σ > 0
 E(X)= µ
 Var(X) = σ²
 U= 
  N (0 ; 1)
Loi du chi2
χ²n=
Avec Xi  indépendants
 E (χ²n) = n
 Var (χ²n) = 2n
 Pour 2 lois du χ² indépendantes à n et p
ddl : χ²n + χ²p = χ²n+p
 P(X²≤u) = P (-≤X≤ +  )= π () – π
)
Loi de student
TT (n)
T= 
Avec U N (0 ; 1) et
V χ²n
 E (T (n)) =0
Loi de fischer
Z  F (n ;p)
Z= 
 = v.a.r de Fischer à n et p ddl
X  χ²n et Y  χ²p
 E (F (n ; p)) = 
 pour p>2

B (n,p)
N (µ; σ)
P(λ)
Correction de continuité
n≥30
np>5
nq>5
np
=
=
n>20
p<0,5
=
np
λ≥20
=
λ
=